Kompakt operatör - Compact operator

I funktionell analys , en gren av matematiken , en kompakt operatör är en linjär operator , där är normerat rum , med egenskapen att kartor avgränsas delmängder av att relativt kompakta delmängder av (delmängder med kompakt stängning i ). En sådan operatör är nödvändigtvis en begränsad operatör och så kontinuerlig. Vissa författare kräver att det är Banach, men definitionen kan utökas till mer allmänna utrymmen. ${\ displaystyle T: X \ till Y}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X, Y}$

Varje begränsad operatör som har begränsad rang är en kompakt operatör; Klassen av kompakta operatörer är verkligen en naturlig generalisering av klassen av ändliga operatörer i en oändlig dimension. När det är ett Hilbert-utrymme är det sant att alla kompaktoperatörer är en gräns för begränsade operatörer, så att klassen kompaktoperatörer alternativt kan definieras som stängningen av uppsättningen av ändliga operatörer i normtopologin . Om detta i allmänhet var sant för Banach -utrymmen ( approximationsegenskapen ) var en olöst fråga i många år; 1973 gav Per Enflo ett motexempel som byggde på arbete av Grothendieck och Banach . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle Y}$

Ursprunget till teorin om kompakta operatörer ligger i teorin om integrala ekvationer , där integrala operatörer tillhandahåller konkreta exempel på sådana operatörer. En typisk Fredholm integralekvation ger upphov till en kompakt operator K på funktionsutrymmen ; kompaktitetsegenskapen visas med likhetskontinuitet . Metoden för approximering av operatörer med begränsad rang är grundläggande i den numeriska lösningen av sådana ekvationer. Den abstrakta idén om Fredholm -operatören härrör från denna koppling.

Ekvivalenta formuleringar

En linjär karta mellan två topologiska vektorutrymmen sägs vara kompakt om det finns ett grannskap av ursprunget i en sådan som är en relativt kompakt delmängd av . ${\ displaystyle T: X \ till Y}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T (U)}$${\ displaystyle Y}$

Låt vara normerade utrymmen och en linjär operator. Sedan är följande påståenden ekvivalenta, och några av dem används som huvuddefinition av olika författare ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle T: X \ till Y}$

• ${\ displaystyle T}$ är en kompakt operatör;
• bilden av enhetens boll under är relativt kompakt i ;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle Y}$
• bilden av en begränsad delmängd av under är relativt kompakt i ;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle Y}$
• det finns ett grannskap med ursprung i och en kompakt delmängd så att ;${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V \ subseteq Y}$${\ displaystyle T (U) \ subseteq V}$
• för varje begränsad sekvens i innehåller sekvensen en konvergerande undersekvens.${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (Tx_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Om Banach dessutom motsvarar dessa uttalanden också: ${\ displaystyle Y}$

• bilden av någon avgränsat delmängd av i är helt avgränsas in .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle Y}$

Om en linjär operatör är kompakt är den kontinuerlig.

Viktiga egenskaper

I det följande är Banach -mellanslag, är utrymmet för avgränsade operatörer enligt operatörsnormen och anger utrymmet för kompakta operatörer . betecknar identitet operatör på , och . ${\ displaystyle X, Y, Z, W}$${\ displaystyle B (X, Y)}$${\ displaystyle X \ till Y}$${\ displaystyle K (X, Y)}$${\ displaystyle X \ till Y}$${\ displaystyle \ operatorname {Id} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B (X) = B (X, X)}$${\ displaystyle K (X) = K (X, X)}$

• ${\ displaystyle K (X, Y)}$är ett slutet delrum av (i normtopologin). På motsvarande sätt, ${\ displaystyle B (X, Y)}$
  • ges en sekvens av kompakt operatörer kartläggning (där är Banach) och gavs att konvergerar till med avseende på operatören normen , är då kompakt.${\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$${\ displaystyle X \ till Y}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$
• Omvänt, om det är Hilbert -mellanslag, är varje kompakt operatör från gränsen för ändliga rangoperatörer. Noterbart är denna " approximation egenskapen är" false för allmän Banachrum X och Y .${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle X \ till Y}$
• ${\ displaystyle B (Y, Z) \ circ K (X, Y) \ circ B (W, X) \ subseteq K (W, Z).}$  I synnerhet bildar ett dubbelsidigt ideal i .${\ displaystyle K (X)}$${\ displaystyle B (X)}$
• Varje kompakt operatör är strikt singular , men inte tvärtom.
• En begränsad linjär operatör mellan Banach -utrymmen är kompakt om och bara om dess angränsning är kompakt ( Schauders sats ).
  • Om är begränsad och kompakt, då: ${\ displaystyle T: X \ till Y}$
    • stängningen av intervallet är separerbar .${\ displaystyle T}$
    • om intervallet för är stängt i Y , så är intervallet av ändligt-dimensionellt.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$
• Om en Banach utrymme och det finns en inverterbar avgränsat kompakt operatör då med nödvändighet finit-dimensionella.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T: X \ till X}$${\ displaystyle X}$

Antag nu att en Banach utrymme och är en kompakt linjär operator, och är adjoint eller transponeringen av T . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T: X \ till X}$${\ displaystyle T^{*}: X^{*} \ till X^{*}}$

• För alla , då   är en Fredholm operatör av index 0. I synnerhet   är stängd. Detta är viktigt för att utveckla spektralegenskaper för kompakta operatörer. Man kan märka likheten mellan den här egenskapen och det faktum att om och är underutrymmen där var är stängd och är ändlig-dimensionell, då också är stängd.${\ displaystyle T \ i K (X)}$${\ displaystyle {\ operatorname {Id} _ {X}}-T}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \, ({\ operatorname {Id} _ {X}}-T)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M+N}$
• Om är en begränsad linjär operatör är både och kompakta operatörer.${\ displaystyle S: X \ till X}$${\ displaystyle S \ circ T}$${\ displaystyle T \ circ S}$
• Om då är intervallet för stängt och kärnan för är ändlig-dimensionell.${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ displaystyle T- \ lambda \ operatorname {Id} _ {X}}$${\ displaystyle T- \ lambda \ operatorname {Id} _ {X}}$
• Om då följande är ändliga och lika:${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ displaystyle \ dim \ ker \ left (T- \ lambda \ operatorname {Id} _ {X} \ right) = \ dim X/\ operatorname {Im} \ left (T- \ lambda \ operatorname {Id} _ { X} \ höger) = \ dim \ ker \ vänster (T^{*}-\ lambda \ operatorname {Id} _ {X^{*}} \ höger) = \ dim X^{*}/\ operatorname {Im } \ vänster (T^{*}-\ lambda \ operatorname {Id} _ {X^{*}} \ höger)}$
• Det spektrum av , är kompakt, kvantifierbart , och har som mest en gränspunkten , som med nödvändighet skulle vara ursprunget.${\ displaystyle \ sigma (T)}$${\ displaystyle T}$
• Om är oändligt dimensionell då .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 0 \ in \ sigma (T)}$
• Om och då är ett egenvärde för både och .${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (T)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T^{*}}$
• För varje uppsättning är ändliga, och för varje icke-noll intervallet är en riktig delmängd av X .${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle E_ {r} = \ left \ {\ lambda \ in \ sigma (T): | \ lambda |> r \ right \}}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (T)}$${\ displaystyle T- \ lambda \ operatorname {Id} _ {X}}$

Ursprung i integrerad ekvationsteori

En avgörande egenskap för kompaktoperatörer är Fredholm -alternativet , som hävdar att det finns en lösning av linjära ekvationer av formen

${\ displaystyle (\ lambda K+I) u = f}$

(där K är en kompakt operator, f är en given funktion, och u är den okända funktionen som ska lösas för) beter sig ungefär som i ändliga dimensioner. Den spektrala teorin för kompakta operatörer följer sedan, och det är på grund av Frigyes Riesz (1918). Det visar att en kompakt operatör K på ett oändligt dimensionellt Banachutrymme har ett spektrum som antingen är en ändlig delmängd av C som inkluderar 0, eller så är spektrumet en oändligt stor mängd C som har 0 som sin enda gränspunkt . Dessutom är i båda fallen de icke-noll elementen i spektrumet egenvärden av K med ändliga multiplikationer (så att K- λ I har en ändlig-dimensionell kärna för alla komplexa λ ≠ 0).

Ett viktigt exempel på en kompakt operatör är kompakt inbäddning av Sobolev -utrymmen , som tillsammans med Gårding -ojämlikheten och Lax – Milgram -satsen kan användas för att konvertera ett elliptiskt gränsvärdeproblem till en Fredholm integralekvation. Förekomsten av lösningen och spektralegenskaper följer sedan av teorin om kompakta operatörer; i synnerhet har ett elliptiskt gränsvärdeproblem på en begränsad domän oändligt många isolerade egenvärden. En konsekvens är att en fast kropp endast kan vibrera vid isolerade frekvenser, givet av egenvärdena, och godtyckligt höga vibrationsfrekvenser finns alltid.

De kompakta operatörerna från ett Banach-utrymme till sig själva utgör ett dubbelsidigt ideal i algebra för alla begränsade operatörer på rymden. Faktum är att de kompakta operatörerna på ett oändligt dimensionellt separerbart Hilbert-utrymme bildar ett maximalt ideal, så kvotalgebra , känd som Calkin-algebra , är enkel . Mer allmänt utgör de kompakta operatörerna ett operatörsideal .

Kompakt förare på Hilbert -utrymmen

För Hilbert -utrymmen ges en annan motsvarande definition av kompakta operatörer enligt följande.

En operatör på ett oändligt dimensionellt Hilbert-utrymme${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle T: {\ mathcal {H}} \ to {\ mathcal {H}}}$

sägs vara kompakt om det kan skrivas i formuläret

${\ displaystyle T = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ lambda _ {n} \ langle f_ {n}, \ cdot \ rangle g_ {n} \ ,,}$

där och är ortonormala uppsättningar (inte nödvändigtvis fullständiga), och är en sekvens av positiva tal med gränsen noll, kallad operatörens singulära värden . Singelvärdena kan bara ackumuleras vid noll. Om sekvensen blir stationär vid noll, det vill säga för en och en , har operatören en ändlig rang, dvs ett ändligt måttintervall och kan skrivas som ${\ displaystyle \ {f_ {1}, f_ {2}, \ ldots \}}$${\ displaystyle \ {g_ {1}, g_ {2}, \ ldots \}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle \ lambda _ {N+k} = 0}$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N},}$${\ displaystyle k = 1,2, \ dots}$

${\ displaystyle T = \ sum _ {n = 1}^{N} \ lambda _ {n} \ langle f_ {n}, \ cdot \ rangle g_ {n} \ ,.}$

Fästet är skalärprodukten på Hilbert -utrymmet; summan på höger sida konvergerar i operatörsnormen. ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

En viktig underklass av kompaktoperatörer är spårklass- eller kärnkraftsoperatörerna .

Helt kontinuerliga operatörer

Låt X och Y vara Banach -mellanslag. En begränsad linjär operator T  : X → Y kallas helt kontinuerlig om sekvensen är normkonvergent i Y för varje svagt konvergent sekvens från X ( Conway 1985 , §VI.3). Kompakta förare på ett Banach -utrymme är alltid helt kontinuerliga. Om X är ett reflexivt Banach -utrymme är varje helt kontinuerlig operatör T  : X → Y kompakt. ${\ displaystyle (x_ {n})}$${\ displaystyle (Tx_ {n})}$

Något förvirrande kallas kompakta operatörer ibland för "helt kontinuerliga" i äldre litteratur, även om de inte nödvändigtvis är helt kontinuerliga av definitionen av den frasen i modern terminologi.

Exempel

• Varje begränsad operatör är kompakt.
• För och en sekvens (t _n ) som konvergerar till noll är multiplikationsoperatorn ( Tx ) _n = t _n x _n kompakt.${\ displaystyle \ ell ^{p}}$
• För vissa fasta g  ∈  C ([0, 1];  R ), definiera den linjära operatoren T från C ([0, 1];  R ) till C ([0, 1];  R ) med
  $${\ displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {0}^{x} f (t) g (t) \, \ mathrm {d} t.}$$

  
  Att operatören T verkligen är kompakt följer av Ascoli -satsen .
• Mer allmänt, om Ω är någon domän i R ⁿ och integralkärnan k  : Ω × Ω →  R är en Hilbert – Schmidt -kärna , då är operatören T på L ² (Ω;  R ) definierad av
  $${\ displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {\ Omega} k (x, y) f (y) \, \ mathrm {d} y}$$

  
  är en kompakt operatör.
• Enligt Riesz lemma är identitetsoperatören en kompakt operatör om och bara om utrymmet är ändligt dimensionellt.

Se även

• Kompakt inbäddning
• Kompakt operatör på Hilbert -utrymme
• Fredholm alternativ
• Fredholm integrerade ekvationer
• Fredholm operatör
• Spektralteori om kompakta operatörer
• Strikt singular operatör

Anteckningar

Referenser

• Conway, John B. (1985). En kurs i funktionell analys . Springer-Verlag. Avsnitt 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Conway, John B. (1990). En kurs i funktionsanalys . Examen i matematik . 96 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Enflo, P. (1973). "Ett motexempel på approximationsproblemet i Banach -utrymmen" . Acta Mathematica . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 . ISSN  0001-5962 . MR  0402468 .
• Kreyszig, Erwin (1978). Inledande funktionsanalys med applikationer . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Kutateladze, SS (1996). Grunderna i funktionsanalys . Texter i matematiska vetenskaper. 12 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. sid. 292. ISBN 978-0-7923-3898-7.
• Lax, Peter (2002). Funktionell analys . New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Renardy, M .; Rogers, RC (2004). En introduktion till partiella differentialekvationer . Texter i tillämpad matematik. 13 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag . sid. 356. ISBN 978-0-387-00444-0. (Avsnitt 7.5)
• Rudin, Walter (1991). Funktionell analys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .