Kompaktowy operator - Compact operator

W analizy funkcjonalnej , oddział matematyki , A operator zwarty jest operatorem liniowym , w którym to przestrzeń unormowana , z właściwości, która odwzorowuje ograniczone podzbiory o do stosunkowo zwartych podzbiorów (podzbiory o zwartej zamknięcia w ). Taki operator jest koniecznie operatorem ograniczonym , a więc ciągłym. Niektórzy autorzy wymagają, aby były to Banach, ale definicję można rozszerzyć na bardziej ogólne przestrzenie. ${\displaystyle T:X\do Y}$${\displaystyle X,Y}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle X,Y}$

Każdy operator ograniczony, który ma skończoną rangę, jest operatorem kompaktowym; rzeczywiście, klasa operatorów zwartych jest naturalnym uogólnieniem klasy operatorów skończonego rzędu w układzie nieskończenie wymiarowym. Kiedy jest przestrzenią Hilberta , prawdą jest, że każdy operator zwarty jest granicą operatorów skończonego rzędu, tak że klasę operatorów zwartych można zdefiniować alternatywnie jako domknięcie zbioru operatorów skończonego rzędu w topologii normy . Przez wiele lat nierozstrzygniętym pytaniem było, czy w ogóle było to prawdą dla przestrzeni Banacha ( własność aproksymacji ). w 1973 roku Per Enflo podał kontrprzykład, opierając się na pracach Grothendiecka i Banacha . ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Y}$

Geneza teorii operatorów zwartych tkwi w teorii równań całkowych , gdzie operatory całkowe dostarczają konkretnych przykładów takich operatorów. Typowe równanie całkowe Fredholma daje początek zwartemu operatorowi K na przestrzeniach funkcyjnych ; właściwość zwartości jest pokazana przez equicontinuity . Metoda aproksymacji operatorami skończonego rzędu jest podstawowa w numerycznym rozwiązywaniu takich równań. Z tego połączenia wywodzi się abstrakcyjna idea operatora Fredholma .

Równoważne preparaty

O odwzorowaniu liniowym między dwiema topologicznymi przestrzeniami wektorowymi mówimy, że jest zwarta, jeśli istnieje sąsiedztwo początku w takim, że jest stosunkowo zwartym podzbiorem . ${\displaystyle T:X\do Y}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle T(U)}$${\ Displaystyle Y}$

Niech będą przestrzeniami unormowanymi i operatorem liniowym. Wtedy następujące stwierdzenia są równoważne, a niektóre z nich są używane jako główna definicja przez różnych autorów: ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle T:X\do Y}$

• ${\ Displaystyle T}$ jest operatorem kompaktowym;
• obraz kuli jednostki under jest stosunkowo zwarty w ;${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Y}$
• obraz dowolnego ograniczonego podzbioru under jest stosunkowo zwarty w ;${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Y}$
• istnieje sąsiedztwo pochodzenia i zwarty podzbiór taki, że ;${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle V\subseteq Y}$${\ Displaystyle T (U) \ subseteq V}$
• dla dowolnej ograniczonej sekwencji w sekwencja zawiera zbieżną podsekwencję.${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (Tx_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$

Jeśli dodatkowo jest Banach, te stwierdzenia są również równoważne: ${\ Displaystyle Y}$

• obraz dowolnego ograniczonego podzbioru under jest całkowicie ograniczony w .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Y}$

Jeśli operator liniowy jest zwarty, to jest ciągły.

Ważne właściwości

Poniżej znajdują się przestrzenie Banacha, jest przestrzenią operatorów ograniczonych w ramach normy operatora i oznacza przestrzeń operatorów zwartych . oznacza operator tożsamości o , i . ${\displaystyle X,Y,Z,W}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\ Displaystyle X \ do Y}$${\ Displaystyle K (X, Y)}$${\ Displaystyle X \ do Y}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Id} _ {X}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle B (X) = B (X, X)}$${\ Displaystyle K (X) = K (X, X)}$

• ${\ Displaystyle K (X, Y)}$jest zamkniętą podprzestrzenią (w topologii normy). Równoważnie, ${\displaystyle B(X,Y)}$
  • biorąc pod uwagę sekwencję mapowania operatorów zwartych (gdzie są Banach) i biorąc pod uwagę, że zbiega się w odniesieniu do operatora norma , jest to zwarte.${\ Displaystyle (T_ {n}) _ {n \ w \ mathbf {N}}}$${\ Displaystyle X \ do Y}$${\displaystyle X,Y}$${\ Displaystyle (T_ {n}) _ {n \ w \ mathbf {N}}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$
• I odwrotnie, jeśli są przestrzeniami Hilberta, to każdy operator zwarty z jest granicą operatorów skończonego rzędu. Warto zauważyć, że ta „ właściwość aproksymacji ” jest fałszem dla ogólnych przestrzeni Banacha X i Y .${\displaystyle X,Y}$${\ Displaystyle X \ do Y}$
• ${\ Displaystyle B (Y, Z) \ circ K (X, Y) \ circ B (W, X) \ podseteq K (W, Z).}$  W szczególności tworzy dwustronny ideał w .${\ Displaystyle K (X)}$${\ Displaystyle B (X)}$
• Każdy kompaktowy operator jest ściśle pojedynczy , ale nie odwrotnie.
• Ograniczony operator liniowy pomiędzy przestrzeniami Banacha jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego sprzężenie jest zwarte ( twierdzenie Schaudera ).
  • Jeśli jest ograniczony i zwarty, to: ${\displaystyle T:X\do Y}$
    • zamknięcie zakresu jest rozłączne .${\ Displaystyle T}$
    • jeśli zakres jest zamknięty w Y , to zakres jest skończenie wymiarowy.${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$
• Jeśli jest przestrzenią Banacha i tam istnieje odwracalna ograniczonym operator zwarty wtedy zawsze jest skończenie wymiarowa.${\ Displaystyle X}$${\displaystyle T:X\do X}$${\ Displaystyle X}$

Teraz załóżmy, że jest przestrzenią Banacha i jest kompaktowym operator liniowy i jest sprzężony lub transpozycji z T . ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle T:X\do X}$${\ Displaystyle T ^ {*}: X ^ {*} \ do X ^ {*}}$

• Dla any , to   jest operatorem Fredholma o indeksie 0. W szczególności   jest zamknięty. Jest to niezbędne w rozwijaniu właściwości spektralnych operatorów kompaktowych. Można zauważyć podobieństwo tej własności do faktu, że jeśli i są podprzestrzeniami gdzie jest domknięta i jest skończenie wymiarowa, to również jest domknięta.${\ Displaystyle T \ w K (X)}$${\displaystyle {\operatorname {identyfikator} _{X}}-T}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} \ ({\ operatorname {identyfikator} _ {X}}-T)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle M + N}$
• Jeśli jest dowolnym ograniczonym operatorem liniowym, to oba i są operatorami zwartymi.${\displaystyle S:X\do X}$${\displaystyle S\circ T}$${\displaystyle T\circ S}$
• Jeśli wtedy zakres jest zamknięty, a jądro jest skończenie wymiarowe.${\ Displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ Displaystyle T-\ lambda \ operatorname {identyfikator} _ {X}}$${\ Displaystyle T-\ lambda \ operatorname {identyfikator} _ {X}}$
• Jeśli wtedy następujące są skończone i równe:${\ Displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ Displaystyle \ Dim \ Ker \ Left (T-\ Lambda \ Operatorname {identyfikator} _ {X} \ po prawej) = \ Dim X / \ Operatorname {Im} \ Left (T- \ Lambda \ Operatorname {identyfikator} _ { X}\right)=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim X^{*}/\operatorname {Im } \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)}$
• Widmo od , jest kompaktowy, policzalny i ma co najwyżej jednego punktu krańcowego , które muszą być pochodzenie.${\ Displaystyle \ sigma (T)}$${\ Displaystyle T}$
• Jeśli jest nieskończenie wymiarowa, to .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle 0 \ w \ sigma (T)}$
• If i then jest wartością własną obu i .${\ Displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ Displaystyle \ lambda \ w \ sigma (T)}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T ^ {*}}$
• Dla każdego zestawu jest określony, a dla każdej niezerowej zakres jest podzbiorem z X .${\displaystyle r>0}$${\ Displaystyle E_ {r} = \ lewo \ {\ lambda \ w \ sigma (T): | \ lambda |> r \ prawo \}}$${\ Displaystyle \ lambda \ w \ sigma (T)}$${\ Displaystyle T-\ lambda \ operatorname {identyfikator} _ {X}}$

Początki w teorii równań całkowych

Istotną własnością operatorów zwartych jest alternatywa Fredholma , która zakłada istnienie rozwiązania równań liniowych postaci

${\ Displaystyle (\ lambda K + ja) u = f}$

(gdzie K jest operatorem zwartym, f jest daną funkcją, a u jest nieznaną funkcją do rozwiązania) zachowuje się podobnie jak w skończonych wymiarach. Widmowa teoria operatorów zwartych potem następuje, a to ze względu na Frigyes Riesz (1918). Pokazuje, że zwarty operator K na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha ma widmo, które jest albo skończonym podzbiorem C, który zawiera 0, albo widmem jest przeliczalnie nieskończonym podzbiorem C, który ma 0 jako jedyny punkt graniczny . Ponadto, w każdym przypadku niezerowe elementy widmie wartości własnych o K o określonym krotności (tak, że K - λ że ma skończoną trójwymiarowy jądra dla wszystkich złożonych Î ≠ 0).

Ważnym przykładem zwartej operatora jest zwarty osadzanie z przestrzeni Sobolewa , które wraz z nierówności garding i tw Lax-Milgrama , mogą być wykorzystane do konwersji eliptyczny problemu wartości granicznej w Fredholm równania. Istnienie rozwiązania i własności spektralnych wynika więc z teorii operatorów zwartych; w szczególności problem eliptycznej wartości brzegowej na ograniczonej domenie ma nieskończenie wiele izolowanych wartości własnych. Jedną z konsekwencji jest to, że ciało stałe może wibrować tylko przy izolowanych częstotliwościach, podanych przez wartości własne, i zawsze istnieją arbitralnie wysokie częstotliwości drgań.

Zwarte operatory z przestrzeni Banacha do niej samej tworzą dwustronny ideał w algebrze wszystkich operatorów ograniczonych w przestrzeni. Rzeczywiście, zwarte operatory na nieskończenie wymiarowej, separowalnej przestrzeni Hilberta tworzą maksymalny ideał, więc algebra ilorazu , znana jako algebra Calkina , jest prosta . Mówiąc ogólniej, kompaktowe operatory tworzą operator idealny .

Kompaktowy operator na przestrzeniach Hilberta

W przypadku przestrzeni Hilberta kolejna równoważna definicja operatorów zwartych jest podana w następujący sposób.

Operator na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$

${\ Displaystyle T: {\ mathcal {H}} \ do {\ mathcal {H}}}$

mówi się, że jest zwarty, jeśli można go zapisać w formie

${\ Displaystyle T = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lambda _ {n} \ langle f_ {n} \ cdot \ rangle g_ {n} \ ,,}$

gdzie i są zbiorami ortonormalnymi (niekoniecznie kompletnymi) i są ciągiem liczb dodatnich z granicą zero, zwanymi wartościami osobliwymi operatora. Pojedyncze wartości mogą się kumulować tylko przy zerze. Jeżeli ciąg staje się stacjonarny na zero, czyli dla niektórych i każdego , to operator ma skończoną rangę, tj. zakres skończenie wymiarowy i można go zapisać jako ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots \}}$${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots \}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ ldots }$${\ Displaystyle \ lambda _ {N + k} = 0}$${\ Displaystyle N \ w \ mathbb {N} ,}$${\displaystyle k=1,2,\kropki}$

${\ Displaystyle T = \ suma _ {n = 1} ^ {N} \ lambda _ {n} \ langle f_ {n} \ cdot \ rangle g_ {n} \}.$

Nawias jest iloczynem skalarnym w przestrzeni Hilberta; suma po prawej stronie zbiega się z normą operatora. ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle }$

Ważną podklasą operatorów kompaktowych są operatory klasy śladowej lub operatory jądrowe .

Operatorzy całkowicie ciągły

Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha. Ograniczony operator liniowy T  : X → Y nazywamy całkowicie ciągłym, jeśli dla każdego słabo zbieżnego ciągu z X ciąg jest zbieżny z normą w Y ( Conway 1985 , §VI.3). Kompaktowe operatory na przestrzeni Banacha są zawsze całkowicie ciągłe. Jeżeli X jest refleksyjną przestrzenią Banacha , to każdy całkowicie ciągły operator T  : X → Y jest zwarty. ${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\ Displaystyle (Tx_ {n})}$

Nieco mylące, zwarte operatory są czasami określane jako „całkowicie ciągłe” w starszej literaturze, mimo że niekoniecznie są całkowicie ciągłe z definicji tego wyrażenia we współczesnej terminologii.

Przykłady

• Każdy operator o skończonej randze jest kompaktowy.
• Dla sekwencji (t _n ) zbieżnej do zera operator mnożenia ( Tx ) _n = t _n x _n jest zwarty.${\displaystyle \ell ^{p}}$
• Dla pewnych ustalonych g  ∈  C ([0, 1];  R ), zdefiniuj operator liniowy T od C ([0, 1];  R ) do C ([0, 1];  R ) przez
  $${\ Displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) g (t) \ \ operatorname {d} t.}$$

  
  To, że operator T jest rzeczywiście zwarty, wynika z twierdzenia Ascoliego .
• Bardziej ogólnie, jeśli Ω jest dowolną domeną w R ⁿ i integralnym jądrem k  : Ω × Ω →  R jest jądrem Hilberta-Schmidta , wtedy operator T na L ² (Ω;  R ) zdefiniowany przez
  $${\ Displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {\ Omega} k (x, y) f (y) \ \ operatorname {d} y}$$

  
  jest kompaktowym operatorem.
• Według lematu Riesza operator tożsamości jest operatorem zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest skończenie wymiarowa.

Zobacz też

• Kompaktowe osadzanie
• Kompaktowy operator w przestrzeni Hilberta
• Alternatywa Fredholma
• Równania całkowe Fredholma
• Operator Fredholma
• Teoria spektralna operatorów kompaktowych
• Ściśle pojedynczy operator

Uwagi

Bibliografia

• Conway, John B. (1985). Kurs analizy funkcjonalnej . Springer-Verlag. Sekcja 2.4. Numer ISBN 978-3-540-96042-3.
• Conway, John B. (1990). Kurs analizy funkcjonalnej . Teksty magisterskie z matematyki . 96 (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Enflo, P. (1973). "Kontrprzykład problemu aproksymacji w przestrzeniach Banacha" . Akta Matematyki . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 . ISSN  0001-5962 . MR  0402468 .
• Kreyszig, Erwin (1978). Wstępna analiza funkcjonalna z aplikacjami . John Wiley & Synowie. Numer ISBN 978-0-471-50731-4.
• Kutateladze SS (1996). Podstawy analizy funkcjonalnej . Teksty w naukach matematycznych. 12 (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag. P. 292. Numer ISBN 978-0-7923-3898-7.
• Lax, Piotr (2002). Analiza funkcjonalna . Nowy Jork: Wiley-Interscience. Numer ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Renardy, M.; Rogers, RC (2004). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Teksty w matematyce stosowanej. 13 (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag . P. 356. Numer ISBN 978-0-387-00444-0. (sekcja 7.5)
• Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matth . Numer ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .