Álgebra conmutativa

El álgebra conmutativa es la rama de las matemáticas en el campo del álgebra que se ocupa de los anillos conmutativos y sus ideales , módulos y álgebras en cuestión. Es fundamental para las áreas de geometría algebraica y teoría algebraica de números . Los anillos polinomiales son un ejemplo importante de anillos conmutativos .

David Hilbert puede ser nombrado fundador del álgebra conmutativa . Parece haber visto la teoría ideal (así es como se llamó originalmente el álgebra conmutativa) como un enfoque alternativo a numerosas preguntas que podría reemplazar la teoría de la función que era dominante en ese momento . En este contexto, los aspectos estructurales eran para él más importantes que los algorítmicos; Sin embargo, con la creciente eficiencia de los sistemas de álgebra por computadora , los cálculos concretos se han vuelto cada vez más importantes dentro del álgebra conmutativa. El concepto de módulos, que se remonta a Leopold Kronecker , generaliza la teoría de los ideales, que contiene como un caso especial. Estos métodos fueron introducidos al álgebra conmutativa por Emmy Noether y son indispensables en la actualidad.

La teoría de los anillos generales que no necesitan ser conmutativos se llama álgebra no conmutativa .

Supuestos comunes

En álgebra conmutativa, los términos módulo, anillo y álgebra se usan generalmente en un sentido más estricto:

• Todos los módulos son unitarios : si el elemento único del anillo es, entonces se aplica a todos los elementos del módulo:${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle 1 \ cdot m = m}$

• Todos los anillos son unitarios y conmutativos .
• Los homomorfismos entre anillos mapean elementos individuales en elementos individuales.
• Un anillo inferior tiene el mismo elemento que el anillo superior.
• Todas las álgebras son unitarias, conmutativas y asociativas .

literatura

• MF Atiyah , IG MacDonald : Introducción al álgebra conmutativa. Oxford 1969, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9 .
  Breve introducción, trabajo estándar.
• Hideyuki Matsumura: álgebra conmutativa. WA Benjamin, Nueva York 1970.
  Más extenso que la teoría del anillo conmutativo, pero agotado.
• Oscar Zariski , Pierre Samuel : Álgebra conmutativa. 2 vols., Springer-Verlag, Nueva York 1975, ISBN 0-387-90089-6 .
• Hideyuki Matsumura: teoría del anillo conmutativo. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6 .
• Yves Diers: Categorías de álgebras conmutativas. Prensa de la Universidad de Oxford, 1992, ISBN 0-198-53586-4 .
• David Eisenbud : Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica. Springer-Verlag, Nueva York 1996, ISBN 0-387-94269-6 .
  Trabajo estándar integral.