Algebraiskt sluten grupp - Algebraically closed group

I gruppteori , en grupp är algebraiskt sluten om någon ändlig uppsättning ekvationer och ejlikamedtecken som "vettigt" i har en lösning i utan att behöva en grupp förlängning . Denna uppfattning kommer att preciseras senare i artikeln i § Formell definition . ${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$

Informell diskussion

Anta att vi ville hitta ett element i en grupp som uppfyller villkoren (ekvationer och olikningar): ${\ displaystyle x \}$${\ displaystyle G \}$

${\ displaystyle x ^ {2} = 1 \}$

${\ displaystyle x ^ {3} = 1 \}$

${\ displaystyle x \ neq 1 \}$

Då är det lätt att se att detta är omöjligt eftersom de två första ekvationerna antyder . I det här fallet säger vi att villkoren är oförenliga med . (Faktum är att denna uppsättning villkor är oförenlig med någon grupp överhuvudtaget.) ${\ displaystyle x = 1 \}$${\ displaystyle G \}$

${\ displaystyle G \}$
${\ displaystyle. \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {1}} \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {a}} \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {1}} \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {a}} \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle 1 \}$

Antag nu att gruppen är med multiplikationstabellen: ${\ displaystyle G \}$

Sedan villkoren:

${\ displaystyle x ^ {2} = 1 \}$

${\ displaystyle x \ neq 1 \}$

har en lösning i , nämligen . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle x = a \}$

Men villkoren:

${\ displaystyle x ^ {4} = 1 \}$

${\ displaystyle x ^ {2} a ^ {- 1} = 1 \}$

Har inte en lösning i , som lätt kan kontrolleras. ${\ displaystyle G \}$

${\ displaystyle H \}$

${\ displaystyle. \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {1}} \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {a}} \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {b}} \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {c}} \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {1}} \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle b \}$ ${\ displaystyle c \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {a}} \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle c \}$ ${\ displaystyle b \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {b}} \}$ ${\ displaystyle b \}$ ${\ displaystyle c \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle {\ understrykning {c}} \}$ ${\ displaystyle c \}$ ${\ displaystyle b \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle a \}$

Men om vi utökar gruppen till gruppen med multiplikationstabell: ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle H \}$

Då har förhållandena två lösningar, nämligen och . ${\ displaystyle x = b \}$${\ displaystyle x = c \}$

Det finns alltså tre möjligheter angående sådana villkor:

• De kan vara oförenliga med och har ingen lösning i någon förlängning av . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle G \}$
• De kan ha en lösning i . ${\ displaystyle G \}$
• De har kanske ingen lösning men har ändå en lösning i någon utvidgning av . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle H \}$${\ displaystyle G \}$

Det är rimligt att fråga om det finns några grupper så att när en uppsättning villkor som dessa alls har en lösning, har de en lösning i sig? Svaret visar sig vara "ja", och vi kallar sådana grupper för algebraiskt stängda grupper. ${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$

Formell definition

Vi behöver först några preliminära idéer.

Om är en grupp och är den fria gruppen på otaligt många generatorer, men med en begränsad uppsättning ekvationer och olikningar med koefficienter menar vi ett par underuppsättningar och av den fria produkten av och . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle F \}$ ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle E \}$${\ displaystyle I \}$${\ displaystyle F \ star G}$${\ displaystyle F \}$${\ displaystyle G \}$

Detta formaliserar uppfattningen om en uppsättning ekvationer och olikningar som består av variabler och element av . Uppsättningen representerar ekvationer som: ${\ displaystyle x_ {i} \}$${\ displaystyle g_ {j} \}$${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle E \}$

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} g_ {1} ^ {4} x_ {3} = 1}$

${\ displaystyle x_ {3} ^ {2} g_ {2} x_ {4} g_ {1} = 1}$

${\ displaystyle \ dots \}$

Uppsättningen representerar ojämlikheter som ${\ displaystyle I \}$

${\ displaystyle g_ {5} ^ {- 1} x_ {3} \ neq 1}$

${\ displaystyle \ dots \}$

Genom en lösning i denna ändliga uppsättning ekvationer och ejlikamedtecken menar vi en homomorfism , så att för alla och för alla , där är den unika homomorfism som är lika på och identiteten på . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle f: F \ rightarrow G}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} (e) = 1 \}$${\ displaystyle e \ i E}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} (i) \ neq 1 \}$${\ displaystyle i \ i I}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}: F \ star G \ rightarrow G}$${\ displaystyle f \}$${\ displaystyle F \}$${\ displaystyle G \}$

Detta formaliserar idén att ersätta element för variablerna för att få sanna identiteter och oidentiteter. I exemplet är substitutionerna och utbytet: ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle x_ {1} \ mapsto g_ {6}, x_ {3} \ mapsto g_ {7}}$${\ displaystyle x_ {4} \ mapsto g_ {8}}$

${\ displaystyle g_ {6} ^ {2} g_ {1} ^ {4} g_ {7} = 1}$

${\ displaystyle g_ {7} ^ {2} g_ {2} g_ {8} g_ {1} = 1}$

${\ displaystyle \ dots \}$

${\ displaystyle g_ {5} ^ {- 1} g_ {7} \ neq 1}$

${\ displaystyle \ dots \}$

Vi säger att den ändliga uppsättningen av ekvationer och ojämlikheter överensstämmer med om vi kan lösa dem i en "större" grupp . Mer formellt: ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle H \}$

Ekvationerna och ojämlikheterna överensstämmer med om det finns en grupp och en inbäddning så att den slutliga uppsättningen ekvationer och ojämlikheter och har en lösning i , var är den unika homomorfismen som är lika med och är identiteten på . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle H \}$${\ displaystyle h: G \ rightarrow H}$${\ displaystyle {\ tilde {h}} (E)}$${\ displaystyle {\ tilde {h}} (I)}$${\ displaystyle H \}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}: F \ star G \ rightarrow F \ star H}$${\ displaystyle h \}$${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle F \}$

Nu definierar vi formellt att gruppen ska vara algebraiskt stängd om varje slutlig uppsättning ekvationer och ojämlikheter som har koefficienter i och överensstämmer med har en lösning i . ${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$

Kända resultat

Det är svårt att ge konkreta exempel på algebraiskt slutna grupper eftersom följande resultat indikerar:

• Varje räknbar grupp kan inbäddas i en räknbar algebraiskt sluten grupp.
• Varje algebraiskt stängd grupp är enkel .
• Ingen algebraiskt sluten grupp genereras helt .
• En algebraiskt sluten grupp kan inte presenteras rekursivt .
• En ändligt genererad grupp har ett lösbart ordproblem om och bara om det kan inbäddas i varje algebraiskt sluten grupp.

Bevisen för dessa resultat är i allmänhet mycket komplexa. Emellertid följer en skiss av beviset på att en räknbar grupp kan inbäddas i en algebraiskt sluten grupp. ${\ displaystyle C \}$

Först bäddar vi in en räknbar grupp med den egenskapen att varje begränsad uppsättning ekvationer med koefficienter i som är konsekvent i har en lösning enligt följande: ${\ displaystyle C \}$${\ displaystyle C_ {1} \}$${\ displaystyle C \}$${\ displaystyle C_ {1} \}$${\ displaystyle C_ {1} \}$

Det finns bara många ändliga uppsättningar av ekvationer och ojämlikheter med koefficienter i . Fixa en uppräkning av dem. Definiera grupper induktivt genom att: ${\ displaystyle C \}$${\ displaystyle S_ {0}, S_ {1}, S_ {2}, \ dots \}$${\ displaystyle D_ {0}, D_ {1}, D_ {2}, \ dots \}$

${\ displaystyle D_ {0} = C \}$

${\ displaystyle D_ {i + 1} = \ left \ {{\ begin {matrix} D_ {i} \ & {\ mbox {if}} \ S_ {i} \ {\ mbox {överensstämmer inte med}} \ D_ {i} \\\ langle D_ {i}, h_ {1}, h_ {2}, \ dots, h_ {n} \ rangle & {\ mbox {if}} \ S_ {i} \ {\ mbox { har en lösning i}} \ H \ supseteq D_ {i} \ {\ mbox {med}} \ x_ {j} \ mapsto h_ {j} \ 1 \ leq j \ leq n \ end {matrix}} \ höger. }$

Låt nu:

${\ displaystyle C_ {1} = \ cup _ {i = 0} ^ {\ infty} D_ {i}}$

Nu upprepa denna konstruktion för att få en sekvens av grupper och låt: ${\ displaystyle C = C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, \ dots \}$

${\ displaystyle A = \ cup _ {i = 0} ^ {\ infty} C_ {i}}$

Sedan finns en räknbar grupp som innehåller . Det är algebraiskt stängt eftersom varje begränsad uppsättning ekvationer och ojämlikheter som överensstämmer med måste ha koefficienter i vissa och så måste ha en lösning i . ${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle C \}$${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle C_ {i} \}$${\ displaystyle C_ {i + 1} \}$

Se även

• Algebraisk stängning
  • Algebraiskt stängt fält

Referenser

• A. Macintyre: På algebraiskt slutna grupper, ann. of Math, 96, 53-97 (1972)
• BH Neumann: En anteckning om algebraiskt slutna grupper. J. London Math. Soc. 27, 227-242 (1952)
• BH Neumann: Isomorfismproblemet för algebraiskt slutna grupper. I: Word Problems, s. 553–562. Amsterdam: Nordholland 1973
• WR Scott: Algebraiskt stängda grupper. Proc. Amer. Matematik. Soc. 2, 118-121 (1951)