Algebraïsch gesloten groep - Algebraically closed group

In groepentheorie , een groep is algebraïsch gesloten indien eindige verzameling vergelijkingen en inequations dat "zinvol" in een oplossing zonder een groep extensie . Dit begrip zal later in het artikel in § Formele definitie worden verduidelijkt . ${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$

Informeel gesprek

Stel dat we een element van een groep willen vinden dat voldoet aan de voorwaarden (vergelijkingen en ongelijkheden): ${\ displaystyle x \}$${\ displaystyle G \}$

${\ displaystyle x ^ {2} = 1 \}$

${\ displaystyle x ^ {3} = 1 \}$

${\ displaystyle x \ neq 1 \}$

Dan is het gemakkelijk in te zien dat dit onmogelijk is omdat de eerste twee vergelijkingen impliceren . In dit geval zeggen we dat de reeks voorwaarden niet consistent is met . (In feite zijn deze voorwaarden niet consistent met welke groep dan ook.) ${\ displaystyle x = 1 \}$${\ displaystyle G \}$

${\ displaystyle G \}$
${\ displaystyle. \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {1}} \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {a}} \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {1}} \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {a}} \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle 1 \}$

Stel nu dat de groep met de tafel van vermenigvuldiging: ${\ displaystyle G \}$

Dan de voorwaarden:

${\ displaystyle x ^ {2} = 1 \}$

${\ displaystyle x \ neq 1 \}$

hebben er een oplossing in , namelijk . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle x = a \}$

Maar de voorwaarden:

${\ displaystyle x ^ {4} = 1 \}$

${\ displaystyle x ^ {2} a ^ {- 1} = 1 \}$

Heb geen oplossing in , zoals eenvoudig kan worden gecontroleerd. ${\ displaystyle G \}$

${\ displaystyle H \}$

${\ displaystyle. \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {1}} \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {a}} \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {b}} \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {c}} \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {1}} \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle b \}$ ${\ displaystyle c \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {a}} \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle c \}$ ${\ displaystyle b \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {b}} \}$ ${\ displaystyle b \}$ ${\ displaystyle c \}$ ${\ displaystyle a \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle {\ onderstrepen {c}} \}$ ${\ displaystyle c \}$ ${\ displaystyle b \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle a \}$

Als we de groep echter uitbreiden naar de groep met tafel van vermenigvuldiging: ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle H \}$

Dan hebben de voorwaarden twee oplossingen, namelijk en . ${\ displaystyle x = b \}$${\ displaystyle x = c \}$

Er zijn dus drie mogelijkheden met betrekking tot dergelijke voorwaarden:

• Ze kunnen in strijd zijn met en hebben geen oplossing in enige uitbreiding van . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle G \}$
• Ze hebben misschien een oplossing in . ${\ displaystyle G \}$
• Ze hebben misschien geen oplossing, maar hebben toch een oplossing in een of andere uitbreiding van . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle H \}$${\ displaystyle G \}$

Het is redelijk om je af te vragen of er groepen zijn die, wanneer een reeks van voorwaarden als deze überhaupt een oplossing heeft, een oplossing op zich hebben? Het antwoord blijkt "ja" te zijn, en we noemen dergelijke groepen algebraïsch gesloten groepen. ${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$

Formele definitie

We hebben eerst enkele voorlopige ideeën nodig.

Als het een groep is en de vrije groep is op aftelbaar veel generatoren, dan bedoelen we met een eindige set vergelijkingen en ongelijkheden met coëfficiënten een paar subsets en van het vrije product van en . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle F \}$ ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle E \}$${\ displaystyle I \}$${\ displaystyle F \ star G}$${\ displaystyle F \}$${\ displaystyle G \}$

Dit formaliseert het idee van een reeks vergelijkingen en ongelijkheden die bestaan ​​uit variabelen en elementen van . De set vertegenwoordigt vergelijkingen zoals: ${\ displaystyle x_ {i} \}$${\ displaystyle g_ {j} \}$${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle E \}$

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} g_ {1} ^ {4} x_ {3} = 1}$

${\ displaystyle x_ {3} ^ {2} g_ {2} x_ {4} g_ {1} = 1}$

${\ displaystyle \ dots \}$

De set vertegenwoordigt ongelijkheden zoals ${\ displaystyle I \}$

${\ displaystyle g_ {5} ^ {- 1} x_ {3} \ neq 1}$

${\ displaystyle \ dots \}$

Door een oplossing in deze eindige set van vergelijkingen en inequations, bedoelen we een homomorfisme , zodat voor iedereen en voor iedereen , waarbij de unieke homomorfisme dat gelijk op en is de identiteit op . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle f: F \ rightarrow G}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} (e) = 1 \}$${\ displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} (i) \ neq 1 \}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}: F \ star G \ rightarrow G}$${\ displaystyle f \}$${\ displaystyle F \}$${\ displaystyle G \}$

Dit formaliseert het idee om elementen te vervangen door variabelen om echte identiteiten en onidentiteiten te krijgen. In het voorbeeld zijn de vervangingen en opbrengst: ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle x_ {1} \ kaarten naar g_ {6}, x_ {3} \ kaarten naar g_ {7}}$${\ displaystyle x_ {4} \ kaarten naar g_ {8}}$

${\ displaystyle g_ {6} ^ {2} g_ {1} ^ {4} g_ {7} = 1}$

${\ displaystyle g_ {7} ^ {2} g_ {2} g_ {8} g_ {1} = 1}$

${\ displaystyle \ dots \}$

${\ displaystyle g_ {5} ^ {- 1} g_ {7} \ neq 1}$

${\ displaystyle \ dots \}$

We zeggen dat de eindige reeks vergelijkingen en ongelijkheden consistent is met als we ze in een "grotere" groep kunnen oplossen . Meer formeel: ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle H \}$

De vergelijkingen en inequations stroken met als er een groep en een insluiten zodanig dat de eindige verzameling vergelijkingen en inequations en een oplossing , waarbij de unieke homomorfisme die gelijk is aan en de identiteit . ${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle H \}$${\ displaystyle h: G \ rightarrow H}$${\ displaystyle {\ tilde {h}} (E)}$${\ displaystyle {\ tilde {h}} (I)}$${\ displaystyle H \}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}: F \ star G \ rightarrow F \ star H}$${\ displaystyle h \}$${\ displaystyle G \}$${\ displaystyle F \}$

Nu definiëren we formeel de groep die algebraïsch gesloten moet zijn als elke eindige set vergelijkingen en ongelijkheden met coëfficiënten erin en consistent is met een oplossing heeft . ${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle A \}$

Bekende resultaten

Het is moeilijk om concrete voorbeelden te geven van algebraïsch gesloten groepen, aangezien de volgende resultaten aangeven:

• Elke telbare groep kan worden ingebed in een telbare algebraïsch gesloten groep.
• Elke algebraïsch gesloten groep is eenvoudig .
• Er wordt geen algebraïsch gesloten groep eindig gegenereerd .
• Een algebraïsch gesloten groep kan niet recursief worden gepresenteerd .
• Een eindig gegenereerde groep heeft een oplosbaar woordprobleem als en slechts als het kan worden ingebed in elke algebraïsch gesloten groep.

De bewijzen van deze resultaten zijn over het algemeen erg complex. Er volgt echter een schets van het bewijs dat een telbare groep kan worden ingebed in een algebraïsch gesloten groep. ${\ displaystyle C \}$

Eerst insluiten we in een telbare groep met de eigenschap dat elke eindige set vergelijkingen met coëfficiënten die consistent is in een oplossing heeft als volgt: ${\ displaystyle C \}$${\ displaystyle C_ {1} \}$${\ displaystyle C \}$${\ displaystyle C_ {1} \}$${\ displaystyle C_ {1} \}$

Er zijn alleen aftelbaar veel eindige verzamelingen vergelijkingen en ongelijkheden met coëfficiënten in . Maak een opsomming ervan. Definieer groepen inductief door: ${\ displaystyle C \}$${\ displaystyle S_ {0}, S_ {1}, S_ {2}, \ dots \}$${\ displaystyle D_ {0}, D_ {1}, D_ {2}, \ dots \}$

${\ displaystyle D_ {0} = C \}$

${\ displaystyle D_ {i + 1} = \ left \ {{\ begin {matrix} D_ {i} \ & {\ mbox {if}} \ S_ {i} \ {\ mbox {komt niet overeen met}} \ D_ {i} \\\ langle D_ {i}, h_ {1}, h_ {2}, \ dots, h_ {n} \ rangle & {\ mbox {if}} \ S_ {i} \ {\ mbox { heeft een oplossing in}} \ H \ supseteq D_ {i} \ {\ mbox {met}} \ x_ {j} \ kaarten naar h_ {j} \ 1 \ leq j \ leq n \ end {matrix}} \ right. }$

Laten we nu:

${\ displaystyle C_ {1} = \ cup _ {i = 0} ^ {\ infty} D_ {i}}$

Herhaal nu deze constructie om een ​​reeks groepen te krijgen en laat: ${\ displaystyle C = C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, \ dots \}$

${\ displaystyle A = \ cup _ {i = 0} ^ {\ infty} C_ {i}}$

Dan is een telbare groep met daarin . Het is algebraïsch gesloten omdat elke eindige reeks vergelijkingen en ongelijkheden die consistent is met sommige coëfficiënten moet hebben en dus een oplossing moet hebben . ${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle C \}$${\ displaystyle A \}$${\ displaystyle C_ {i} \}$${\ displaystyle C_ {i + 1} \}$

Zie ook

• Algebraïsche sluiting
  • Algebraïsch gesloten veld

Referenties

• A. Macintyre: Over algebraïsch gesloten groepen, ann. of Math, 96, 53-97 (1972)
• BH Neumann: Een opmerking over algebraïsch gesloten groepen. J. London Math. Soc. 27, 227-242 (1952)
• BH Neumann: Het isomorfismeprobleem voor algebraïsch gesloten groepen. In: Word Problems, pp 553-562. Amsterdam: Noord-Holland 1973
• WR Scott: Algebraïsch gesloten groepen. Proc. Amer. Wiskunde. Soc. 2, 118-121 (1951)