Absolut oändligt - Absolute Infinite

The Absolute Infinite ( symbol : Ω) är en förlängning av idén om oändlighet som föreslogs av matematikern Georg Cantor .

Det kan ses som ett tal som är större än någon tänkbar eller otänkbar mängd, antingen begränsad eller transfinit .

Cantor kopplade det absoluta oändliga till Gud och trodde att det hade olika matematiska egenskaper, inklusive reflektionsprincipen : varje egenskap hos Absolute Infinite innehas också av något mindre objekt.

Cantors syn

Cantor sa:

Det verkliga oändliga kännetecknades av tre relationer: för det första, som det förverkligas i den högsta perfektionen, i den helt oberoende, utomjordiska tillvaron, i Deo, där jag kallar det absolut oändligt eller helt enkelt absolut; andra i den mån den representeras i den beroende, skapande världen; tredje eftersom det kan tänkas abstrakt i tanken som en matematisk storlek, antal eller ordertyp. I de två sistnämnda relationerna, där det uppenbarligen uppenbarar sig som begränsat och kapabelt för ytterligare spridning och därmed bekant för det ändliga, kallar jag det Transfinitum och kontrasterar det starkt med det absoluta.

Cantor nämnde också idén i sina brev till Richard Dedekind (text inom hakparenteser som inte finns i original):

En mångfald kallas välordnad om den uppfyller villkoret att varje delmultiplikitet har ett första element ; en sådan mångfald kallar jag för kort en "sekvens".

...

Nu tänker jag mig systemet med alla [ordinal] tal och betecknar det Ω .

...

Systemet Ω i sin naturliga ordning efter storlek är en "sekvens".
Låt oss nu ansluta 0 som ett ytterligare element till denna sekvens och placera den uppenbarligen i den första positionen; då vi erhålla en sekvens Ω ' :

0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 1, ..., γ, ...
av vilka en kan lätt övertyga sig själv om att varje nummer γ inträffar i det är typen [dvs. ordningstyp] av sekvensen för alla dess föregående element (inklusive 0). (Sekvensen Ω har denna egenskap först för ω 0 +1. [Ω 0 +1 bör vara ω 0. ])

Nu kan Ω ′ (och därför också Ω ) inte vara en konsekvent mångfald. För om Ω ′ var konsekvent, då som en välordnad uppsättning, skulle ett tal δ motsvara det som skulle vara större än alla nummer i systemet Ω ; talet δ hör dock också till systemet Ω , eftersom det omfattar alla tal. Således skulle δ vara större än δ , vilket är en motsägelse. Därför:

Systemet Ω för alla [ordinal] tal är en inkonsekvent, absolut oändlig mångfald.

Burali-Forti-paradoxen

Huvudartikel: Burali-Forti paradox

Tanken att samlingen av alla ordinalnummer inte logiskt kan existera verkar paradoxal för många. Detta är relaterat till Cesare Burali-Fortis "paradox" som säger att det inte kan finnas något största ordinalnummer . Alla dessa problem kan spåras tillbaka till tanken att för varje egenskap som kan definieras logiskt finns det en uppsättning av alla objekt som har den egenskapen. Men som i Cantors argument (ovan) leder denna idé till svårigheter.

Mer allmänt, som noterats av AW Moore , kan det inte finnas något slut på processen med uppsättningsbildning , och därmed inte något som helheten av alla uppsättningar eller uppsättningshierarkin . Varje sådan totalitet måste själv vara en uppsättning och således ligga någonstans inom hierarkin och därmed inte kunna innehålla varje uppsättning.

En standardlösning på detta problem finns i Zermelos uppsättningsteori , som inte tillåter obegränsad bildning av uppsättningar från godtyckliga egenskaper. Snarare kan vi bilda uppsättningen för alla objekt som har en given egenskap och ligga i en viss uppsättning ( Zermelos separationsaxiom ). Detta möjliggör bildandet av uppsättningar baserade på egenskaper, i begränsad mening, samtidigt som (förhoppningsvis) konsistensen i teorin bevaras.

Även om detta löser det logiska problemet, kan man hävda att det filosofiska problemet kvarstår. Det verkar naturligt att en uppsättning individer borde existera, så länge individerna existerar. Naiv uppsättningsteori kan faktiskt sägas vara baserad på denna uppfattning. Även om Zermelos fix tillåter en klass att beskriva godtyckliga (möjligen "stora") enheter, kan dessa predikat för metaspråket inte ha någon formell existens (dvs. som en uppsättning) inom teorin. Till exempel skulle klassen av alla uppsättningar vara en riktig klass . Detta är filosofiskt otillfredsställande för vissa och har motiverat ytterligare arbete inom uppsättningsteori och andra metoder för att formalisera matematikens grunder, till exempel New Foundations av Willard Van Orman Quine .

Se även

Anteckningar

Bibliografi