Absolut uendelig - Absolute Infinite

The Absolute Infinite ( symbol : Ω) er en forlængelse af ideen om uendelighed foreslået af matematiker Georg Cantor .

Det kan betragtes som et tal, der er større end nogen tænkelig eller utænkelig størrelse, enten endelig eller transfinit .

Cantor forbandt det absolutte uendelige med Gud og mente, at det havde forskellige matematiske egenskaber, herunder refleksionsprincippet : hver egenskab ved det absolutte uendelige er også indeholdt af nogle mindre objekter.

Cantors opfattelse

Cantor sagde:

Den egentlige uendelighed blev kendetegnet ved tre relationer: For det første, som det realiseres i den ypperste perfektion, i den fuldstændigt uafhængige, udenjordiske eksistens, i Deo, hvor jeg kalder det absolut uendeligt eller simpelthen absolut; andet i det omfang, det er repræsenteret i den afhængige, skabende verden; tredje, da det kan opfattes abstrakt i tanken som en matematisk størrelse, tal eller ordertype. I de sidstnævnte to relationer, hvor det åbenbart viser sig som begrænset og i stand til yderligere spredning og dermed kendt for det endelige, kalder jeg det Transfinitum og kontrasterer det stærkt med det absolutte.

Cantor nævnte også ideen i sine breve til Richard Dedekind (tekst i firkantede parenteser, der ikke findes i originalen):

En mangfoldighed kaldes velordnet, hvis den opfylder betingelsen om, at hver delmangfoldighed har et første element ; sådan en mangfoldighed kalder jeg kort en "sekvens".

...

Nu forestiller jeg mig systemet med alle [ordinale] tal og betegner det Ω .

...

Systemet Ω i sin naturlige rækkefølge efter størrelsesorden er en "sekvens".
Lad os nu slutte 0 som et ekstra element til denne sekvens, og placere den naturligvis i den første position; så får vi en sekvens Ω ′ :

0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 +1, ..., γ, ...
hvoraf man let kan overbevise sig selv om, at hvert tal γ, der forekommer i det er typen [dvs. ordretype] for sekvensen af ​​alle dens foregående elementer (inklusive 0). (Sekvensen Ω har denne egenskab først for ω 0 +1. [Ω 0 +1 skal være ω 0. ])

Nu kan Ω ′ (og derfor også Ω ) ikke være en konsekvent multiplicitet. For hvis Ω ′ var konsistente, ville et tal δ som et velordnet sæt svare til det, som ville være større end alle numre i systemet Ω ; tallet δ tilhører imidlertid også systemet Ω , fordi det omfatter alle tal. Således ville δ være større end δ , hvilket er en modsigelse. Derfor:

Systemet Ω for alle [ordinære] tal er en inkonsekvent, absolut uendelig mangfoldighed.

Burali-Forti-paradokset

Hovedartikel: Burali-Forti paradoks

Ideen om, at samlingen af ​​alle ordinale numre logisk ikke kan eksistere, synes for mange paradoksal . Dette er relateret til Cesare Burali-Fortis "paradoks", der siger, at der ikke kan være det største ordinale tal . Alle disse problemer kan spores tilbage til tanken om, at der for hver egenskab, der kan defineres logisk, findes et sæt af alle objekter, der har denne egenskab. Men som i Cantors argument (ovenfor) fører denne idé til vanskeligheder.

Mere generelt, som påpeget af AW Moore , kan der ikke være nogen ende på processen med indstillede dannelse, og således ikke sådan noget som helheden af alle sæt , eller den indstillede hierarkiet . Enhver sådan totalitet skulle i sig selv være et sæt og dermed ligge et sted i hierarkiet og dermed undlade at indeholde hvert sæt.

En standardløsning på dette problem findes i Zermelos sætteori , som ikke tillader ubegrænset dannelse af sæt fra vilkårlige egenskaber. Snarere kan vi danne sættet af alle objekter, der har en given egenskab og ligger i et givet sæt (Zermelos aksiom for adskillelse ). Dette giver mulighed for dannelse af sæt baseret på egenskaber i begrænset forstand, samtidig med at (forhåbentlig) bevarelsen af ​​teoriens konsistens.

Selvom dette løser det logiske problem, kan man hævde, at det filosofiske problem forbliver. Det forekommer naturligt, at et sæt individer burde eksistere, så længe individerne eksisterer. Faktisk naive mængdelære kan siges at være baseret på dette begreb. Selvom Zermelos rettelse tillader en klasse at beskrive vilkårlige (muligvis "store") objekter, har disse prædikater for metasproget muligvis ingen formel eksistens (dvs. som et sæt) inden for teorien. For eksempel ville klassen af ​​alle sæt være en ordentlig klasse . Dette er filosofisk utilfredsstillende for nogle og har motiveret yderligere arbejde inden for sætteori og andre metoder til formalisering af matematikens fundament, såsom New Foundations af Willard Van Orman Quine .

Se også

Noter

Bibliografi