Пространство петли - Loop space

В топологии , ветвь математики , то пространство петель Ω X из заостренного топологического пространства X является пространством ( на основе) петель в X , т.е. непрерывные заостренные карты из заостренной окружности S ¹ к X , наделенная компактно-открытой топологии . Две петли можно умножить конкатенацией . С помощью этой операции пространство петель становится A _∞ -пространством . То есть умножение гомотопически-когерентно ассоциативно .

Набор из компонентов пути из Ом X , т.е. множества на основе-гомотопических классов эквивалентности петель , основанных на X , является группой , то фундаментальная группа π ₁ ( X ).

В итерированных пространствах петель из X формируется путем применения Ом несколько раз.

Аналогичная конструкция существует для топологических пространств без базовой точки. Пространство свободных петель топологического пространства X - это пространство отображений окружности S ¹ в X с компактно-открытой топологией. Свободное пространство петель X часто обозначается как . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} X}$

Как функтор , конструкция свободного пространства петель сопряжена справа с декартовым произведением на окружность, а конструкция пространства петель сопряжена справа с приведенной надстройкой . Это присоединение во многом объясняет важность пространств петель в стабильной теории гомотопий . (Связанное с этим явление в информатике - каррирование , когда декартово произведение присоединяется к гом-функтору .) Неформально это называется двойственностью Экмана – Хилтона .

Двойственность Экмана – Хилтона

Пространство петли двойное подвесу того же самого пространства; эту двойственность иногда называют двойственностью Экмана – Хилтона . Основное наблюдение состоит в том, что

${\ Displaystyle [\ Sigma Z, X] \ приблизительно [Z, \ Omega X]}$

где - множество гомотопических классов отображений , - надстройка A, и обозначает естественный гомеоморфизм . Этот гомеоморфизм по сути является гомеоморфизмом каррирования по модулю частных, необходимых для преобразования продуктов в восстановленные продукты. ${\ displaystyle [A, B]}$${\ displaystyle A \ rightarrow B}$${\ displaystyle \ Sigma A}$${\ Displaystyle \ приблизительно}$

В общем, не имеет групповой структуры для произвольных пространств и . Однако, можно показать , что и есть естественные групповые структуры , когда и являются остроконечными , и вышеупомянутым изоморфизм этих групп. Таким образом, установка ( сфера) дает соотношение ${\ displaystyle [A, B]}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle [\ Sigma Z, X]}$${\ displaystyle [Z, \ Omega X]}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Z = S ^ {к-1}}$${\ displaystyle k-1}$

${\ Displaystyle \ пи _ {к} (Х) \ приблизительно \ пи _ {к-1} (\ Омега Х)}$ .

Это следует , так как гомотопическая группа определяется как и сферы могут быть получены с помощью суспензий друг-друга, то есть . ${\ displaystyle \ pi _ {k} (X) = [S ^ {k}, X]}$${\ Displaystyle S ^ {k} = \ Sigma S ^ {k-1}}$

Смотрите также

• Пространство Эйленберга – Маклейна
• Бесплатная петля
• Фундаментальная группа
• Список топологий
• Группа петель
• Путь (топология)
• Квазигруппа
• Спектр (топология)

Рекомендации

• Адамс, Джон Франк (1978), Бесконечные пространства петель , Анналы математических исследований, 90 , Princeton University Press , ISBN   978-0-691-08207-3 , Руководство по ремонту   0505692
• Мэй, Дж. Питер (1972), Геометрия итерированных пространств петель , Конспект лекций по математике, 271 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0067491 , ISBN   978-3-540-05904-2 , MR   0420610