Локальная ограниченность - Local boundedness

В математике , функция является локально ограниченным , если оно ограничено вокруг каждой точки. Семейство функций является локально ограниченным , если для любой точки в своей области все функции ограничены вокруг этой точки и одним и тем же номером.

Локально ограниченная функция

Вещественная или комплекснозначная функция F , определенные на некотором топологическом пространстве X называется локально ограниченная , если для любой х 0 в X существует окрестность А из й 0 таких , что ф ( А ) представляет собой ограниченное множество . То есть для некоторого числа M > 0 имеем

для всех х в А .

Другими словами, для каждого x можно найти константу, зависящую от x , которая больше всех значений функции в окрестности x . Сравните это с ограниченной функцией , для которой константа не зависит от x . Очевидно, что если функция ограничена, то она ограничена локально. Обратное в общем случае неверно (см. Ниже).

Это определение может быть распространено на случай, когда f принимает значения в некотором метрическом пространстве . Тогда указанное выше неравенство необходимо заменить на

для всех x в A , где d - функция расстояния в метрическом пространстве, а a - некоторая точка в метрическом пространстве. Выбор a не влияет на определение; выбор другого a не более чем увеличит константу M, для которой справедливо это неравенство.

Примеры

  • Функция f : R → R определяется формулой

ограничено, поскольку 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 для всех x . Следовательно, он также локально ограничен.

  • Функция f : R → R определяется формулой

это не ограничен, так как она становится сколь угодно большой. Тем не менее, это локально ограничено , потому что для каждого а , | f ( x ) | ≤ M в окрестности ( a  - 1, a  + 1), где M = 2 | а | + 5.

  • Функция f : R → R определяется формулой

не является ни ограниченным, ни локально ограниченным. В любой окрестности 0 эта функция принимает значения сколь угодно большой величины.

  • Любая непрерывная функция локально ограничена. Вот доказательство для функций действительной переменной. Пусть F : U → R быть непрерывным , где U ⊆ R , и покажем , что п локально ограничена на для всех а в U . Взяв в определении непрерывности ε = 1, найдется такое δ> 0, что | f ( x ) - f ( a ) | <1 для всех x в U с | х - а | <δ. Теперь по неравенству треугольника | f ( x ) | = | f ( x ) -  f ( a ) +  f ( a ) | ≤ | f ( x ) -  f ( a ) | + | f ( а ) | <1 + | f ( a ) |, что означает, что f локально ограничена в a (беря M = 1 + | f ( a ) | и окрестность ( a  - δ, a  + δ)). Этот аргумент легко обобщается на случай, когда областью определения f является любое топологическое пространство.
  • Однако обратное к приведенному выше результату неверно, т.е. разрывная функция может быть локально ограниченной. Например, рассмотрим функцию f : R → R, заданную формулами f (0) = 1 и f ( x ) = 0 для всех x ≠ 0. Тогда f разрывна в 0, но f локально ограничена; она локально постоянна, за исключением нуля, где мы можем взять, например, M  = 1 и окрестность (−1, 1).

Локально ограниченная семья

Набор (также называется семейством ) U вещественных или комплексных функций , определенных на топологическом пространстве X называется локально ограниченным , если для любого х 0 в X существует окрестность А из й 0 и положительного числа М такое , что

для всех х в А и F в U . Другими словами, все функции в семействе должны быть локально ограничены, и вокруг каждой точки они должны быть ограничены одной и той же константой.

Это определение также можно распространить на случай, когда функции в семействе U принимают значения в некотором метрическом пространстве, снова заменив абсолютное значение функцией расстояния.

Примеры

  • Семейство функций f n : R → R

где n  = 1, 2, ... локально ограничено. В самом деле, если x 0 - вещественное число, можно выбрать окрестность A как интервал ( x 0  - 1, x 0  + 1). Тогда для всех x в этом интервале и для всех n ≥ 1 выполняется

с M = | x 0 | + 1. Более того, семейство равномерно ограничено , поскольку ни окрестность A, ни константа M не зависят от индекса n .

  • Семейство функций f n : R → R

является локально ограниченным, если n больше нуля. Для любого х 0 можно выбрать окрестность А быть R сама. Тогда у нас есть

с М = 1. Заметим , что значение М не зависит от выбора х 0 или ее окрестности A . Тогда это семейство ограничено не только локально, но и равномерно.

  • Семейство функций f n : R → R

это не локально ограничено. Действительно, для любого x 0 значения f n ( x 0 ) не могут быть ограничены, поскольку n стремится к бесконечности.

Топологические векторные пространства

Локальная ограниченность может также относиться к свойству топологических векторных пространств или функций из топологического пространства в топологическое векторное пространство.

Локально ограниченные топологические векторные пространства

Пусть X - топологическое векторное пространство. Тогда подмножество B ⊂ X является ограниченным , если для каждой окрестности U 0 в X существует скалярное s > 0, что

B ⊂ tU для всех t > s .

Топологическое векторное пространство называется локально ограниченным, если X допускает ограниченную окрестность нуля.

Локально ограниченные функции

Пусть X - топологическое пространство, Y - топологическое векторное пространство, а f  : X → Y - функция. Тогда F является локально ограниченным , если каждая точка X имеет окрестность, образ под е ограничен.

Следующая теорема связывает локальную ограниченность функций с локальной ограниченностью топологических векторных пространств:

Теорема. Топологическое векторное пространство X локально ограничено тогда и только тогда, когда тождественное отображение id X : X → X локально ограничено.

внешние ссылки