Fazori

Diagrama fazorială a impedanței diferitelor elemente ale unui circuit. Fazorul roșu este impedanța totală a seriei, suma celorlalți trei fazori.

Un fasor este o reprezentare grafică a unui număr complex care este folosit pentru a reprezenta o oscilație , astfel încât suma fazorilor mai multor fazori poate reprezenta magnitudinea și faza oscilației rezultate din suprapunerea mai multor oscilații într-un proces de interferență .

Fazorii sunt utilizați direct în inginerie electrică , optică , inginerie de telecomunicații și acustică . Lungimea fazorului dă amplitudinea ; iar unghiul dintre acesta și axa x este faza unghiulară . Datorită proprietăților matematicii oscilației, fazorii sunt utilizați în mod obișnuit în electronică în analiza rudimentară a circuitelor de curent alternativ . În cele din urmă, fazorii pot fi utilizați pentru a descrie mișcarea unui oscilator. Proiecțiile fazoare pe axele x și y au semnificații fizice diferite.

Fazorii sunt folosiți în principal pentru a rezolva vizual probleme de tipul: „există mai multe unde de aceeași frecvență, dar diferite faze și amplitudini interferează la un punct, care este intensitatea rezultată?”. Pentru a ocoli această problemă, este trasat un fasor pentru fiecare oscilație în acel punct și apoi li se aplică însumarea fazorilor (similar cu sumarea vectorială ). Lungimea fazorului rezultat este amplitudinea oscilației rezultate, iar lungimea acestuia poate fi pătrată pentru a obține intensitatea . Rețineți că, în timp ce suma mai multor oscilații sinusoidale nu este neapărat o altă oscilație sinusoidală, suma mai multor oscilații sinusoidale de aceeași frecvență este, permițând ca faza rezultată să fie citită ca unghiul fazoric rezultat.

Definiție

Evoluția a două mărimi sinusoidale de aceeași frecvență și suma lor sub formă temporală și fazorială.

O oscilație sinusoidală sau sinusoidală este definită ca o funcție a formei

$y=A\operatorname {sin}(\omega t+\phi )$

Unde

• y este mărimea care variază (oscilează) în timp
• ${\phi }$este o constantă (în radiani ) cunoscută ca unghiul de fază al sinusoidei
• A este o constantă cunoscută sub numele de amplitudinea sinusoidei. Este valoarea de vârf a funcției sinusoidale.
• ω este frecvența unghiulară dată de unde f este frecvența.$\omega =2\pi f$
• este timpul.

Aceasta poate fi exprimată ca

$y=\Im \{A{\big (}\cos {(\omega {}t+\phi )}+i\operatorname {sin} {(\omega t+\phi )}{\big )}\ }\,\!$

Unde

• i este unitatea imaginară definită ca . În inginerie electrică și telecomunicații, „j” este folosit în loc de „i” pentru a evita confuzia care ar apărea cu același simbol folosit pentru a desemna intensitatea curentului electric.$i^{2}=-1$
• $\Im (Y)\,\!$dă partea imaginară a numărului complex „Y”.

În mod echivalent, prin formula lui Euler ,

$y=\Im (Ae^{i(\omega {}t+\phi )})\,\!$

$y=\Im (Ae^{i\phi}e^{i\omega {}t})\,\!$

„Y”, reprezentarea fazorială a acestei sinusoide este definită după cum urmează:

$Y=Ae^{i\phi }\,$

astfel încât

$y=\Im (Ye^{i\omega {}t})\,\!$

Astfel, fazorul Y este numărul complex constant care conține mărimea și faza sinusoidei. Pentru a simplifica notația, fazorii sunt de obicei scrisi în notație unghiulară :

$Y=A\unghi \phi \,$

În inginerie electrică , unghiul de fază este de obicei specificat în grade sexagesimale , mai degrabă decât în ​​radiani, iar mărimea este de obicei valoarea efectivă, mai degrabă decât valoarea de vârf a sinusoidei.

Legile circuitului

Folosind fazori, tehnicile de rezolvare a circuitelor de curent continuu pot fi aplicate pentru a rezolva circuite liniare în curent alternativ . Legile de bază sunt enumerate mai jos.

• Legea lui Ohm pentru rezistențe: un rezistor nu produce întârzieri de timp și, prin urmare, nu schimbă faza unui semnal. Prin urmare , V = IR este încă valabil.
• Legea lui Ohm pentru rezistențe, bobine și condensatoare: V = IZ unde Z este impedanța complexă .
• Impedanța complexă conține o parte reală (rezistență) și o parte imaginară *j*,
  1. Z = R + jX, unde j este componenta imaginară: √(-1). ...
  2. Nu poți combina cele două numere
• Într-un circuit de curent alternativ există putere activă ( P ) care este reprezentarea puterii medii într-un circuit și puterea reactivă ( Q ) care indică fluxul de putere înainte și înapoi. De asemenea, putem defini puterea complexă S = P + jQ și puterea aparentă care este mărimea lui S . Legea puterii pentru un circuit de curent alternativ exprimată prin fazori este atunci S = VI ^* (unde I ^* este conjugatul complex al lui I ).
• Legile lui Kirchhoff sunt valabile cu fazorii în formă complexă.

Având în vedere acest lucru, tehnicile de analiză a circuitelor rezistive cu fazori pot fi aplicate pentru a analiza circuite AC cu o singură frecvență care conțin rezistențe, inductori și condensatori. Circuitele AC cu mai mult de o frecvență sau cu forme de oscilație diferite pot fi analizate pentru a obține tensiuni și curenți prin transformarea tuturor formelor de oscilație în componentele lor sinusoidale și apoi analizând fiecare frecvență separat. Această metodă, rezultat direct al aplicării principiului suprapunerii , nu poate fi utilizată pentru calcularea puterilor, deoarece acestea nu pot fi defalcate liniar deoarece sunt produsul tensiunilor și curenților. Totuși, este valabil să rezolvăm circuitul folosind metode de suprapunere și, odată ce totalul V și I s-au obținut, se calculează puterea cu ele. Acest lucru se aplică semnalelor sinusoidale în stare staționară, adică după ce tranzitorii au trecut. ]

Transformarea fasorului

Transformarea fazorilor sau reprezentarea fazorilor permite trecerea de la forma trigonometrică la forma complexă:

$V_{m}e^{j\phi }={\mathcal {P}}\{V_{m}\cos(\omega t+\phi )\}$

unde notația este citită ca „transformată fazorială a lui X” ${\mathcal {P}}\{X\}$

Transformarea fazorilor transferă funcția sinusoidală din domeniul timpului în domeniul numărului complex sau domeniul frecvenței.

Transformare fazorială inversă

Transformarea fazorială inversă vă permite să reveniți din domeniul fazorilor în domeniul timpului. ${\mathcal {P}}^{-1}$

Aritmetica fazorilor

Ca și în cazul altor mărimi complexe, utilizarea formei exponențiale polare simplifică înmulțirea și împărțirea, în timp ce forma carteziană (dreptunghiulară) simplifică adunarea și scăderea. $Ae^{i\phi }$$a+ib$

Vezi și

• domeniul de frecventa

Link- uri externe

• Wikimedia Commons are o categorie media pentru Phasor .
• Matematică pentru măsurarea puterii electrice Arhivat 2009-07-07 la Wayback Machine pentru NI LabVIEW .
• Un tabel cu fazori cu diferite funcții sinusoidale în timp.