Integrare Shell - Shell integration

Un volum este aproximat de o colecție de cilindri goi. Pe măsură ce pereții cilindrului devin mai subțiri, aproximarea devine mai bună. Limita acestei aproximări este integrala shell.

Integrarea Shell ( metoda shell în calcul integral ) este o metodă de calcul al volumului unui solid de revoluție , atunci când integrarea de-a lungul unei axe perpendiculare pe axa de revoluție. Acest lucru este în contrast cu integrarea discului care se integrează de-a lungul axei paralele cu axa revoluției.

Definiție

Metoda shell este următoarea: Luați în considerare un volum în trei dimensiuni obținut prin rotirea unei secțiuni transversale în planul xy în jurul axei y . Să presupunem că secțiunea transversală este definită de graficul funcției pozitive f ( x ) pe intervalul [ a , b ] . Apoi formula pentru volum va fi:

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} xf (x) \, dx}$

Dacă funcția este de coordonata y și axa de rotație este axa x, atunci formula devine:

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} yf (y) \, dy}$

Dacă funcția se rotește în jurul liniei x = h, atunci formula devine:

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (xh) f (x) \, dx, & {\ text {if}} \ h \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (hx) f (x) \, dx, & {\ text {if}} \ a <b \ leq h, \ end {cases}} }$

iar pentru rotațiile din jurul y = k devine

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (yk) f (y) \, dy, & {\ text {if}} \ k \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (ky) f (y) \, dy, & {\ text {if}} \ a <b \ leq k. \ end {cases}} }$

Formula este derivată prin calcularea integralei duble în coordonate polare .

Exemplu

Luați în considerare volumul, descris mai jos, a cărui secțiune transversală pe intervalul [1, 2] este definită de:

${\ displaystyle y = (x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}}$

Secțiune transversală

Volum 3D

În cazul integrării discului , ar trebui să rezolvăm pentru x dat y și pentru că volumul este gol în mijloc, am găsi două funcții, una care definește solidul interior și una care definește solidul exterior. După integrarea acestor două funcții cu metoda discului, le-am scădea pentru a obține volumul dorit.

Cu metoda shell nu avem nevoie decât de următoarea formulă:

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {1} ^ {2} x ((x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}) \, dx}$

Prin extinderea polinomului integralul devine foarte simplu. La final găsim că volumul esteπ/10 unități cubice.

Vezi si

• Solid de revoluție
• Integrarea discului

Referințe

• Weisstein, Eric W. „Metoda scoicilor” . MathWorld .
• Frank Ayres , Elliott Mendelson . Schițele lui Schaum : Calcul . McGraw-Hill Professional 2008, ISBN  978-0-07-150861-2 . pp. 244–248 ( copie online , p. 244, la Google Books )