Shell integráció - Shell integration

A térfogatot üreges hengerek gyűjteménye közelíti meg. Ahogy a henger falai vékonyodnak, a közelítés javul. Ennek a közelítésnek a határa a héjintegrál.

Shell integráció (a Shell-módszerrel a integrálszámítás ) egy módszer kiszámítására a térfogatát egy forgástest , ha integrálása tengely mentén merőleges a forgástengelyére. Ez ellentétben áll a lemez integrációjával, amely a forgástengellyel párhuzamos tengely mentén integrálódik .

Meghatározás

A héj eljárás megy a következő: Tekintsük térfogatú három dimenzióban kapott elforgatásával keresztmetszetet a xy -sík körüli y -tengely. Tegyük fel, hogy a keresztmetszetet az f ( x ) pozitív függvény grafikonja határozza meg az [ a , b ] intervallumon . Ekkor a kötet képlete a következő lesz:

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a}^{b} xf (x) \, dx}$

Ha a függvény az y koordináta, és a forgástengely x tengely, akkor a képlet a következő lesz:

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a}^{b} yf (y) \, dy}$

Ha a függvény az x = h egyenes körül forog, akkor a képlet a következő lesz:

${\ displaystyle {\ begin {case} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a}^{b} (xh) f (x) \, dx és {\ text {if}} \ h \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a}^{b} (hx) f (x) \, dx és {\ text {if}} \ a <b \ leq h, \ end {tokok}} }$

és az y = k körüli forgásokhoz az lesz

${\ displaystyle {\ begin {case} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a}^{b} (yk) f (y) \, dy, és {\ text {if}} \ k \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a}^{b} (ky) f (y) \, dy, és {\ text {if}} \ a <b \ leq k. \ end {tokok}} }$

A képlet a kettős integrál számításával jön létre a poláris koordinátákban .

Példa

Tekintsük az alább látható kötetet, amelynek keresztmetszetét az [1, 2] intervallumban a következő határozza meg:

${\ displaystyle y = (x-1)^{2} (x-2)^{2}}$

Keresztmetszet

3D hangerő

Abban az esetben, lemez integráció azt kellene megoldani az x adott y , és mert a kötet üreges közepén találnánk két funkció, az egyik, hogy meghatározta a belső szilárd, és egy olyan meghatározott külső szilárd. Miután integráltuk ezt a két funkciót a lemez módszerrel, kivonjuk őket, hogy megkapjuk a kívánt kötetet.

A shell módszerrel csak a következő képletre van szükségünk:

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {1}^{2} x ((x-1)^{2} (x-2)^{2}) \, dx}$

A polinom kibővítésével az integrál nagyon egyszerűvé válik. A végén azt találjuk, hogy a kötetπ/10 köbös egységek.

Lásd még

• Szilárd forradalom
• A lemez integrálása

Hivatkozások

• Weisstein, Eric W. "Kagyló módszer" . MathWorld .
• Frank Ayres , Elliott Mendelson . Schaum körvonalai : Számítás . McGraw-Hill Professional 2008, ISBN  978-0-07-150861-2 . 244–248. oldal ( online másolat , 244. o., a Google Könyvekben )