Metoda de captare a șocurilor - Shock-capturing method

În dinamica calculului fluidelor , metodele de captare a șocurilor sunt o clasă de tehnici pentru calcularea fluxurilor invizide cu unde de șoc . Calculul fluxului care conține unde de șoc este o sarcină extrem de dificilă, deoarece astfel de fluxuri duc la modificări puternice și discontinue ale variabilelor de debit, cum ar fi presiunea, temperatura, densitatea și viteza în șoc.

Metodă

În metodele de captare a șocurilor, ecuațiile de guvernare ale fluxurilor invizibile (adică ecuațiile Euler ) sunt turnate în formă de conservare și orice undă de șoc sau întreruperi sunt calculate ca parte a soluției. Aici, nu este folosit niciun tratament special pentru a avea grijă de șocurile în sine, ceea ce este în contrast cu metoda de potrivire a șocului, unde undele de șoc sunt introduse explicit în soluție folosind relații de șoc adecvate (relațiile Rankine - Hugoniot ). Undele de șoc prognozate prin metodele de captare a șocurilor nu sunt, în general, ascuțite și pot fi distruse pe mai multe elemente de grilă. De asemenea, metodele clasice de captare a șocurilor au dezavantajul că oscilațiile nefizice ( fenomenul Gibbs ) se pot dezvolta lângă șocuri puternice.

Ecuații Euler

În ecuațiile lui Euler sunt ecuațiile care guvernează pentru fluxul nevascos. Pentru a implementa metode de captare a șocurilor, se utilizează forma de conservare a ecuațiilor Euler. Pentru un flux fără transfer de căldură extern și transfer de lucru (flux izoenergetic), forma de conservare a ecuației Euler în sistemul de coordonate carteziene poate fi scrisă ca

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {U}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {F}}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {G}}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {H}}} {\ partial z}} = 0}$

unde vectorii U , F , G și H sunt date de

${\ displaystyle {\ mathbf {U}} = \ left [{\ begin {array} {c} \ rho \\\ rho u \\\ rho v \\\ rho w \\\ rho e_ {t} \\ \ end {array}} \ right] \ quad {\ mathbf {F}} = \ left [{\ begin {array} {c} \ rho u \\\ rho u ^ {2} + p \\\ rho uv \\\ rho uw \\ (\ rho e_ {t} + p) u \\\ end {array}} \ right] \ quad {\ mathbf {G}} = \ left [{\ begin {array} {c } \ rho v \\\ rho vu \\\ rho v ^ {2} + p \\\ rho vw \\ (\ rho e_ {t} + p) v \\\ end {array}} \ right] \ quad {\ mathbf {H}} = \ left [{\ begin {array} {c} \ rho w \\\ rho wu \\\ rho wv \\\ rho w ^ {2} + p \\ (\ rho e_ {t} + p) w \\\ end {array}} \ right] \ qquad}$

unde este energia totală (energie internă + energie cinetică + energie potențială) pe unitate de masă. Acesta este ${\ displaystyle e_ {t}}$

${\ displaystyle e_ {t} = e + {\ frac {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}} {2}} + gz}$

Ecuațiile Euler pot fi integrate cu oricare dintre metodele de captare a șocurilor disponibile pentru a obține soluția.

Metode clasice și moderne de captare a șocurilor

Din punct de vedere istoric, metodele de captare a șocurilor pot fi clasificate în două categorii generale: metode clasice și metode moderne de captare a șocurilor (numite și scheme de înaltă rezoluție). Metodele moderne de captare a șocurilor sunt în general părtinitoare în contrast cu discretizările simetrice sau centrale clasice. Schemele de diferențiere înclinată în sus încercați să discrete ecuațiile diferențiale parțiale hiperbolice folosind diferențierea bazată pe direcția fluxului. Pe de altă parte, schemele simetrice sau centrale nu iau în considerare nicio informație despre direcția de propagare a undelor.

Indiferent de schema de captare a șocului folosită, un calcul stabil în prezența undelor de șoc necesită o anumită cantitate de disipare numerică, pentru a evita formarea oscilațiilor numerice nefizice. În cazul metodelor clasice de captare a șocurilor, termenii de disipare numerică sunt de obicei liniari și aceeași cantitate este aplicată uniform în toate punctele grilei. Metodele clasice de captare a șocului prezintă rezultate exacte în cazul soluțiilor de șoc netede și slabe, dar atunci când în soluție sunt prezente valuri puternice de șoc, instabilități și oscilații neliniare pot apărea de-a lungul discontinuităților. Metodele moderne de captare a șocurilor utilizează de obicei disiparea numerică neliniară, unde un mecanism de feedback ajustează cantitatea de disipare artificială adăugată în conformitate cu caracteristicile soluției. În mod ideal, disiparea numerică artificială trebuie adăugată numai în vecinătatea șocurilor sau a altor caracteristici ascuțite, iar regiunile cu curgere lină trebuie lăsate nemodificate. Aceste scheme s-au dovedit a fi stabile și precise chiar și pentru problemele care conțin unde puternice de șoc.

Unele dintre binecunoscute metode clasice de captare a șocurilor includ metoda MacCormack (utilizează o schemă de discretizare pentru soluția numerică a ecuațiilor diferențiale parțiale hiperbolice), metoda Lax – Wendroff (bazată pe diferențe finite, utilizează o metodă numerică pentru soluția hiperbolică ecuații diferențiale parțiale ) și metoda Beam-Warming . Exemple de scheme moderne de captare a șocurilor includ scheme de diminuare a variației totale de ordin superior (TVD) propuse prima dată de Harten , schema de transport corectată de flux introdusă de Boris și Book, Scheme Monotonice centrate în amonte pentru Legile conservării (MUSCL) bazate pe abordarea Godunov și introduse de van Leer , diverse scheme esențiale non-oscilatorii (ENO) propuse de Harten și colab., și metoda parabolică (PPM) propusă de Colella și Woodward. O altă clasă importantă de scheme de înaltă rezoluție aparține soluțiilor aproximative Riemann propuse de Roe și de Osher . Schemele propuse de Jameson și Baker, în care termenii de disipație numerică liniară depind de funcțiile de comutare neliniare, se încadrează între metodele clasice și cele moderne de captare a șocurilor.

Referințe

Cărți

• Anderson, JD , „Fluxul compresibil modern cu perspectivă istorică”, McGraw-Hill (2004).
• Hirsch, C., "Calcularea numerică a fluxurilor interne și externe", vol. II, ediția a II-a, Butterworth-Heinemann (2007).
• Laney, CB, "Gasdynamics computational", Cambridge Univ. Presă 1998).
• LeVeque, RJ , „Metode numerice pentru legile conservării”, Birkhauser-Verlag (1992).
• Tannehill, JC, Anderson, DA , și Pletcher, RH, "Calculația fluidelor computationale și transferul de căldură", ediția a II-a, Taylor și Francis (1997).
• Toro, EF, "Solutii Riemann și metode numerice pentru dinamica fluidelor", ediția a II-a, Springer-Verlag (1999).

Lucrări tehnice

• Boris, JP and Book, DL, "Flux-Correected Transport III. Minimal Error FCT Algorithms", J. Comput. Phys., 20 , 397–431 (1976).
• Colella, P. și Woodward, P., "The Piecewise parabolic Method (PPM) for Gasdynamical Simulations", J. Comput. Phys., 54 , 174–201 (1984).
• Godunov, SK , "O schemă de diferență pentru calcularea numerică a soluției discontinue a ecuațiilor hiperbolice", Matematică. Sbornik, 47 , 271-306 (1959).
• Harten, A. , „Scheme de înaltă rezoluție pentru legile de conservare hiperbolică”, J. Comput. Phys., 49 , 357–293 (1983).
• Harten, A., Engquist, B. , Osher, S. și Chakravarthy, SR, „Uniformly High Order Accurate Essentially Non-Oscilatory Schemes III”, J. Comput. Phys., 71 , 231-303 (1987).
• Jameson, A. și Baker, T., „Soluția ecuațiilor Euler pentru configurații complexe”, AIAA Paper, 83–1929 (1983).
• MacCormack, RW, „Efectul vâscozității în hipervelocitatea impactului cratering”, AIAA Paper, 69–354 (1969).
• Roe, PL , „ Solutii aproximative de Riemann, vectori de parametri și scheme de diferență ”, J. Comput. Phys. 43 , 357–372 (1981).
• Shu, C.-W. , Osher, S., "Implementarea eficientă a schemelor de captare a șocurilor care nu sunt oscilatorii esențial", J. Comput. Phys., 77 , 439-471 (1988).
• van Leer, B. , "Către schema V a diferenței conservatoare ultime; o continuare a celei de-a doua secvențe a lui Godunov's Sequel", J. Comput. Phys., 32 , 101–136, (1979).