Shock-cattura metodo - Shock-capturing method

In fluidodinamica computazionale , metodi d'urto di cattura sono una classe di tecniche di calcolo non viscoso scorre con onde d'urto . Il calcolo di onde d'urto di flusso contenente è un compito molto difficile perché tali flussi determinano taglienti, cambiamenti discontinui in variabili di flusso quali pressione, temperatura, densità e velocità attraverso lo shock.

Metodo

Nei metodi d'urto di cattura, le equazioni di flusso inviscido (cioè equazioni di Eulero ) sono espressi in forma conservazione ed eventuali onde d'urto o discontinuità sono calcolati come parte della soluzione. Qui, nessun trattamento speciale è impiegato per prendersi cura degli shock stessi, che è in contrasto con il metodo di choc-fitting, dove le onde d'urto sono esplicitamente introdotti nella soluzione utilizzando apposite relazioni d'urto ( relazioni di Rankine-Hugoniot ). Le onde d'urto previsti con metodi d'urto di cattura non sono generalmente taglienti e possono essere spalmato su più elementi di rete. Inoltre, i metodi d'urto di cattura classici hanno lo svantaggio che le oscillazioni non fisiche ( Gibbs fenomeno ) possono svilupparsi nei pressi di forti urti.

equazioni di Eulero

Le equazioni di Eulero sono le equazioni che governano per il flusso non viscoso. Per implementare i metodi d'urto di cattura, vengono utilizzati sotto forma conservazione delle equazioni di Eulero. Per un flusso senza trasferimento di calore esterno e il trasferimento di lavoro (flusso isoenergetica), la forma conservazione di Eulero nel sistema di coordinate cartesiane può essere scritta come

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {U}}} {\ t parziale}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {F}}} {\ x parziale}} + {\ frac {\ parziale {\ mathbf {G}}} {\ y parziale}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {H}}} {\ z parziale}} = 0}$

dove i vettori U , F , G e H sono date da

${\ Displaystyle {\ mathbf {U}} = \ left [{\ begin {array} {c} \ rho rho \\\ u ​​\\\ rho v \\\ rho w \\\ rho E_ {t} \\ \ end {array}} \ right] \ quad {\ mathbf {F}} = \ left [{\ begin {array} {c} \ rho u \\\ rho u ^ {2} + p \\\ rho uv \\\ rho UW \\ (\ rho E_ {t} + p) u \\\ end {array}} \ right] \ quad {\ mathbf {G}} = \ left [{\ begin {array} {c } \ rho v \\\ rho vu \\\ rho v ^ {2} + p \\\ rho vw \\ (\ rho E_ {t} + p) v \\\ end {array}} \ right] \ quad {\ mathbf {H}} = \ left [{\ begin {array} {c} \ rho w \\\ rho wu \\\ rho wv \\\ rho w ^ {2} + p \\ (\ rho E_ {t} + p) w \\\ end {array}} \ right] \ qquad}$

dove è l'energia totale (energia interna + energia cinetica + energia potenziale) per unità di massa. Questo è ${\ Displaystyle E_ {t}}$

${\ Displaystyle E_ {t} = e + {\ frac {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}} {2}}} + gz$

Le equazioni di Eulero possono essere integrati con qualsiasi dei metodi d'urto di cattura disponibili per ottenere la soluzione.

metodi d'urto di cattura classici e moderni

Da un punto di vista storico, i metodi d'urto di cattura possono essere classificati in due categorie generali: metodi classici e moderni d'urto catturare metodi (detti anche schemi ad alta risoluzione). Moderni metodi d'urto di cattura sono generalmente bolina polarizzati in contrasto simmetrica classica o discretizzazione centrali. Regimi differenziazione Upwind-polarizzati tentano di discretizzare equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica utilizzando differenziazione base alla direzione del flusso. D'altra parte, i regimi simmetrici o centrali non considerano alcuna informazione circa la direzione di propagazione dell'onda.

Indipendentemente dal regime di urto di cattura utilizzato, un calcolo stabile in presenza di onde d'urto richiede una certa quantità di dissipazione numerica, al fine di evitare la formazione di oscillazioni numeriche non fisiche. Nel caso dei metodi d'urto di cattura classici, termini dissipazione numerici sono generalmente lineari e lo stesso importo non uniformemente applicato in tutti i punti della griglia. Metodi d'urto di cattura classici mostrano solo risultati accurati nel caso di soluzioni urto lisce e deboli, ma quando forti onde d'urto sono presenti nella soluzione, instabilità non lineari ed oscillazioni possono sorgere attraverso discontinuità. Moderni metodi d'urto di cattura impiegano solitamente non lineare dissipazione numerica, in cui un meccanismo di feedback regola la quantità di dissipazione artificiale aggiunto in accordo con le caratteristiche della soluzione. Idealmente, artificiale dissipazione numerico deve essere aggiunto solo in prossimità di urti o altre caratteristiche taglienti, e regioni di flusso regolare deve essere lasciato non modificato. Questi schemi hanno dimostrato di essere stabile e precisa anche per problemi che contengono forti onde d'urto.

Alcuni dei metodi d'urto di cattura classici ben noti includono il metodo MacCormack (utilizza uno schema di discretizzazione per la soluzione numerica di equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica), metodo Lax-Wendroff (in base alle differenze finite, utilizza un metodo numerico per la soluzione di iperbolico equazioni differenziali parziali ), e il metodo di fascio-riscaldamento . Esempi di moderni sistemi d'urto di cattura sono di ordine superiore variazione totale diminuendo schemi (TVD) prima proposti da Harten , i trasporti flusso-corretto regime introdotto da Boris e Libro, Schemi Monotonic Upstream certifica gli Leggi di Conservazione (muscl) sulla base di approccio Godunov e introdotto da van Leer , vari essenzialmente non-oscillatori regimi (ENO) proposti dalla Harten et al., e la tratti metodo parabolico (PPM) proposti dalla Colella e Woodward. Un'altra importante classe di sistemi ad alta risoluzione appartiene ai circa risolutori Riemann proposte dalla Roe e Osher . Gli schemi proposti da Jameson e Baker, in cui i termini di dissipazione numeriche lineari dipendono funzioni dell'interruttore non lineari, rientrano tra i metodi d'urto di cattura classici e moderni.

Riferimenti

Libri

• Anderson, JD , "Flow comprimibile moderna con prospettiva storica", McGraw-Hill (2004).
• Hirsch, C., "Calcolo Numerico di interno ed esterno flussi", vol. II, 2 ° ed., Butterworth-Heinemann (2007).
• Laney, CB, "Computational Gasdinamica", Cambridge University. Press 1998).
• Leveque, RJ , "Metodi numerici per le leggi di conservazione", Birkhauser-Verlag (1992).
• Tannehill, JC, Anderson, DA , e Pletcher, RH, "Computational Fluid Dynamics e Heat Transfer", 2a ed., Taylor & Francis (1997).
• Toro, EF, "Riemann solutori e Metodi numerici per la dinamica dei fluidi", 2a ed., Springer-Verlag (1999).

Articoli tecnici

• Boris, JP e libro, DL, "Trasporti Flux correzione III. Errore Minimal FCT Algoritmi", J. Comput. Phys., 20 , 397-431 (1976).
• Colella, P. e Woodward, P., "The Piecewise Metodo parabolico (PPM) per Gasdynamical Simulazioni", J. Comput. Phys., 54 , 174-201 (1984).
• Godunov, SK , "A Scheme differenza per Calcolo Numerico di Soluzione discontinuo di equazioni iperboliche", Math. Sbornik, 47 , 271-306 (1959).
• Harten, A. , "Schemi alta risoluzione per iperboliche Conservation Laws", J. Comput. Phys., 49 , 357-293 (1983).
• Harten, A., Engquist, B. , Osher, S. , e Chakravarthy, SR, "uniformemente alto ordine Accurate Schemi essenzialmente non oscillanti III", J. Comput. Phys., 71 , 231-303 (1987).
• Jameson, A. e Baker, T., "Soluzione di Eulero Le equazioni per configurazioni complesse", AIAA Carta, 83-1929 (1983).
• MacCormack, RW, "L'effetto di viscosità in Ipervelocità Impact crateri", Carta AIAA, 69-354 (1969).
• Roe, PL , " approssimativo Riemann risolutori, parametro Vettori e schemi alle differenze ", J. Comput. Phys. 43 , 357-372 (1981).
• Shu, C.-W. , Osher, S., "Attuazione efficiente di Essenzialmente regimi non oscillatorio Shock Acquisizione", J. Comput. Phys., 77 , 439-471 (1988).
• van Leer, B. , "Verso la differenza ultimo conservatore Schema V; un sequel seconda fine di Sequel di Godunov", J. Comput. Phys., 32 , 101-136, (1979).