A doua cuantificare - Second quantization

Teoria câmpului cuantic
Diagrama Feynman
Istorie
fundal Teoria câmpului Electromagnetismul Forță slabă Forță puternică Mecanica cuantică Relativitatea specială Relativitatea generală Teoria gabaritului
Simetriile Simetria în mecanica cuantică C-simetrie P-simetrie T-simetrie Simetria traducerii spațiului Simetrie de traducere a timpului Simetrie de rotație Simetria Lorentz Simetria Poincaré Simetria ecartamentului Ruperea explicită a simetriei Ruperea spontană a simetriei Teoria Yang – Mills Nicio taxă Sarcina topologică
Instrumente Anomalie Trecere Teoria câmpului eficientă Valoarea așteptărilor Fantomele Faddeev – Popov Diagrama Feynman Teoria ecartamentului de rețea Formula de reducere LSZ Funcția de partiție Propagator Cuantizare Regularizare Renormalizarea Starea de vid Teorema lui Wick Axiomele lui Wightman
Ecuații Ecuația Dirac Ecuația Klein – Gordon Ecuațiile Proca Ecuația Wheeler – DeWitt Ecuațiile Bargmann – Wigner
Model standard Electrodinamica cuantică Interacțiune electro-slabă Cromodinamica cuantică Mecanismul Higgs
Teorii incomplete Teoria câmpului cuantic topologic Teoria corzilor Supersimetrie Tehnicolor Teoria tuturor Gravitația cuantică
Oamenii de știință CD Anderson PW Anderson Fie Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Mann Brut Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen Nu Hooft Iordania Kendall Kibble miel Landou Lee Majorana Mills Nambu Nishijima Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman Ward Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t e

A doua cuantificare , denumită și reprezentarea numărului de ocupație , este un formalism folosit pentru a descrie și analiza sistemele cuantice cu mai multe corpuri . În teoria cuantică a câmpului , este cunoscută sub numele de cuantizare canonică , în care câmpurile (de obicei ca funcții de undă ale materiei) sunt considerate ca operatori de câmp , într-un mod similar cu modul în care sunt cantitățile fizice (poziția, impulsul etc.) gândit ca operatori în prima cuantificare . Ideile cheie ale acestei metode au fost introduse în 1927 de Paul Dirac și au fost dezvoltate, mai ales, de Vladimir Fock și Pascual Jordan ulterior.

În această abordare, stările cuantice cu multe corpuri sunt reprezentate în baza stării Fock , care sunt construite prin umplerea fiecărei stări de particule simple cu un anumit număr de particule identice. Al doilea formalism de cuantificare introduce operatorii de creație și anihilare pentru a construi și manipula stările Fock, oferind instrumente utile studiului teoriei cuantice a multor corpuri.

Stări cuantice cu mai multe corpuri

Punctul de plecare al celui de-al doilea formalism de cuantificare este noțiunea de indistinguibilitate a particulelor în mecanica cuantică. Spre deosebire de mecanica clasică, unde fiecare particulă este marcată de un vector de poziție distinct și configurațiile diferite ale setului de s corespund unor stări cu mai multe corpuri diferite, în mecanica cuantică, particulele sunt identice, astfel încât schimbul de două particule, adică , nu conduc la o stare cuantică diferită a mai multor corpuri . Aceasta implică faptul că funcția de undă cuantică multicorp trebuie să fie invariantă (până la un factor de fază) sub schimbul a două particule. Conform statisticilor particulelor, funcția undei multicorp poate fi fie simetrică, fie antisimetrică în schimbul de particule: ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \ leftrightarrow \ mathbf {r} _ {j}}$

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = + \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}$dacă particulele sunt bosoni ,

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = - \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}$dacă particulele sunt fermioni .

Această proprietate de simetrie de schimb impune o constrângere asupra funcției de undă multicorp. De fiecare dată când o particulă este adăugată sau eliminată din sistemul cu mai multe corpuri, funcția de undă trebuie să fie simetrizată sau anti-simetrizată corespunzător pentru a satisface constrângerea de simetrie. În primul formalism de cuantificare, această constrângere este garantată prin reprezentarea funcției de undă ca o combinație liniară de permanente (pentru bosoni) sau determinanți (pentru fermioni) ale stărilor cu particule unice. În cel de-al doilea formalism de cuantificare, problema simetrizării este gestionată automat de operatorii de creație și anihilare, astfel încât notația sa poate fi mult mai simplă.

Prima funcție de undă cuantificată cu mai multe corpuri

Luați în considerare un set complet de funcții de undă cu particule unice marcate cu (care poate fi un indice combinat al unui număr de numere cuantice). Următoarea funcție de undă ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ Psi [\ mathbf {r} _ {i}] = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {i}} (\ mathbf {r} _ {i} ) \ equiv \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {N}}}$

reprezintă o stare de N -particule, cu a i- a particulă care ocupă starea de particulă unică . În notația shorthanded, argumentul poziția a funcției de undă poate fi omisă, și se presupune că i funcția de undă th singură particulă descrie starea i - a particulei. Funcția de undă nu a fost simetrizată sau antisimetrizată, astfel, în general, nu este calificată ca funcție de undă cu mai multe corpuri pentru particule identice. Cu toate acestea, poate fi adus la forma simetrizată (antisimetrizată) de către operatori pentru simetrizator și pentru antisimetrizator . ${\ displaystyle | {\ alpha _ {i}} \ rangle}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Pentru bosoni, funcția de undă cu mai multe corpuri trebuie simetrizată,

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {S}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N)}};}$

în timp ce pentru fermioni, funcția de undă cu mai multe corpuri trebuie să fie anti-simetrizată,

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {A}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N )}}.}$

Iată un element din grupul de permutare a corpului N (sau grup simetric ) , care efectuează o permutare între etichetele de stare și denotă semnul de permutare corespunzător . este operatorul de normalizare care normalizează funcția de undă. (Operatorul este cel care aplică un factor de normalizare numerică adecvat tensorilor simetrizați de grad n ; a se vedea următoarea secțiune pentru valoarea sa.) ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle S_ {N}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle (-1) ^ {\ pi}}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Dacă se aranjează funcțiile undei cu o singură particulă într-o matrice , astfel încât elementul matricei rândul i coloană- j este , atunci funcția de undă a mai multor corpuri a bosonului poate fi simplă scrisă ca permanentă , iar funcția de undă fermionică a mai multor corpuri ca determinant (cunoscut și ca determinant Slater ). ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U_ {ij} = \ psi _ {\ alpha _ {j}} (\ mathbf {r} _ {i}) \ equiv \ langle \ mathbf {r} _ {i} | \ alpha _ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {perm} U}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {det} U}$

A doua stare Fock cuantificată

Primele funcții de undă cuantizate implică proceduri complicate de simetrizare pentru a descrie stări realizabile din mai multe corpuri, deoarece limbajul primei cuantificări este redundant pentru particulele care nu se disting. În primul limbaj de cuantificare, starea cu mai multe corpuri este descrisă răspunzând la o serie de întrebări precum „Care particulă este în ce stare?” . Cu toate acestea, acestea nu sunt întrebări fizice, deoarece particulele sunt identice și este imposibil să se spună care este particula care, în primul rând. Stările aparent diferite și sunt de fapt nume redundante ale aceleiași stări cuantice cu mai multe corpuri. Deci simetrizarea (sau anti-simetrizarea) trebuie introdusă pentru a elimina această redundanță în prima descriere de cuantificare. ${\ displaystyle \ psi _ {1} \ otimes \ psi _ {2}}$${\ displaystyle \ psi _ {2} \ otimes \ psi _ {1}}$

În al doilea limbaj de cuantificare, în loc să întrebăm „fiecare particulă în ce stare”, ne întrebăm „Câte particule există în fiecare stare?” . Deoarece această descriere nu se referă la etichetarea particulelor, nu conține informații redundante și, prin urmare, conduce la o descriere precisă și mai simplă a stării cuantice a mai multor corpuri. În această abordare, starea cu mai multe corpuri este reprezentată în baza numărului de ocupații, iar starea de bază este etichetată de setul de numere de ocupație, notate

${\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle \ equiv | n_ {1}, n_ {2}, \ cdots, n _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle,}$

ceea ce înseamnă că există particule în stare cu particule unice (sau ca ). Numerele de ocupație însumează numărul total de particule, adică . Pentru fermioni , numărul ocupației poate fi doar 0 sau 1, datorită principiului excluderii Pauli ; în timp ce pentru bosoni poate fi orice număr întreg negativ ${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} n _ {\ alpha} = N}$${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle n _ {\ alpha} = {\ begin {cases} 0,1 & {\ text {fermions,}} \\ 0,1,2,3, ... & {\ text {bosons.}} \ end {cazuri}}}$

Stările numărului de ocupație sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de state Fock. Toate stările Fock formează o bază completă a spațiului Hilbert cu mai multe corpuri sau spațiul Fock . Orice stare cuantică generică cu mai multe corpuri poate fi exprimată ca o combinație liniară de stări Fock. ${\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle}$

Rețineți că, pe lângă furnizarea unui limbaj mai eficient, spațiul Fock permite un număr variabil de particule. Ca spațiu Hilbert , este izomorf la suma spațiilor tensoriale bosonice sau fermionice n -particule descrise în secțiunea anterioară, incluzând un spațiu unidimensional cu particule zero ℂ.

Starea Fock cu toate numerele de ocupație egale cu zero se numește starea de vid , notată . Starea Fock cu un singur număr de ocupare diferit de zero este o stare Fock monomod, notată . În ceea ce privește prima funcție de undă cuantificată, starea de vid este produsul tensor unitar și poate fi notată . Starea unei singure particule este redusă la funcția sa de undă . Alte stări cu mai multe corpuri (boson) monomod sunt doar produsul tensor al funcției de undă a acelui mod, cum ar fi și . Pentru stările Fock multimod (ceea ce înseamnă că sunt implicate mai multe stări cu o singură particulă ), funcția de undă cuantificată corespunzătoare necesită o simetrizare adecvată în conformitate cu statisticile particulelor, de exemplu pentru o stare de boson și pentru o stare de fermion (simbolul între și este omis pentru simplitate). În general, se constată că normalizarea este , în care N este numărul total de particule. Pentru fermion, această expresie se reduce la cum poate fi doar zero sau unul. Deci, citiți prima funcție de undă cuantificată corespunzătoare stării Fock ${\ displaystyle | 0 \ rangle \ equiv | \ cdots, 0 _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle}$${\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle \ equiv | \ cdots, 0, n _ {\ alpha}, 0, \ cdots \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle = 1}$${\ displaystyle | 1 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | 2 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2} }}$${\ displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} - \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2} }}$${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle \ psi _ {1}}$${\ displaystyle \ psi _ {2}}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {N!}}}}$${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {B}} = \ left ({\ frac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}} \ right ) ^ {1/2} {\ mathcal {S}} \ bigotimes \ limits _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}$

pentru bosoni și

${\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {F}} = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ mathcal {A}} \ bigotimes \ limits _ { \ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}$

pentru fermioni. Rețineți că numai pentru fermioni, deci produsul tensor de mai sus este efectiv doar un produs peste toate stările ocupate cu o singură particulă. ${\ displaystyle n _ {\ alpha} = 0,1}$

Operatori de creație și anihilare

Operatorii de creație și anihilare sunt introduși pentru a adăuga sau elimina o particulă din sistemul cu mai multe corpuri. Acești operatori stau la baza celui de-al doilea formalism de cuantificare, reducând decalajul dintre stările cuantificate prima și a doua. Aplicarea operatorului de creație (anihilare) la o primă funcție de undă cuantificată cu mai multe corpuri va insera (șterge) o stare a unei singure particule din funcția de undă într-un mod simetrizat, în funcție de statisticile particulelor. Pe de altă parte, toate cele două stări Fock cuantificate pot fi construite aplicând operatorii de creație la starea de vid în mod repetat.

Operatorii de creație și anihilare (pentru bosoni) sunt inițial construiți în contextul oscilatorului armonic cuantic ca operatori de creștere și coborâre, care sunt apoi generalizați operatorilor de câmp în teoria câmpului cuantic. Ele sunt fundamentale pentru teoria cuantică a multor corpuri, în sensul că fiecare operator cu mai multe corpuri (inclusiv hamiltonienul sistemului cu mai multe corpuri și toate observabilele fizice) poate fi exprimat în termeni ale acestora.

Operațiunea de inserare și ștergere

Crearea și anihilarea unei particule este implementată prin inserarea și ștergerea stării cu particule unice din prima funcție de undă cuantificată într-o manieră simetrică sau antisimetrică. Fie o stare cu o singură particulă, fie 1 identitatea tensorului (este generatorul spațiului de particule zero ℂ și satisface în algebra tensorială peste spațiul Hilbert fundamental) și să fie o stare generică de produs tensorială. Operatorii de inserție și ștergere sunt operatori liniari definiți de următoarele ecuații recursive ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ equiv 1 \ otimes \ psi _ {\ alpha} \ equiv \ psi _ {\ alpha} \ otimes 1}$${\ displaystyle \ Psi = \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots}$${\ displaystyle \ otimes _ {\ pm}}$${\ displaystyle \ oslash _ {\ pm}}$

${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} 1 = \ psi _ {\ alpha}, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta } \ otimes \ Psi) = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ otimes _ { \ pm} \ Psi);}$

${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} 1 = 0, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi) = \ delta _ {\ alpha \ beta} \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} \ Psi).}$

Aici este delta Kronecker simbolul, care dă 1 în cazul în care , și 0 altfel. Indicele operatorilor de inserție sau ștergere indică dacă este implementată simetrizarea (pentru bosoni) sau anti-simetrizarea (pentru fermioni). ${\ displaystyle \ delta _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ alpha = \ beta}$${\ displaystyle \ pm}$

Operatori de creare și anihilare a bosonilor

Operatorul de creare a bosonului (resp. Anihilare) este de obicei notat ca (resp. ). Operatorul de creație adaugă un boson la starea cu particule unice , iar operatorul de anihilare elimină un boson din starea cu particule unice . Operatorii de creație și anihilare sunt hermitieni conjugați unul cu celălalt, dar niciunul dintre ei nu sunt operatori hermitieni ( ). ${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle b _ {\ alpha}}$${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle b _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle b _ {\ alpha} \ neq b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

Definiție

Operatorul de creare (anihilare) a bosonului este un operator liniar, a cărui acțiune asupra unei funcții de undă cuantificată din prima N- particulă este definită ca ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} \ Psi,}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+} \ Psi,}$

unde inserează simetric starea monoparticulă în posibile poziții de inserție și șterge simetric starea monoparticulă din posibile poziții de ștergere. ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N + 1}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N}$

Acțiune asupra statelor Fock

Pornind de la starea de vid monomod , aplicând operatorul de creație în mod repetat, se găsește ${\ displaystyle | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 1}$${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} 1 = \ psi _ {\ alpha} = | 1 _ {\ alpha } \ rangle,}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes (n_ { \ alpha} +1)} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} | n _ {\ alpha} +1 \ rangle.}$

Operatorul de creație crește numărul de ocupare a bosonului cu 1. Prin urmare, toate stările numărului de ocupație pot fi construite de operatorul de creare a bosonului din starea de vid

${\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha}!}}} (b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) ^ {n _ {\ alpha} } | 0 _ {\ alpha} \ rangle.}$

Pe de altă parte, operatorul de anihilare reduce numărul de ocupație a bosonului cu 1 ${\ displaystyle b _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha}}}} psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}} = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes (n _ {\ alpha} -1)} = { \ sqrt {n _ {\ alpha}}} | n _ {\ alpha} -1 \ rangle.}$

De asemenea, va stinge starea de vid, deoarece nu a mai rămas niciun boson în starea de vid care să fie anihilat. Folosind formulele de mai sus, se poate arăta că ${\ displaystyle b _ {\ alpha} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 0}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} b _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = n _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle,}$

sens care definește operatorul numărului de boson. ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha} = b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} b _ {\ alpha}}$

Rezultatul de mai sus poate fi generalizat la orice stare Fock a bosonilor.

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ alpha} + 1}} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha} + 1, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha} -1, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

Aceste două ecuații pot fi considerate drept proprietățile definitorii ale operatorilor de creație și anihilare a bosonilor în formalismul de cuantificare a doua. Simetrizarea complicată a funcției de undă cuantificată subiacentă este îngrijită automat de operatorii de creație și anihilare (atunci când acționează asupra funcției de undă cuantificată prima), astfel încât complexitatea să nu fie dezvăluită la al doilea nivel cuantificat, iar formulele de a doua cuantificare sunt simple și îngrijite.

Identități ale operatorului

Următoarele identități ale operatorilor rezultă din acțiunea operatorilor de creare și anihilare a bosonului asupra stării Fock,

${\ displaystyle [b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}, b _ {\ beta} ^ {\ dagger}] = [b _ {\ alpha}, b _ {\ beta}] = 0, \ quad [b _ {\ alpha }, b _ {\ beta} ^ {\ dagger}] = \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Aceste relații de comutare pot fi considerate ca definiția algebrică a operatorilor de creație și anihilare a bosonului. Faptul că funcția de undă a mai multor corpuri a bosonului este simetrică la schimbul de particule se manifestă și prin comutarea operatorilor de bosoni.

Operatorii de creștere și coborâre ai oscilatorului armonic cuantic satisfac, de asemenea, același set de relații de comutare, ceea ce implică faptul că bosonii pot fi interpretați ca cuantele de energie (fononi) ai unui oscilator. Poziția și impulsul operatorilor unui oscilator armonic (sau o colecție de moduri oscilante armonice) sunt date de combinații hermitiene de operatori de creare și anihilare a fononului,

${\ displaystyle x _ {\ alpha} = (b _ {\ alpha} + b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / {\ sqrt {2}}, \ quad p _ {\ alpha} = (b _ {\ alpha} -b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / ({\ sqrt {2}} \ mathrm {i}),}$

care reproduc relația de comutare canonică între operatorii de poziție și impuls (cu $ \ hbar = 1 $)

${\ displaystyle [x _ {\ alpha}, p _ {\ beta}] = \ mathrm {i} \ delta _ {\ alpha \ beta}, \ quad [x _ {\ alpha}, x _ {\ beta}] = [p_ {\ alpha}, p _ {\ beta}] = 0.}$

Această idee este generalizată în teoria câmpului cuantic , care consideră că fiecare mod al câmpului materiei este un oscilator supus fluctuațiilor cuantice, iar bosonii sunt tratați ca excitații (sau cuantele de energie) ale câmpului.

Operatori de creare și anihilare a fermiunii

Operatorul de creare (anihilare) fermion este de obicei notat ca ( ). Operatorul de creație adaugă un fermion la starea cu particule unice , iar operatorul de anihilare elimină un fermion din starea cu particule unice . ${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$

Definiție

Operatorul de creație (anihilare) fermion este un operator liniar, a cărui acțiune asupra unei funcții de undă cuantificată din prima N- particulă este definită ca ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} \ Psi,}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-} \ Psi,}$

unde inserează starea cu o singură particulă în posibile poziții de inserție anti-simetric și șterge starea cu o singură particulă din posibile poziții de ștergere anti-simetric. ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N + 1}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N}$

Acțiune asupra statelor Fock

Pornind de la starea de vid monomod , aplicând operatorul de creare fermion , ${\ displaystyle | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 1}$${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} 1 = \ psi _ {\ alpha} = | 1 _ {\ alpha } \ rangle,}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 1 _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} \ psi _ {\ alpha} = 0.}$

Dacă starea unei singure particule este goală, operatorul de creație va umple starea cu un fermion. Cu toate acestea, dacă statul este deja ocupat de un fermion, o aplicație suplimentară a operatorului de creație va stinge statul, demonstrând principiul excluderii Pauli că doi fermioni identici nu pot ocupa același stat simultan. Cu toate acestea, fermionul poate fi eliminat din starea ocupată de către operatorul de anihilare a fermionului , ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} | 1 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-} \ psi _ {\ alpha} = 1 = | 0 _ {\ alpha} \ rangle,}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 0.}$

Starea de vid este stinsă de acțiunea operatorului de anihilare.

Similar cu cazul bosonului, starea Fock fermion poate fi construită din starea de vid folosind operatorul de creare fermion

${\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = (c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) ^ {n _ {\ alpha}} | 0 _ {\ alpha} \ rangle.}$

Este ușor să verificați (prin enumerare) că

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} c _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = n _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle,}$

adică care definește operatorul numărului fermionului. ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha} = c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} c _ {\ alpha}}$

Rezultatul de mai sus poate fi generalizat la orice stare Fock de fermioni.

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = (- 1) ^ {\ sum _ { \ beta <\ alpha} n _ {\ beta}} {\ sqrt {1-n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, 1-n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = (- 1) ^ {\ sum _ {\ beta <\ alpha } n _ {\ beta}} {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, 1-n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

Amintiți-vă că numărul ocupației poate lua doar 0 sau 1 pentru fermioni. Aceste două ecuații pot fi considerate ca proprietăți definitorii ale operatorilor de creație și anihilare a fermionilor în al doilea formalism de cuantificare. Rețineți că structura semnului fermion , cunoscută și sub numele de șir Jordan-Wigner , necesită să existe o ordonare predefinită a stărilor cu particule unice ( structura de spin ) și implică o numărare a numerelor de ocupare a fermionilor din toate stările precedente; prin urmare, operatorii de creație și anihilare a fermionilor sunt considerați nelocali într-un anumit sens. Această observație duce la ideea că fermionii sunt particule emergente în sistemul de qubit local încurcat pe distanță lungă . ${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$${\ displaystyle (-1) ^ {\ sum _ {\ beta <\ alpha} n _ {\ beta}}}$

Identități ale operatorului

Următoarele identități ale operatorilor decurg din acțiunea operatorilor de creație și anihilare a fermionului asupra stării Fock,

${\ displaystyle \ {c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}, c _ {\ beta} ^ {\ dagger} \} = \ {c _ {\ alpha}, c _ {\ beta} \} = 0, \ quad \ {c _ {\ alpha}, c _ {\ beta} ^ {\ dagger} \} = \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Aceste relații anti-comutare pot fi considerate ca definiția algebrică a operatorilor de creație și anihilare a fermionilor. Faptul că funcția de undă fermionică cu mai multe corpuri este antisimetrică la schimbul de particule se manifestă și prin anti-comutarea operatorilor fermionului.

Operatorii de creație și anihilare sunt hermitieni conjugați unul cu celălalt, dar niciunul dintre ei nu sunt operatori hermitieni ( ). Combinația hermitiană a operatorilor de creație și anihilare a fermionilor ${\ displaystyle c _ {\ alpha} \ neq c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle \ chi _ {\ alpha, {\ text {Re}}} = (c _ {\ alpha} + c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / {\ sqrt {2}}, \ quad \ chi _ {\ alpha, {\ text {Im}}} = (c _ {\ alpha} -c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / ({\ sqrt {2}} \ mathrm {i}),}$

se numesc operatori de fermioni Majorana . Ele pot fi privite ca analogul fermionic al operatorilor de poziție și impuls al unui oscilator armonic „fermionic”. Acestea satisfac relația anticomutare

${\ displaystyle \ {\ chi _ {i}, \ chi _ {j} \} = \ delta _ {ij},}$

unde etichetează orice operator de fermion Majorana pe picior de egalitate (indiferent de originea lor din combinația Re sau Im de operatori complexi de fermioni ). Relația anticomutare indică faptul că operatorii fermionului Majorana generează o algebră Clifford , care poate fi reprezentată sistematic ca operatori Pauli în spațiul Hilbert cu mai multe corpuri. ${\ displaystyle i, j}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$

Operatori cuantici de câmp

Definirea ca anihilare generală (crearea) operatorului pentru un stat cu o singură particulă , care ar putea fi fie fermionice sau bosonic , reprezentarea spațială reală a operatorilor definește cuantice de câmp operatorii și de ${\ displaystyle a _ {\ nu} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle (c _ {\ nu} ^ {\ dagger})}$${\ displaystyle (b _ {\ nu} ^ {\ dagger})}$ ${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ nu} \ psi _ {\ nu} \ left (\ mathbf {r} \ right) a _ {\ nu}}$

${\ displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ nu} \ psi _ {\ nu} ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right) a _ {\ nu} ^ {\ dagger}}$

Aceștia sunt al doilea operator de cuantizare, cu coeficienți și care sunt funcții de undă obișnuite de primă cuantizare . Astfel, de exemplu, orice valori de așteptare vor fi funcții de undă obișnuite de primă cuantificare. Vorbind liber, este suma tuturor modalităților posibile de a adăuga o particulă la sistem în poziția r prin oricare dintre stările de bază , nu neapărat unde plane, ca mai jos. ${\ displaystyle \ psi _ {\ nu} \ left (\ mathbf {r} \ right)}$${\ displaystyle \ psi _ {\ nu} ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right)}$ ${\ displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ psi _ {\ nu} \ left (\ mathbf {r} \ right)}$

Deoarece și sunt al doilea operator de cuantificare definit în fiecare punct al spațiului, aceștia sunt numiți operatori de câmp cuantic . Ei respectă următoarele relații fundamentale de comutator și anti-comutator, ${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ left [\ Psi (\ mathbf {r} _ {1}), \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r} _ {2}) \ right] = \ delta (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2})}$ câmpuri de boson,

${\ displaystyle \ {\ Psi (\ mathbf {r} _ {1}), \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r} _ {2}) \} = \ delta (\ mathbf {r} _ { 1} - \ mathbf {r} _ {2})}$ câmpuri fermionice.

Pentru sistemele omogene este deseori de dorit să se transforme între spațiul real și reprezentările de impuls, prin urmare, operatorii câmpurilor cuantice în baza Fourier produc:

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = {1 \ over {\ sqrt {V}}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} a_ { \ mathbf {k}}}$

${\ displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r}) = {1 \ over {\ sqrt {V}}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {- i \ mathbf {k \ cdot r}} a _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger}}$

Comentează nomenclatura

Termenul „a doua cuantificare”, introdus de Jordan, este un nume greșit care a persistat din motive istorice. La originea teoriei câmpului cuantic, s-a crezut în mod nepotrivit că ecuația Dirac descrie o funcție de undă relativistă (de unde interpretarea învechită a „mării Dirac”), mai degrabă decât un câmp clasic de spinor care, atunci când este cuantificat (ca și câmpul scalar), a dat un câmp cuantic fermionic (vs. un câmp cuantic bosonic).

Nu se cuantifică „din nou”, așa cum ar putea sugera termenul „al doilea”; câmpul care este cuantificat nu este o funcție de undă Schrödinger care a fost produsă ca rezultat al cuantificării unei particule, ci este un câmp clasic (cum ar fi câmpul electromagnetic sau câmpul spinorului Dirac ), în esență un ansamblu de oscilatoare cuplate, care nu a fost cuantificate anterior. Unul este doar cuantificarea fiecărui oscilator din acest ansamblu, trecând de la un tratament semiclasic al sistemului la unul complet cuantic-mecanic.

Vezi si

• Cuantificare canonică
• Prima cuantificare
• Cuantizarea geometrică
• Cuantizare (fizică)
• Schrödinger funcțional

Referințe

Lecturi suplimentare

• A doua cuantificare Carlo Maria Becchi, Scholarpedia , 5 (6): 7902. doi: 10.4249 / scholarpedia.7902

linkuri externe

• Many-Electron States in E. Pavarini, E. Koch și U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, ISBN  978-3-89336-884-6