Cuantificarea geometrică - Geometric quantization

În fizica matematică , cuantificarea geometrică este o abordare matematică pentru definirea unei teorii cuantice corespunzătoare unei teorii clasice date . Încearcă să efectueze cuantificarea , pentru care în general nu există o rețetă exactă, astfel încât anumite analogii între teoria clasică și teoria cuantică să rămână manifeste. De exemplu, asemănarea dintre ecuația Heisenberg din tabloul Heisenberg al mecanicii cuantice și ecuația Hamilton în fizica clasică ar trebui să fie construită în interior .

originile

Una dintre primele încercări de cuantificare naturală a fost cuantizarea Weyl , propusă de Hermann Weyl în 1927. Aici, se încearcă asocierea unui observator mecanic cuantic (un operator auto-adiacent pe un spațiu Hilbert ) cu o funcție de valoare reală pe spațiul clasic de fază . Poziția și impulsul din acest spațiu de fază sunt mapate către generatoarele grupului Heisenberg , iar spațiul Hilbert apare ca o reprezentare a grupului Heisenberg . În 1946, HJ Groenewold a considerat produsul unei perechi de astfel de observabile și a întrebat care ar fi funcția corespunzătoare pe spațiul clasic de fază. Acest lucru l-a determinat să descopere produsul stea-spațiu de fază al unei perechi de funcții.

Teoria modernă a cuantificării geometrice a fost dezvoltată de Bertram Kostant și Jean-Marie Souriau în anii '70. Una dintre motivațiile teoriei a fost să înțeleagă și să generalizeze metoda orbitei lui Kirillov în teoria reprezentării.

Cuantificarea deformării

Mai general, această tehnică duce la cuantificarea deformației , unde produsul ★-este considerat a fi o deformare a algebrei funcțiilor pe o galerie simplectică sau o colecție Poisson . Cu toate acestea, ca o schemă de cuantificare naturală (un functor), harta lui Weyl nu este satisfăcătoare. De exemplu, harta Weyl a clasic unghiular-impuls-pătrat nu este doar momentul cinetic cuantice pătrat operatorului, dar conține în plus un termen constant de 3 ore cu ² /2. (Acest termen suplimentar este de fapt semnificativ din punct de vedere fizic, deoarece el reprezintă un moment unghiular neviolabil al orbitei Bohr de la nivelul solului în atomul de hidrogen. Ca o simplă schimbare de reprezentare, cu toate acestea, harta lui Weyl stă la baza formulării spațiale alternative în fază a mecanicii cuantice convenționale.

Cuantificarea geometrică

Procedura de cuantificare geometrică se încadrează în următoarele trei etape: precantificare, polarizare și corecție metaplectică. Precuantizarea produce un spațiu natural Hilbert împreună cu o procedură de cuantificare pentru observabile, care transformă exact parantezele Poisson de pe partea clasică în comutatoare pe partea cuantică. Cu toate acestea, spațiul prealabil Hilbert este în general înțeles a fi „prea mare”. Ideea este ca apoi să selectăm un set de n variabile Poisson care să comute pe spațiul de faza dimensională 2 n și să ia în considerare funcțiile (sau, mai corect, secțiunile) care depind doar de aceste n variabile. Cele n variabile pot fi fie cu valori reale, rezultând într - un spațiu Hilbert stil poziție, sau valori complexe, care produc ceva de genul spațiul Segal-Bargmann . O polarizare este o descriere independentă de coordonate a unei astfel de alegeri de n funcții de comutare Poisson. Corecția metaplectică (cunoscută și sub denumirea de corecție în formă de jumătate) este o modificare tehnică a procedurii de mai sus, care este necesară în cazul polarizărilor reale și adesea convenabilă pentru polarizări complexe.

Prequantization

Să presupunem că este o varietate simplectică cu formă simplectică . Să presupunem că la început este exact, ceea ce înseamnă că există un definit la nivel global potențial simplectică cu . Putem considera „spațiul prequantum Hilbert” al funcțiilor integrabile pătrate (cu privire la măsura volumului Liouville). Pentru fiecare funcție funcțională activată , putem defini operatorul de precantum Kostant – Souriau ${\ displaystyle (M, \ omega)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta = \ omega}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle Q (f): = - i \ hbar \ left (X_ {f} - {\ frac {i} {\ hbar}} \ theta (X_ {f}) \ right) + f}$.

unde este asociat câmpul vectorial hamiltonian . ${\ displaystyle X_ {f}}$${\ displaystyle f}$

Mai general, să presupunem că are proprietatea că integralitatea de peste orice suprafață închisă este un număr întreg. Atunci putem construi un pachet de linii cu conexiune a cărei curbură în formă de 2 este . În acest caz, spațiul Hilbert prequantum este spațiul secțiunilor integrabile pătrate și înlocuim formula de mai sus cu ${\ displaystyle (M, \ omega)}$${\ displaystyle \ omega / (2 \ pi \ hbar)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ omega / \ hbar}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle Q (f)}$

${\ displaystyle Q (f) = - i \ hbar \ nabla _ {X_ {f}} + f}$.

cu conexiunea. Operatorii prealabili sunt satisfăcuți ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle [Q (f), Q (g)] = i \ hbar Q (\ {f, g \})}$

pentru toate funcțiile netede și .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Construcția spațiului precedent Hilbert și a operatorilor este cunoscută sub numele de precantificare . ${\ displaystyle Q (f)}$

Polarizare

Următorul pas în procesul de cuantificare geometrică este alegerea unei polarizări. O polarizare este o alegere în fiecare punct dintr- un subspaț lagrangian al spațiului tangent complexizat al . Subspațiile ar trebui să formeze o distribuție integrabilă, ceea ce înseamnă că comutatorul a două câmpuri vectoriale aflate în subspațiu la fiecare punct ar trebui să se afle și în câmpul vectorial la fiecare punct. Cuantumul (spre deosebire de prequantum) spațiu Hilbert este spațiul de secțiuni , care sunt covariantly constante în direcția de polarizare. Ideea este că în spațiul cuantic Hilbert, secțiunile ar trebui să fie funcții ale unor variabile doar pe spațiul cu faza clasică -dimensională. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$

Dacă este o funcție pentru care fluxul hamiltonian asociat păstrează polarizarea, atunci va păstra spațiul cuantic Hilbert. Presupunerea că fluxul de conservare a polarizării este unul puternic. De obicei, nu foarte multe funcții vor satisface această presupunere. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Q (f)}$${\ displaystyle f}$

Corecție pe jumătate de formă

Corecția pe jumătate de formă - cunoscută și sub denumirea de corecție metaplectică - este o modificare tehnică a procedurii de mai sus, care este necesară în cazul polarizărilor reale pentru a obține un spațiu Hilbert cuantic non-zero; este, de asemenea, adesea util în cazul complex. Pachetul de linie este înlocuit cu produsul tensor al cu rădăcina pătrată a pachetului canonic de . În cazul polarizării verticale, de exemplu, în loc de a considera funcțiile de care sunt independente , se consideră obiecte ale formei . Formula pentru trebuie apoi completată cu un termen suplimentar derivat Lie. În cazul unei polarizări complexe pe plan, de exemplu, corecția pe jumătate de formă permite cuantizarea oscilatorului armonic să reproducă formula mecanică cuantică standard pentru energii , cu " " venirea cu amabilitatea semifabricelor.${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f (x) {\ sqrt {dx}}}$${\ displaystyle Q (f)}$${\ displaystyle (n + 1/2) \ hbar \ omega}$${\ displaystyle +1/2}$

Colectori Poisson

De asemenea, este dezvoltată cuantificarea geometrică a colectorilor Poisson și a foliațiilor simplectice. De exemplu, acesta este cazul sistemelor hamiltoniene parțial integrabile și superintegrabile și mecanicii non-autonome .

Exemplu

În cazul în care galeria simplectică este cea cu două sfere , ea poate fi realizată ca o orbită coadjunctă în . Presupunând că aria sferei este un multiplu întreg , putem efectua cuantificarea geometrică și spațiul Hilbert rezultat poartă o reprezentare ireductibilă a SU (2) . În cazul în care aria sferei este , obținem reprezentarea bidimensională a spinului 1/2 . ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2) ^ {*}}$${\ displaystyle 2 \ pi \ hbar}$${\ displaystyle 2 \ pi \ hbar}$

Vezi si

• Jumătate de formular
• Folia lagrangiană
• Metoda orbitei Kirillov
• Cuantificarea se face cu reducerea

Referințe

• S Bates, A. Weinstein (1997). Prelegeri despre geometria cuantificării . Societatea Americană de Matematică.
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily (2005). Metode topologice geometrice și algebrice în mecanica cuantică . Științific Mondial. ISBN  981-256-129-3 .CS1 maint: Mai multe nume: lista autorilor ( link )
• BC Hall (2013). Teoria cuantică pentru matematicieni . Texte absolvite în matematică. 267 . Springer. ISBN  978-1461471158 .
• J. Śniatycki (1980). Cuantificarea geometrică și mecanica cuantică . Springer. ISBN  0-387-90469-7 .
• I. Vaisman (1991). Prelegeri despre Geometria Manifoldurilor Poisson . Birkhauser. ISBN  978-3-7643-5016-1 .
• K.Kong Wan (2006). De la micro la sisteme cuantice macro, (un formalism unificat cu reguli de înlocuire și aplicațiile sale) . Științific Mondial. ISBN  978-1-86094-625-7 .
• NMJ Woodhouse (1991). Cuantificarea geometrică . Clarendon Press. ISBN  0-19-853673-9 .

linkuri externe

• Revizuirea lui William Ritter asupra cuantificării geometrice prezintă un cadru general pentru toate problemele din fizică și se încadrează cuantificării geometrice în acest cadru
• Recenzia lui John Baez despre cuantificarea geometrică , de John Baez, este scurtă și pedagogică
• Grundul lui Matthias Blau despre cuantizarea geometrică , unul dintre foarte puținii primeri buni (doar în format ps)
• A. Echeverria-Enriquez, M. Munoz-Lecanda, N. Roman-Roy, Bazele matematice ale cuantificării geometrice, arXiv: math-ph / 9904008.
• G. Sardanashvily , Cuantificarea geometrică a foliațiilor simplectice, arXiv: math-ph / 0110196.