Geometrie parțială - Partial geometry

O structură de incidență constă din puncte , linii și steaguri în care se spune că un punct este incident cu o linie dacă . Este o geometrie parțială ( finită ) dacă există numere întregi astfel încât: ${\ displaystyle C = (P, L, I)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle I \ subseteq P \ times L}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle (p, l) \ în I}$ ${\ displaystyle s, t, \ alpha \ geq 1}$

• Pentru orice pereche de puncte distincte și , există cel mult un incident de linie cu ambele.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$
• Fiecare linie este incidentă cu puncte.${\ displaystyle s + 1}$
• Fiecare punct este incident cu linii.${\ displaystyle t + 1}$
• Dacă un punct și o linie nu sunt incidente, există exact perechi , astfel încât acestea sunt incidente și sunt incidente cu .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (q, m) \ în I}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle l}$

O geometrie parțială cu acești parametri este notată cu . ${\ displaystyle pg (s, t, \ alpha)}$

Proprietăți

• Numărul de puncte este dat de și numărul de linii de .${\ displaystyle {\ frac {(s + 1) (st + \ alpha)} {\ alpha}}}$${\ displaystyle {\ frac {(t + 1) (st + \ alpha)} {\ alpha}}}$
• Punctul grafic ( de asemenea , cunoscut sub numele Graficul coliniarității ) al unui este un grafic puternic obișnuit : .${\ displaystyle pg (s, t, \ alpha)}$${\ displaystyle srg ((s + 1) {\ frac {(st + \ alpha)} {\ alpha}}, s (t + 1), s-1 + t (\ alpha -1), \ alpha (t + 1))}$
• Geometriile parțiale sunt structuri duale: dualul lui a este pur și simplu a .${\ displaystyle pg (s, t, \ alpha)}$${\ displaystyle pg (t, s, \ alpha)}$

Caz special

• Cele dreptunghiuri generalizate sunt exact acele geometrii parțiale cu .${\ displaystyle pg (s, t, \ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha = 1}$
• Sistemele Steiner sunt exact acele geometrii parțiale cu .${\ displaystyle S (2, s + 1, ts + 1)}$${\ displaystyle pg (s, t, \ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha = s + 1}$

Generalizări

Un spațiu liniar parțial de ordine se numește geometrie semiparțială dacă există numere întregi astfel încât: ${\ displaystyle S = (P, L, I)}$${\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle \ alpha \ geq 1, \ mu}$

• Dacă un punct și o linie nu sunt incidente, există una sau exact perechi , astfel încât acestea sunt incidente și sunt incidente .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (q, m) \ în I}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ ell}$
• Fiecare pereche de puncte necoliniare are vecini exact comuni.${\ displaystyle \ mu}$

O geometrie semipartială este o geometrie parțială dacă și numai dacă . ${\ displaystyle \ mu = \ alpha (t + 1)}$

Se poate arăta cu ușurință că graficul de colinearitate al unei astfel de geometrii este puternic regulat cu parametrii . ${\ displaystyle (1 + s (t + 1) + s (t + 1) t (s- \ alpha +1) / \ mu, s (t + 1), s-1 + t (\ alpha -1) , \ mu)}$

Un exemplu frumos al unei astfel de geometrii este obținut luând punctele afine ale și numai acele linii care intersectează planul la infinit într-un punct al unui subplan Baer fix; are parametri . ${\ displaystyle PG (3, q ^ {2})}$${\ displaystyle (s, t, \ alpha, \ mu) = (q ^ {2} -1, q ^ {2} + q, q, q (q + 1))}$

Vezi si

• Grafic puternic regulat
• Arc maxim

Referințe

• Brouwer, AE; van Lint, JH (1984), „Grafice puternic regulate și geometrii parțiale”, în Jackson, DM; Vanstone, SA (eds.), Enumerare și proiectare , Toronto: Academic Press, pp. 85-122
• Bose, RC (1963), „Grafice puternic regulate, geometrii parțiale și modele parțial echilibrate” , Pacific J. Math. , 13 : 389-419, doi : 10.2140 / pjm.1963.13.389
• De Clerck, F .; Van Maldeghem, H. (1995), „Unele clase de geometrii de rangul 2”, Handbook of Incidence Geometry , Amsterdam: North-Holland, pp. 433-475
• Thas, JA (2007), „Geometrii parțiale”, în Colbourn, Charles J .; Dinitz, Jeffrey H. (eds.), Handbook of Combinatorial Designs (ediția a doua), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, pp.  557-561 , ISBN 1-58488-506-8
• Debroey, I .; Thas, JA (1978), "Despre geometrii semipartiale", Journal of Combinatorial Theory, Seria A , 25 : 242-250, doi : 10.1016 / 0097-3165 (78) 90016-x