Géométrie partielle - Partial geometry

Une structure d'incidence se compose de points , de lignes et de drapeaux où un point est dit incident avec une ligne if . C'est une géométrie partielle ( finie ) s'il existe des entiers tels que : ${\style d'affichage C=(P,L,I)}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage L}$${\displaystyle I\subseteq P\times L}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage l}$${\style d'affichage (p,l)\dans I}$ ${\displaystyle s,t,\alpha \geq 1}$

• Pour toute paire de points distincts et , il y a au plus une ligne incidente avec les deux.${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$
• Chaque ligne est incidente avec des points.${\style d'affichage s+1}$
• Chaque point est incident avec des lignes.${\style d'affichage t+1}$
• Si un point et une ligne ne sont pas incidents, il existe exactement des paires , telles que est incidente avec et est incidente avec .${\style d'affichage p}$${\style d'affichage l}$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage (q,m)\in I}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage l}$

Une géométrie partielle avec ces paramètres est notée . ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$

Propriétés

• Le nombre de points est donné par et le nombre de lignes par .${\displaystyle {\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$${\displaystyle {\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$
• Le graphe de points (également appelé graphe de colinéarité ) de a est un graphe fortement régulier : .${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$${\displaystyle srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+ 1))}$
• Les géométries partielles sont des structures duales : le duel de a est simplement un .${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$${\style d'affichage pg(t,s,\alpha )}$

Cas particulier

• Les quadrangles généralisés sont exactement ces géométries partielles avec .${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$${\style d'affichage \alpha =1}$
• Les systèmes Steiner sont précisément ces géométries partielles avec .${\style d'affichage S(2,s+1,ts+1)}$${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$${\displaystyle \alpha =s+1}$

Généralisations

Un espace linéaire partiel d'ordre est appelé une géométrie semi-partielle s'il existe des entiers tels que : ${\style d'affichage S=(P,L,I)}$${\style d'affichage s,t}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1,\mu }$

• Si un point et une ligne ne sont pas incidents, il y a soit ou exactement des paires , telles que est incidente avec et est incidente avec .${\style d'affichage p}$${\style d'affichage \ell }$${\style d'affichage 0}$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage (q,m)\in I}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage \ell }$
• Chaque paire de points non colinéaires a exactement des voisins communs.${\style d'affichage \mu }$

Une géométrie semi-partielle est une géométrie partielle si et seulement si . ${\displaystyle \mu =\alpha (t+1)}$

On peut facilement montrer que le graphe de colinéarité d'une telle géométrie est fortement régulier aux paramètres . ${\style d'affichage (1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1) ,\mu )}$

Un bel exemple d'une telle géométrie est obtenu en prenant les points affines de et seulement ces lignes qui coupent le plan à l'infini en un point d'un sous-plan de Baer fixe ; il a des paramètres . ${\displaystyle PG(3,q^{2})}$${\displaystyle (s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))}$

Voir également

• Graphique fortement régulier
• Arc maximal

Les références

• Brouwer, AE ; van Lint, JH (1984), "Graphiques fortement réguliers et géométries partielles", dans Jackson, DM; Vanstone, SA (éd.), Enumeration and Design , Toronto : Academic Press, p. 85-122
• Bose, RC (1963), "Graphiques fortement réguliers, géométries partielles et conceptions partiellement équilibrées" , Pacific J. Math. , 13 : 389–419, doi : 10.2140/pjm.1963.13.389
• De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), "Some classes of rank 2 geometries", Handbook of Incidence Geometry , Amsterdam: North-Holland, pp. 433-475
• Thas, JA (2007), « Géométries partielles », dans Colbourn, Charles J. ; Dinitz, Jeffrey H. (éd.), Handbook of Combinatorial Designs (2e éd.), Boca Raton : Chapman & Hall/CRC, pp.  557-561 , ISBN 1-58488-506-8
• Debroey, I.; Thas, JA (1978), "On semipartial geometries", Journal of Combinatorial Theory, Series A , 25 : 242–250, doi : 10.1016/0097-3165(78)90016-x