Fibră de homotopie - Homotopy fiber

În matematică , în special teoria homotopiei , fibra homotopie (uneori numită fibră de cartografiere ) face parte dintr-o construcție care asociază o fibrare la o funcție continuă arbitrară a spațiilor topologice . Acționează ca un nucleu teoretic al homotopiei unei mapări a spațiilor topologice datorită faptului că dă o succesiune exactă lungă de grupuri de homotopie${\ displaystyle f: A \ to B}$

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n + 1} (B) \ to \ pi _ {n} ({\ text {Hofiber}} (f)) \ to \ pi _ {n} (A) \ to \ pi _ {n} (B) \ to \ cdots}$

Mai mult, fibra de homotopie poate fi găsită în alte contexte, cum ar fi algebra omologică, unde triunghiul distinct

${\ displaystyle C (f) _ {\ bullet} [- 1] \ to A _ {\ bullet} \ to B _ {\ bullet} \ xrightarrow {[+1]}}$

dă o secvență exactă lungă analogă cu secvența exactă lungă a grupelor de homotopie. Există o construcție dublă numită cofibră homotopică .

Constructie

Fibra de homotopie are o descriere simplă pentru o hartă continuă . Dacă înlocuim cu o fibră, atunci fibra homotopică este pur și simplu fibra fibrării de înlocuire. Reamintim această construcție de înlocuire a unei hărți cu o fibrare: ${\ displaystyle f: A \ to B}$${\ displaystyle f}$

Având în vedere o astfel de hartă, o putem înlocui cu o fibrare definind spațiul traseului de mapare pentru a fi setul de perechi unde și (pentru ) o cale astfel încât . Oferim o topologie dându-i topologia subspaiului ca subset de (unde este spațiul căilor în care, ca funcție, spațiul are topologia compact-deschisă ). Apoi harta dată de este o fibrare. Mai mult, homotopia este echivalentă cu următoarea: Încorporați ca subspai de unde este calea constantă la . Apoi, deformarea se retrage în acest subspatiu prin contractarea căilor. ${\ displaystyle E_ {f}}$${\ displaystyle (a, \ gamma)}$${\ displaystyle a \ în A}$${\ displaystyle \ gamma: I \ to B}$${\ displaystyle I = [0,1]}$${\ displaystyle \ gamma (0) = f (a)}$${\ displaystyle E_ {f}}$${\ displaystyle A \ times B ^ {I}}$${\ displaystyle B ^ {I}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle E_ {f} \ to B}$${\ displaystyle (a, \ gamma) \ mapsto \ gamma (1)}$${\ displaystyle E_ {f}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E_ {f}}$${\ displaystyle a \ mapsto \ gamma _ {a}}$${\ displaystyle \ gamma _ {a}}$${\ displaystyle f (a)}$${\ displaystyle E_ {f}}$

Fibra acestei fibrații (care este doar bine definită până la echivalența homotopiei) este fibra homotopică

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {Hofiber}} (f) & \ to & E_ {f} \\ && \ downarrow \\ && B \ end {matrix}}}$

care poate fi definit ca ansamblul tuturor cu și o cale astfel încât și pentru un anumit punct de bază fix . ${\ displaystyle (a, \ gamma)}$${\ displaystyle a \ în A}$${\ displaystyle \ gamma: I \ to B}$${\ displaystyle \ gamma (0) = f (a)}$${\ displaystyle \ gamma (1) = *}$${\ displaystyle * \ în B}$

Ca limită de homotopie

O altă modalitate de a construi fibra de homotopie a unei hărți este de a lua în considerare limita de homotopie^{pg 21} din diagramă

${\ displaystyle {\ underset {\ leftarrow} {\ text {holim}}} \ left ({\ begin {matrix} && * \\ && \ downarrow \\ A & \ xrightarrow {f} & B \ end {matrix}} \ dreapta) \ simeq F_ {f}}$

acest lucru se datorează faptului că calcularea limitei de homotopie echivalează cu găsirea retragerii diagramei

${\ displaystyle {\ begin {matrix} && B ^ {I} \\ && \ downarrow \\ A \ times * & \ xrightarrow {f} & B \ times B \ end {matrix}}}$

unde harta verticală este harta sursă și țintă a unei căi , așa că${\ displaystyle \ gamma: I \ to B}$

${\ displaystyle \ gamma \ mapsto (\ gamma (0), \ gamma (1))}$

Aceasta înseamnă că limita de homotopie se află în colecția de hărți

${\ displaystyle \ {(a, \ gamma) \ în A \ times B ^ {I}: f (a) = \ gamma (0) {\ text {și}} \ gamma (1) = * \}}$

care este exact fibra homotopică definită mai sus.

Proprietăți

Fibră homotopică a unei fibrări

În cazul special că harta originală a fost o fibrare cu fibră , atunci echivalența homotopie dată mai sus va fi o hartă a fibrărilor . Acest lucru va induce un morfism al secvențelor lor lungi exacte ale grupurilor de homotopie , din care (prin aplicarea celor cinci leme , așa cum se face în secvența Puppe ) se poate vedea că harta F → F _f este o echivalență slabă . Astfel, construcția dată mai sus reproduce același tip de homotopie dacă există deja una. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A \ to E_ {f}}$${\ displaystyle B}$

Dualitate cu con de cartografiere

Fibra de homotopie este duală față de conul de cartografiere , la fel ca spațiul traseului de cartografiere este dublu față de cilindrul de cartografiere .

Exemple

Spațiu în buclă

Având în vedere un spațiu topologic și includerea unui punct${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ iota: \ {x_ {0} \} \ hookrightarrow X}$

fibra homotopică a acestei hărți este atunci

${\ displaystyle \ {(x_ {0}, \ gamma) \ in \ {x_ {0} \} \ times X ^ {I}: x_ {0} = \ gamma (0) {\ text {și}} \ gamma (1) = x_ {0} \}}$

care este spațiul de buclă . ${\ displaystyle \ Omega X}$

Dintr-un spațiu de acoperire

Având o acoperire universală

${\ displaystyle \ pi: {\ tilde {X}} \ to X}$

fibra de homotopie are proprietatea${\ displaystyle {\ text {Hofiber}} (\ pi)}$

${\ displaystyle \ pi _ {k} ({\ text {Hofiber}} (\ pi)) = {\ begin {cases} \ pi _ {0} (X) & k <1 \\ 0 & k \ geq 1 \ end { cazuri}}}$

care poate fi văzut uitându-se la secvența exactă lungă a grupelor de homotopie pentru fibrare. Acest lucru este analizat mai jos, analizând turnul Whitehead.

Aplicații

Turnul Postnikov

O aplicație principală a fibrei homotopice este în construcția turnului Postnikov . Pentru un spațiu topologic (destul de frumos) , putem construi o secvență de spații și hărți unde${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$${\ displaystyle f_ {n}: X_ {n} \ to X_ {n-1}}$

${\ displaystyle \ pi _ {k} (X_ {n}) = {\ begin {cases} \ pi _ {k} (X) & k \ leq n \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases} }}$

și

${\ displaystyle X \ simeq {\ underset {\ leftarrow} {\ text {lim}}} (X_ {k})}$

Acum, aceste hărți pot fi construite iterativ folosind fibre homotopice . Acest lucru se datorează faptului că putem lua o hartă${\ displaystyle f_ {n}}$

${\ displaystyle X_ {n-1} \ to K (\ pi _ {n} (X), n-1)}$

reprezentând o clasă de cohomologie în

${\ displaystyle H ^ {n-1} (X_ {n-1}, \ pi _ {n} (X))}$

și construiți fibra homotopică

${\ displaystyle {\ underset {\ leftarrow} {\ text {holim}}} \ left ({\ begin {matrix} && * \\ && \ downarrow \\ X_ {n-1} & \ xrightarrow {f} & K ( \ pi _ {n} (X), n-1) \ end {matrix}} \ right) \ simeq X_ {n}}$

În plus, observați că fibra homotopică a este${\ displaystyle f_ {n}: X_ {n} \ to X_ {n-1}}$

${\ displaystyle {\ text {Hofiber}} (f_ {n}) \ simeq K (\ pi _ {n} (X), n)}$

care arată că fibra homotopică acționează ca un nucleu homotop-teoretic. Rețineți că acest fapt poate fi arătat examinând secvența exactă lungă pentru fibrarea care construiește fibra homotopică.

Hărți din turnul capului alb

Noțiunea dublă a turnului Postnikov este turnul Whitehead, care oferă o succesiune de spații și hărți unde${\ displaystyle \ {X ^ {n} \} _ {n \ geq 0}}$${\ displaystyle f ^ {n}: X ^ {n} \ to X ^ {n-1}}$

${\ displaystyle \ pi _ {k} (X ^ {n}) = {\ begin {cases} \ pi _ {k} (X) & k \ geq n \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases }}}$

de aici . Dacă luăm harta indusă${\ displaystyle X ^ {0} \ simeq X}$

${\ displaystyle f_ {0} ^ {n + 1}: X ^ {n + 1} \ to X}$

fibra homotopică a acestei hărți recuperează a -aproximația postnikov de la secvența lungă exactă a fibrării${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X_ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {Hofiber}} (f_ {0} ^ {n + 1}) & \ to & X ^ {n + 1} \\ && \ downarrow \\ && X \ end {matrice }}}$

primim

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ to & \ pi _ {k + 1} ({\ text {Hofiber}} (f_ {0} ^ {n + 1})) & \ to & \ pi _ {k +1} (X ^ {n + 1}) & \ to & \ pi _ {k + 1} (X) & \ to \\ & \ pi _ {k} ({\ text {Hofiber}} (f_ { 0} ^ {n + 1})) & \ to & \ pi _ {k} (X ^ {n + 1}) & \ to & \ pi _ {k} (X) & \ to \\ & \ pi _ {k-1} ({\ text {Hofiber}} (f_ {0} ^ {n + 1})) & \ to & \ pi _ {k-1} (X ^ {n + 1}) & \ to & \ pi _ {k-1} (X) & \ to \ end {matrix}}}$

care dă izomorfisme

${\ displaystyle \ pi _ {k-1} ({\ text {Hofiber}} (f_ {0} ^ {n + 1})) \ cong \ pi _ {k} (X)}$

pentru . ${\ displaystyle k \ leq n}$

Vezi si

• Cofibră homotopică
• Cvasi-fibrare
• Rezoluția Adams

Referințe

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.