Microcontinuidade - Microcontinuity

Na análise não padrão , uma disciplina dentro da matemática clássica , microcontinuidade (ou S -continuidade) de uma função interna f em um ponto a é definida da seguinte forma:

para todos os x infinitamente perto de um , o valor f ( x ) é infinitamente perto de f ( um ).

Aqui, x passa pelo domínio de f . Nas fórmulas, isso pode ser expresso da seguinte forma:

se então . ${\ displaystyle x \ aprox a}$${\ displaystyle f (x) \ approx f (a)}$

Para uma função f definida em , a definição pode ser expressa em termos do halo como segue: f é microcontínuo em se e somente se , onde a extensão natural de f para os hiperreais ainda é denotada por f . Alternativamente, a propriedade de microcontinuidade em c pode ser expressa afirmando que a composição é constante no halo de c , onde "st" é a função de parte padrão . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (hal (c)) \ subseteq hal (f (c))}$${\ displaystyle {\ text {st}} \ circ f}$

História

A propriedade moderna de continuidade de uma função foi definida pela primeira vez por Bolzano em 1817. No entanto, o trabalho de Bolzano não foi notado pela comunidade matemática até sua redescoberta em Heine na década de 1860. Enquanto isso, o livro Cours d'Analyse de Cauchy definiu continuidade em 1821 usando infinitesimais como acima.

Continuidade e continuidade uniforme

A propriedade de microcontinuidade é tipicamente aplicada à extensão natural f * de uma função real f . Assim, f definida em um intervalo verdadeiro eu é contínua se e somente se f * é microcontinuous em cada ponto do I . Enquanto isso, f é uniformemente contínuo em I se e somente se f * for microcontínuo em todos os pontos (padrão e não padrão) da extensão natural I * de seu domínio I (ver Davis, 1977, p. 96).

Exemplo 1

A função real no intervalo aberto (0,1) não é uniformemente contínua porque a extensão natural f * de f falha em ser microcontínua em um infinitesimal . De fato, para tal a , os valores a e 2a são infinitamente próximos, mas os valores de f * , ou seja, e não são infinitamente próximos. ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {a}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2a}}}$

Exemplo 2

A função on não é uniformemente contínua porque f * falha em ser microcontínua em um ponto infinito . Ou seja, definindo e K  =  H  +  e , pode-se facilmente ver que H e K são infinitamente próximos, mas f * ( H ) e f * ( K ) não são infinitamente próximos. ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle H \ in \ mathbb {R} ^ {*}}$${\ displaystyle e = {\ tfrac {1} {H}}}$

Convergência uniforme

A convergência uniforme admite, da mesma forma, uma definição simplificada em um ambiente hiperreal. Assim, uma sequência converge para f uniformemente se para todo x no domínio de f * e todo n infinito , for infinitamente próximo de . ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f_ {n} ^ {*} (x)}$${\ displaystyle f ^ {*} (x)}$

Veja também

• Função de parte padrão

Bibliografia

• Martin Davis (1977) Análise não padronizada aplicada. Matemática Pura e Aplicada. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Nova York-Londres-Sydney. xii + 181 pp. ISBN   0-471-19897-8
• Gordon, EI; Kusraev, AG; Kutateladze , SS: Infinitesimal analysis. Tradução atualizada e revisada do original russo de 2001. Traduzido por Kutateladze. Mathematics and its Applications, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

Referências