Stabilitate marginală - Marginal stability
În teoria sistemelor dinamice și a teoriei controlului , un sistem liniar invariant în timp este marginal stabil dacă nu este nici asimetotic stabil, nici instabil . Aproximativ vorbind, un sistem este stabil dacă revine întotdeauna și rămâne aproape de o anumită stare (numită starea de echilibru ) și este instabil dacă se îndepărtează din ce în ce mai departe de orice stare, fără a fi delimitat. Un sistem marginal, uneori menționat ca având stabilitate neutră, se află între aceste două tipuri: atunci când este deplasat, nu revine aproape de o stare de echilibru comună și nici nu se îndepărtează de unde a început fără limită.
Stabilitatea marginală, ca și instabilitatea, este o caracteristică pe care teoria controlului încearcă să o evite; ne dorim ca, atunci când este deranjat de o forță externă, un sistem să revină la starea dorită. Acest lucru necesită utilizarea unor algoritmi de control proiectați corespunzător.
În econometrie , prezența unei rădăcini unitare în seriile de timp observate , făcându-le marginal stabile, poate duce la rezultate de regresie nevalide cu privire la efectele variabilelor independente asupra unei variabile dependente , cu excepția cazului în care sunt utilizate tehnici adecvate pentru a converti sistemul într-un sistem stabil.
Timp continuu
Un sistem liniar continu omogen invariant în timp este marginal stabil dacă și numai dacă partea reală a fiecărui pol ( valoare proprie ) din funcția de transfer a sistemului este ne-pozitivă , unul sau mai mulți poli au parte reală zero și parte imaginară non-zero, și toți polii cu o parte reală zero sunt rădăcini simple (adică polii de pe axa imaginară sunt toți diferiți unul de celălalt). În schimb, dacă toți polii au părți reale strict negative, sistemul este în schimb asimptotic stabil. Dacă unul sau mai mulți poli au părți reale pozitive, sistemul este instabil.
Dacă sistemul se află în reprezentarea spațiului de stat , stabilitatea marginală poate fi analizată prin derivarea formei normale Jordan : dacă și numai dacă blocurile Jordan corespunzătoare polilor cu zero parte reală sunt scalare, sistemul este marginal marginal.
Timp discret
Un sistem liniar de timp discret, omogen , invariant în timp este marginal stabil dacă și numai dacă cea mai mare magnitudine a oricăruia dintre poli (valori proprii) ale funcției de transfer este 1, iar polii cu magnitudine egală cu 1 sunt toți distincti. Adică, raza spectrală a funcției de transfer este 1. Dacă raza spectrală este mai mică de 1, sistemul este în schimb asimptotic stabil.
Un exemplu simplu implică o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi : Să presupunem că o variabilă de stare x evoluează în funcție de
cu parametrul a > 0. Dacă sistemul este perturbat de valoare, succesiunea sa ulterioară de valori este Dacă a <1, aceste numere se apropie din ce în ce mai mult de 0 indiferent de valoarea de pornire, în timp ce dacă a > 1 numerele devin din ce în ce mai mari fără legat. Dar dacă a = 1, numerele nu fac niciuna dintre acestea: în schimb, toate valorile viitoare ale lui x sunt egale cu valoarea Astfel, cazul a = 1 prezintă stabilitate marginală.
Răspunsul sistemului
Un sistem marginal stabil este unul care, dacă i se dă un impuls de mărime finită ca intrare, nu va „arunca în aer” și nu va da o ieșire nelimitată, dar nici ieșirea nu va reveni la zero. Un offset mărginit sau oscilații în ieșire vor persista la nesfârșit, astfel încât, în general, nu va exista o ieșire finală în stare stabilă. Dacă unui sistem continu i se dă o intrare la o frecvență egală cu frecvența unui pol cu zero parte reală, ieșirea sistemului va crește la nesfârșit (aceasta este cunoscută sub numele de rezonanță pură). Acest lucru explică de ce pentru ca un sistem să fie stabil BIBO , părțile reale ale polilor trebuie să fie strict negative (și nu doar non-pozitive).
Un sistem continuu având poli imaginați, adică având o parte reală zero în pol (i), va produce oscilații susținute în ieșire. De exemplu, un sistem neamortizat de ordinul doi, cum ar fi sistemul de suspensie dintr-un automobil (un sistem masă-arc-amortizor ), din care amortizorul a fost îndepărtat și arcul este ideal, adică nu există frecare, va oscila teoretic pentru totdeauna odată deranjat. Un alt exemplu este un pendul fără frecare . Un sistem cu un pol la origine este, de asemenea, marginal stabil, dar în acest caz nu va exista nicio oscilație în răspuns, deoarece partea imaginară este de asemenea zero ( jw = 0 înseamnă w = 0 rad / sec). Un exemplu de astfel de sistem este masa pe o suprafață cu frecare. Când se aplică un impuls lateral, masa se va mișca și nu revine niciodată la zero. Cu toate acestea, masa se va odihni din cauza fricțiunii, iar mișcarea laterală va rămâne delimitată.
Deoarece locațiile polilor marginali trebuie să fie exact pe axa imaginară sau cercul unitar (pentru sisteme de timp continuu și respectiv de timp discret) pentru ca un sistem să fie marginal stabil, această situație este puțin probabil să apară în practică, cu excepția cazului în care stabilitatea marginală este o teorie inerentă. caracteristică a sistemului.
Dinamica stochastică
Stabilitatea marginală este, de asemenea, un concept important în contextul dinamicii stochastice . De exemplu, unele procese pot urma o plimbare aleatorie , dată în timp discret ca
unde este un termen de eroare iid . Această ecuație are o rădăcină unitară (o valoare de 1 pentru valoarea proprie a ecuației sale caracteristice ) și, prin urmare, prezintă stabilitate marginală, deci tehnici speciale de serie temporală trebuie utilizate în modelarea empirică a unui sistem care conține o astfel de ecuație.
