Tetrare - Tetration

În matematică , tetrarea (sau hiper-4 ) este o operație bazată pe exponențierea iterată sau repetată . Este următoarea hiperoperare după exponențiere , dar înainte de pentație . Cuvântul a fost inventat de Reuben Louis Goodstein din tetra- (patru) și iterație .

Sub definiția ca exponențiere repetată, notația Rudy Rucker înseamnă , unde n copii ale lui a sunt iterate prin exponențiere, de la dreapta la stânga, adică aplicarea timpilor de exponențiere . n se numește „înălțimea” funcției, în timp ce a se numește „bază”, analog exponențierii. Ar fi citit ca „a n- a tetrare a a ”. ${\ displaystyle {^ {n} a}}$${\ displaystyle {a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}}}$${\ displaystyle n-1}$

Tetrarea este definită și recursiv ca

${\ displaystyle {^ {n} a}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 0 \\ a ^ {\ left (^ {(n-1)} a \ right)} & {\ text {if}} n> 0 \ end {cases}}}$,

permițând încercări de extindere a tetrării la numere nenaturale, cum ar fi numerele reale și complexe.

Cele două inverse ale tetrării se numesc super-rădăcină și super-logaritm , analog cu rădăcina a n-a și funcțiile logaritmice. Niciuna dintre cele trei funcții nu este elementară .

Tetrarea este utilizată pentru notarea unui număr foarte mare .

Introducere

Primele patru hiperoperări sunt prezentate aici, tetrarea fiind considerată a patra din serie. Unar operațiune succesiune , definită ca , este considerat a fi operația zero. ${\ displaystyle a '= a + 1}$

1. Plus

   ${\ displaystyle a + n = a + \ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1} _ {n}}$

   n copii de 1 adăugate la a .

2. Multiplicare

   ${\ displaystyle a \ times n = \ underbrace {a + a + \ cdots + a} _ {n}}$

   n copii ale unui combinat prin adăugare.

3. Exponențierea

   ${\ displaystyle a ^ {n} = \ underbrace {a \ times a \ times \ cdots \ times a} _ {n}}$

   n copii ale unui combinat prin multiplicare.

4. Tetrare

   ${\ displaystyle {^ {n} a} = \ underbrace {a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}} _ {n}}$

   n copii ale unei combinații prin exponențiere, de la dreapta la stânga.

Succesiunea, ( a ′ = a + 1) , este cea mai de bază operație; în timp ce adăugarea ( a + n ) este o operațiune primară, pentru adăugarea numerelor naturale poate fi gândit ca o succesiune de înlănțuit n succesori ai unei ; multiplicarea ( a  ×  n ) este, de asemenea, o operație primară, deși pentru numerele naturale poate fi considerată în mod analog ca o adunare înlănțuită care implică n numere ale lui a . Exponentiation poate fi considerat ca o multiplicare înlănțuit care implică n numere ale unei și tetration ( ) , ca o putere liniară care implică n numere a . Fiecare dintre operațiile de mai sus sunt definite prin iterarea celei anterioare; cu toate acestea, spre deosebire de operațiile anterioare, tetrarea nu este o funcție elementară . ${\ displaystyle ^ {n} a \!}$

Parametrul a este denumit bază , în timp ce parametrul n poate fi denumit înălțime . În definiția inițială a tetrării, parametrul înălțimii trebuie să fie un număr natural; de exemplu, ar fi ilogic să spunem „trei ridicați pentru sine negativi de cinci ori” sau „patru crescuți pentru ei înșiși o jumătate de timp”. Cu toate acestea, la fel cum adunarea, multiplicarea și exponențierea pot fi definite în moduri care permit extensii la numere reale și complexe, s-au făcut mai multe încercări de a generaliza tetrarea la numere negative, numere reale și numere complexe. Un astfel de mod de a face acest lucru este utilizarea unei definiții recursive pentru tetrare; pentru orice număr întreg pozitiv real și non-negativ , putem defini recursiv ca: ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle \, \! {^ {n} a}}$

${\ displaystyle {^ {n} a}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 0 \\ a ^ {\ left (^ {(n-1)} a \ right)} & {\ text {if}} n> 0 \ end {cases}}}$

Definiția recursivă este echivalentă cu exponențierea repetată pentru înălțimi naturale ; Cu toate acestea, această definiție permite extensii la alte înălțimi , cum ar fi , și la fel de bine - multe dintre aceste extensii sunt domenii de cercetare activă. ${\ displaystyle ^ {0} a}$${\ displaystyle ^ {- 1} a}$${\ displaystyle ^ {i} a}$

Terminologie

Există mulți termeni pentru tetrare, fiecare dintre aceștia având o anumită logică în spate, dar unii nu au devenit frecvent folosiți dintr-un motiv sau altul. Iată o comparație a fiecărui termen cu rațiunea și contra-raționamentul său.

• Termenul tetration , introdus de Goodstein în 1947 lucrarea transfinit ordinale în recursive Teoria numerelor (generalizării recursiv bază reprezentarea utilizată în teorema Goodstein lui de a utiliza operații mai mari), a câștigat poziția dominantă. Acesta a fost , de asemenea , popularizat în Rudy Rucker lui Infinity si mintea .
• Termenul de superexponentizare a fost publicat de Bromer în lucrarea sa Superexponentiation în 1987. A fost folosit anterior de Ed Nelson în cartea sa Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
• Termenul de hiperputere este o combinație naturală de hiper și putere , care descrie în mod adecvat tetrarea. Problema rezidă în sensul de hiper în raport cu secvența de hiperoperare . Când se iau în considerare hiperoperări, termenul hiper se referă la toate rangurile, iar termenul super se referă la rangul 4 sau tetrare. Deci, în aceste considerații, hiperputerea este înșelătoare, deoarece se referă doar la tetrare.
• Termenul turn de putere este folosit ocazional, sub forma „turnul de putere de ordinul n ” pentru . Cu toate acestea, acesta este un nume greșit, deoarece tetrarea nu poate fi exprimată cu funcții de putere iterate (a se vedea mai sus), deoarece este o funcție exponențială iterată .${\ displaystyle {\ \ atop {\}} {{\ underbrace {a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}} \ atop n}}$

Datorită parțial unei anumite terminologii comune și a unui simbolism noțional similar , tetrarea este adesea confundată cu funcții și expresii strâns legate. Iată câțiva termeni înrudiți:

Termeni legați de tetrare

Terminologie	Formă
Tetrare	${\ displaystyle a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a ^ {a}}}}}}$
Exponențiale iterate	${\ displaystyle a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a ^ {x}}}}}}$
Exponențiale imbricate (de asemenea, turnuri)	${\ displaystyle a_ {1} ^ {a_ {2} ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a_ {n}}}}}}$
Exponențiale infinite (de asemenea, turnuri)	${\ displaystyle a_ {1} ^ {a_ {2} ^ {a_ {3} ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}}}$

În primele două expresii a este baza , iar numărul de ori un apare este înălțimea (add unul pentru x ). În a treia expresie, n este înălțimea , dar fiecare dintre baze este diferită.

Trebuie avut grijă atunci când faceți referire la exponențiale iterate, deoarece este obișnuit să numiți expresii de această formă exponențierea iterată, care este ambiguă, deoarece aceasta poate însemna fie puteri iterate , fie exponențiale iterate .

Notaţie

Există multe stiluri de notare diferite care pot fi utilizate pentru a exprima tetrarea. Unele notații pot fi folosite și pentru a descrie alte hiperoperări , în timp ce unele sunt limitate la tetrare și nu au nicio extensie imediată.

Stiluri de notare pentru tetrare

Nume	Formă	Descriere
Notare Rudy Rucker	${\ displaystyle \, {} ^ {n} a}$	Folosit de Maurer [1901] și Goodstein [1947]; Cartea lui Rudy Rucker Infinity and the Mind a popularizat notația.
Notarea săgeții în sus a lui Knuth	${\ displaystyle a {\ uparrow \ uparrow} n}$	Permite extinderea punând mai multe săgeți sau, chiar mai puternic, o săgeată indexată.
Notare cu săgeată în lanț Conway	${\ displaystyle a \ rightarrow n \ rightarrow 2}$	Permite extinderea prin creșterea numărului 2 (echivalent cu extensiile de mai sus), dar și, și mai puternic, prin extinderea lanțului
Funcția Ackermann	${\ displaystyle {} ^ {n} 2 = \ operatorname {A} (4, n-3) +3}$	Permite scrierea cazului special în funcție de funcția Ackermann. ${\ displaystyle a = 2}$
Notare exponențială iterată	${\ displaystyle \ exp _ {a} ^ {n} (1)}$	Permite o extensie simplă la exponențiale iterate de la valori inițiale altele decât 1.
Notări Hooshmand	${\ displaystyle {\ begin {align} & \ operatorname {uxp} _ {a} n \\ [2pt] & a ^ {\ frac {n} {}} \ end {align}}}$	Folosit de MH Hooshmand [2006].
Hyperoperation notatii	${\ displaystyle {\ begin {align} & a [4] n \\ [2pt] & H_ {4} (a, n) \ end {align}}}$	Permite extinderea prin creșterea numărului 4; acest lucru oferă familiei de hiperoperări .
Notare dublă de caret	a^^n	Deoarece săgeata în sus este utilizată identic cu cursorul ( ^), tetrarea poate fi scrisă ca ( ^^); convenabil pentru ASCII .

O notație de mai sus folosește notația exponențială iterată; acest lucru este definit în general după cum urmează:

${\ displaystyle \ exp _ {a} ^ {n} (x) = a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a ^ {x}}}}}}$cu n a s.

Nu există atât de multe notații pentru exponențiale iterate, dar iată câteva:

Stiluri de notare pentru exponențiale iterate

Nume	Formă	Descriere
Notare standard	${\ displaystyle \ exp _ {a} ^ {n} (x)}$	Euler a inventat notația , iar notația de iterație a existat în jur de mult timp. ${\ displaystyle \ exp _ {a} (x) = a ^ {x}}$${\ displaystyle f ^ {n} (x)}$
Notarea săgeții în sus a lui Knuth	${\ displaystyle (a {\ uparrow}) ^ {n} (x)}$	Permite super-puteri și funcții super-exponențiale prin creșterea numărului de săgeți; utilizată în articolul despre numere mari .
Notare text	exp_a^n(x)	Bazat pe notație standard; convenabil pentru ASCII .
Notă J	x^^:(n-1)x	Repetă exponențierea. Vezi J (limbaj de programare)

Exemple

Datorită creșterii extrem de rapide a tetrării, majoritatea valorilor din tabelul următor sunt prea mari pentru a fi scrise în notație științifică. În aceste cazuri, notația exponențială iterată este utilizată pentru a le exprima în baza 10. Valorile care conțin un punct zecimal sunt aproximative.

Exemple de tetrare

${\ displaystyle x}$	${\ displaystyle {} ^ {2} x}$	${\ displaystyle {} ^ {3} x}$	${\ displaystyle {} ^ {4} x}$	${\ displaystyle {} ^ {5} x}$
1	1	1	1	1
2	4	16	65.536	2 65.536 sau (2.0035 × 10 19.728 )
3	27	7.625.597.484.987	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {3} (1.09902)}$(3,6 × 10 12 cifre)	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {4} (1.09902)}$
4	256	1.34078 × 10 154	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {3} (2.18726)}$(8,1 × 10 153 cifre)	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {4} (2.18726)}$
5	3.125	1.91101 × 10 2.184	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {3} (3.33928)}$(1,3 × 10 2,184 cifre)	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {4} (3.33928)}$
6	46.656	2.65912 × 10 36.305	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {3} (4.55997)}$(2,1 × 10 36.305 cifre)	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {4} (4.55997)}$
7	823.543	3.75982 × 10 695.974	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {3} (5.84259)}$(3,2 × 10695974 cifre)	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {4} (5.84259)}$
8	16.777.216	6,01452 × 10 15,151,335	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {3} (7.18045)}$(5,4 × 10 15.151.335 cifre)	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {4} (7.18045)}$
9	387.420.489	4.28125 × 10 369.693.099	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {3} (8.56784)}$(4,1 × 10 369.693.099 cifre)	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {4} (8.56784)}$
10	10.000.000.000	10 10.000.000.000	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {3} (10)}$( 10.000.000.000 + 1 cifră)	${\ displaystyle \ exp _ {10} ^ {4} (10)}$

Proprietăți

Tetrarea are mai multe proprietăți similare exponențierii, precum și proprietăți specifice operației și care se pierd sau se câștigă din exponențiere. Deoarece exponențierea nu face naveta , regulile de produs și putere nu au un analog cu tetrarea; afirmațiile și nu sunt adevărate pentru majoritatea cazurilor. ${\ textstyle {} ^ {a} \ left ({} ^ {b} x \ right) = \ left ({} ^ {ab} x \ right)}$${\ textstyle {} ^ {a} \ left (xy \ right) = {} ^ {a} x {} ^ {a} y}$

Cu toate acestea, tetrarea urmează o altă proprietate, în care . Acest fapt este cel mai clar arătat folosind definiția recursivă. Din această proprietate, rezultă o dovadă care permite schimbarea b și c în anumite ecuații. Dovada este următoarea: ${\ textstyle {} ^ {a} x = x ^ {\ left ({} ^ {a-1} x \ right)}}$${\ displaystyle \ left ({} ^ {b} a \ right) ^ {\ left ({} ^ {c} a \ right)} = \ left ({} ^ {c + 1} a \ right) ^ { \ left ({} ^ {b-1} a \ right)}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left ({} ^ {b} a \ right) ^ {\ left ({} ^ {c} a \ right)} \\ = {} & \ left (a ^ {{} ^ {b-1} a} \ right) ^ {\ left ({} ^ {c} a \ right)} \\ = {} & a ^ {\ left ({} ^ {b-1} a \ right) \ left ({} ^ {c} a \ right)} \\ = {} & a ^ {\ left ({} ^ {c} a \ right) \ left ({} ^ {b-1} a \ right)} \\ = {} & \ left ({} ^ {c + 1} a \ right) ^ {\ left ({} ^ {b-1} a \ right)} \ end {align}}}$

Atunci când un număr x și 10 sunt prime între ele , este posibil să se calculeze ultimele m cifre zecimale ale folosind teorema lui Euler , pentru orice întreg m . ${\ displaystyle \, \! \ ^ {a} x}$

Direcția de evaluare

Atunci când se evaluează tetrarea exprimată ca „turn de exponențiere”, exponențierea în serie se face mai întâi la cel mai profund nivel (în notație, la vârf). De exemplu:

${\ displaystyle \, \! \ ^ {4} 2 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {\ left (2 ^ {\ left (2 ^ {2} \ right)} \ dreapta)} = 2 ^ {\ left (2 ^ {4} \ dreapta)} = 2 ^ {16} = 65, \! 536}$

Această ordine este importantă deoarece exponențierea nu este asociativă , iar evaluarea expresiei în ordinea opusă va duce la un răspuns diferit:

${\ displaystyle \, \! 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} \ neq \ left ({\ left (2 ^ {2} \ right)} ^ {2} \ right) ^ {2} = 4 ^ {2 \ cdot 2} = 256}$

Evaluarea expresiei de la stânga la dreapta este considerată mai puțin interesantă; evaluând de la stânga la dreapta, orice expresie poate fi simplificată . Din această cauză, turnurile trebuie evaluate de la dreapta la stânga (sau de sus în jos). Programatorii de calculatoare se referă la această alegere drept asociativ . ${\ displaystyle ^ {n} a \!}$${\ displaystyle a ^ {\ left (a ^ {n-1} \ right)} \! \!}$

Extensii

Tetrarea poate fi extinsă în două moduri diferite; în ecuație , atât baza a cât și înălțimea n pot fi generalizate utilizând definiția și proprietățile tetrării. Deși baza și înălțimea pot fi extinse dincolo de numerele întregi non-negative la diferite domenii , inclusiv funcții complexe precum și înălțimile infinitului n , proprietățile mai limitate ale tetrării reduc capacitatea de a extinde tetrarea. ${\ displaystyle ^ {n} a \!}$${\ displaystyle {^ {n} 0}}$${\ displaystyle {} ^ {n} i}$

Extinderea domeniului pentru baze

Baza zero

Exponențialul nu este definit în mod consecvent. Astfel, tetrările nu sunt clar definite de formula dată mai devreme. Cu toate acestea, este bine definit și există: ${\ displaystyle 0 ^ {0}}$${\ displaystyle \, {^ {n} 0}}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} {} ^ {n} x}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} {} ^ {n} x = {\ begin {cases} 1, & n {\ text {even}} \\ 0, & n {\ text {odd}} \ end {cazuri}}}$

Astfel am putea defini în mod constant . Acest lucru este analog cu definirea . ${\ displaystyle {} ^ {n} 0 = \ lim _ {x \ rightarrow 0} {} ^ {n} x}$${\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$

Sub această extensie,, deci regula din definiția inițială este valabilă. ${\ displaystyle {} ^ {0} 0 = 1}$${\ displaystyle {^ {0} a} = 1}$

Baze complexe

Deoarece numerele complexe pot fi ridicate la puteri, tetrarea poate fi aplicată bazelor formei z = a + bi (unde a și b sunt reale). De exemplu, în ⁿ z cu z = i , tetrarea se realizează utilizând ramura principală a logaritmului natural; folosind formula lui Euler obținem relația:

${\ displaystyle i ^ {a + bi} = e ^ {{\ frac {1} {2}} {\ pi i} (a + bi)} = e ^ {- {\ frac {1} {2}} {\ pi b}} \ left (\ cos {\ frac {\ pi a} {2}} + i \ sin {\ frac {\ pi a} {2}} \ right)}$

Aceasta sugerează o definiție recursivă pentru ^{n +1} i = a ′ + b′i având în vedere orice ⁿ i = a + bi :

${\ displaystyle {\ begin {align} a '& = e ^ {- {\ frac {1} {2}} {\ pi b}} \ cos {\ frac {\ pi a} {2}} \\ [ 2pt] b '& = e ^ {- {\ frac {1} {2}} {\ pi b}} \ sin {\ frac {\ pi a} {2}} \ end {align}}}$

Se pot obține următoarele valori aproximative:

Valorile tetrării bazelor complexe

${\ textstyle {} ^ {n} i}$	Valoare aproximativă
${\ textstyle {} ^ {1} i = i}$	eu
${\ textstyle {} ^ {2} i = i ^ {\ left ({} ^ {1} i \ right)}}$	0,2079
${\ textstyle {} ^ {3} i = i ^ {\ left ({} ^ {2} i \ right)}}$	0,9472 + 0,3208 i
${\ textstyle {} ^ {4} i = i ^ {\ left ({} ^ {3} i \ right)}}$	0,0501 + 0,6021 i
${\ textstyle {} ^ {5} i = i ^ {\ left ({} ^ {4} i \ right)}}$	0,3872 + 0,0305 i
${\ textstyle {} ^ {6} i = i ^ {\ left ({} ^ {5} i \ right)}}$	0,7823 + 0,5446 i
${\ textstyle {} ^ {7} i = i ^ {\ left ({} ^ {6} i \ right)}}$	0,1426 + 0,4005 i
${\ textstyle {} ^ {8} i = i ^ {\ left ({} ^ {7} i \ right)}}$	0,5198 + 0,1184 i
${\ textstyle {} ^ {9} i = i ^ {\ left ({} ^ {8} i \ right)}}$	0,5686 + 0,6051 i

Rezolvând relația inversă, ca în secțiunea anterioară, rezultă ⁰ i = 1 și ^-1 i = 0 așteptate , cu valori negative de n care dau rezultate infinite pe axa imaginară. Plotată în planul complex , întreaga secvență spiralează până la limita 0,4383 + 0,3606 i , care ar putea fi interpretată ca valoarea în care n este infinit.

Astfel de secvențe de tetrare au fost studiate încă de pe vremea lui Euler, dar sunt slab înțelese datorită comportamentului lor haotic. Majoritatea cercetărilor publicate s-au concentrat istoric pe convergența funcției exponențiale infinit iterate. Cercetările actuale au beneficiat foarte mult de apariția computerelor puternice cu software de matematică fractală și simbolică. O mare parte din ceea ce se știe despre tetrare provine din cunoașterea generală a dinamicii complexe și cercetarea specifică a hărții exponențiale.

Extensii ale domeniului pentru diferite înălțimi

Înălțimi infinite

Tetrarea poate fi extinsă la înălțimi infinite ; adică, pentru anumite o și n valori în , există un rezultat bine definit pentru un infinit n . Acest lucru se datorează faptului că pentru baze într-un anumit interval, tetrarea converge la o valoare finită pe măsură ce înălțimea tinde spre infinit . De exemplu, converge la 2 și, prin urmare, se poate spune că este egal cu 2. Tendința către 2 poate fi văzută prin evaluarea unui mic turn finit: ${\ displaystyle {} ^ {n} a}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2 }} ^ {1.414}}}}} & \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1.63 }}}} \\ & \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1.76}}} \\ & \ approx {\ sqrt {2 }} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1.84}} \\ & \ approx {\ sqrt {2}} ^ {1.89} \\ & \ approx 1.93 \ end {align}}}$

În general, infinit iterată exponențială , definită ca limita ca n tinde la infinit, converge pentru e ^{- e} ≤ x ≤ e ^{1 / e} , aproximativ intervalul de la 0.066 până la 1,44 rezultat arătat de Leonhard Euler . Limita, dacă ar exista, este o soluție reală pozitivă a ecuației y = x ^y . Astfel, x = y ^{1 / y} . Limita care definește exponențialul infinit al lui x nu există atunci când x > e ^{1 / e} deoarece maximul lui y ^{1 / y} este e ^{1 / e} . Limita nu există, de asemenea, atunci când 0 < x < e ^{- e} . ${\ displaystyle x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} \! \!}$${\ displaystyle {} ^ {n} x}$

Aceasta poate fi extinsă la numerele complexe z cu definiția:

${\ displaystyle {} ^ {\ infty} z = z ^ {z ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} = {\ frac {\ mathrm {W} (- \ ln {z}) } {- \ ln {z}}} ~,}$

unde W reprezintă funcția W a lui Lambert .

Deoarece limita y = ^∞ x (dacă există pe linia reală pozitivă, adică pentru e ^{- e} ≤ x ≤ e ^{1 / e} ) trebuie să satisfacă x ^y = y vedem că x ↦ y = ^∞ x este (ramura inferioară a ) funcția inversă a lui y ↦ x = y ^{1 / y} .

Înălțimi negative

Putem folosi regula recursivă pentru tetrare,

${\ displaystyle {^ {k + 1} a} = a ^ {\ left ({^ {k} a} \ right)},}$

a demonstra : ${\ displaystyle {} ^ {- 1} a}$

${\ displaystyle ^ {k} a = \ log _ {a} \ left (^ {k + 1} a \ right);}$

Înlocuind −1 cu k dă

${\ displaystyle {} ^ {- 1} a = \ log _ {a} \ left ({} ^ {0} a \ right) = \ log _ {a} 1 = 0}$.

Valorile negative mai mici nu pot fi bine definite în acest fel. Înlocuind −2 cu k în aceeași ecuație se obține

${\ displaystyle {} ^ {- 2} a = \ log _ {a} \ left ({} ^ {- 1} a \ right) = \ log _ {a} 0 = - \ infty}$

care nu este bine definit. Cu toate acestea, ele pot fi uneori considerate seturi.

Căci , orice definiție a este în concordanță cu regula deoarece ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle \, \! {^ {- 1} 1}}$

${\ displaystyle {^ {0} 1} = 1 = 1 ^ {n}}$pentru orice .${\ displaystyle \, \! n = {^ {- 1} 1}}$

Înălțimi reale

În acest moment nu există o soluție acceptată în mod obișnuit la problema generală a extinderii tetrării la valorile reale sau complexe ale lui n . Cu toate acestea, au existat multiple abordări ale problemei, iar abordările diferite sunt prezentate mai jos.

În general, problema constă în găsirea - pentru orice real a > 0 - a unei funcții super-exponențiale peste real x > −2 care satisface ${\ displaystyle \, f (x) = {} ^ {x} a}$

• ${\ displaystyle \, {} ^ {- 1} a = 0}$
• ${\ displaystyle \, {} ^ {0} a = 1}$
• ${\ displaystyle \, {} ^ {x} a = a ^ {\ left ({} ^ {x-1} a \ right)}}$pentru toate reale ${\ displaystyle x> -1.}$

Pentru a găsi o extensie mai naturală, sunt de obicei necesare una sau mai multe cerințe suplimentare. Aceasta este de obicei o colecție de următoarele:

• O cerință de continuitate (de obicei, aceasta este continuă în ambele variabile pentru ).${\ displaystyle {} ^ {x} a}$${\ displaystyle x> 0}$
• O cerință de diferențiere (poate fi o dată, de două ori, de k ori sau diferențiată infinit în x ).
• O cerință de regularitate (care implică de două ori diferențiată în x ) care:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x)> 0 \ right)}$ pentru toți ${\ displaystyle x> 0}$

A patra cerință diferă de la autor la autor și între abordări. Există două abordări principale pentru extinderea tetrării la înălțimi reale; unul se bazează pe cerința de regularitate , iar unul se bazează pe cerința de diferențiere . Aceste două abordări par a fi atât de diferite încât pot să nu fie reconciliate, deoarece produc rezultate incompatibile între ele.

Când este definit pentru un interval de lungime una, întreaga funcție urmează cu ușurință pentru toate x > −2 . ${\ displaystyle \, {} ^ {x} a}$

Aproximare liniară pentru înălțimi reale

O aproximare liniară (soluție la cerința de continuitate, aproximare la cerința de diferențialitate) este dată de:

${\ displaystyle {} ^ {x} a \ approx {\ begin {cases} \ log _ {a} \ left (^ {x + 1} a \ right) & x \ leq -1 \\ 1 + x & -1 < x \ leq 0 \\ a ^ {\ left (^ {x-1} a \ right)} & 0 <x \ end {cases}}}$

prin urmare:

Valorile de aproximare liniară

Apropiere	Domeniu
${\ textstyle {} ^ {x} a \ approx x + 1}$	pentru −1 < x <0
${\ textstyle {} ^ {x} a \ approx a ^ {x}}$	pentru 0 < x <1
${\ textstyle {} ^ {x} a \ approx a ^ {a ^ {(x-1)}}}$	pentru 1 < x <2

si asa mai departe. Cu toate acestea, este diferențiat doar în bucăți; la valori întregi ale x derivata se înmulțește cu . Este diferențiat continuu pentru dacă și numai dacă . De exemplu, folosind aceste metode și${\ displaystyle \ ln {a}}$${\ displaystyle x> -2}$${\ displaystyle a = e}$${\ displaystyle {} ^ {\ frac {\ pi} {2}} e \ approx 5.868 ...}$${\ displaystyle {} ^ {- 4.3} 0,5 \ aproximativ 4,03335 ...}$

O teoremă principală din lucrarea lui Hooshmand afirmă: Let . Dacă este continuu și îndeplinește condițiile: ${\ displaystyle 0 <a \ neq 1}$${\ displaystyle f: (- 2, + \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}}$

• ${\ displaystyle f (x) = a ^ {f (x-1)} \; \; {\ text {pentru toate}} \; \; x> -1, \; f (0) = 1,}$
• ${\ displaystyle f}$este diferențiat pe (−1, 0) ,
• ${\ displaystyle f ^ {\ prime}}$este o funcție care nu crește sau nu crește pe (−1, 0) ,
• ${\ displaystyle f ^ {\ prime} \ left (0 ^ {+} \ right) = (\ ln a) f ^ {\ prime} \ left (0 ^ {-} \ right) {\ text {or}} f ^ {\ prime} \ left (-1 ^ {+} \ right) = f ^ {\ prime} \ left (0 ^ {-} \ right).}$

atunci este determinat în mod unic prin ecuație ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (x) = \ exp _ {a} ^ {[x]} \ left (a ^ {(x)} \ right) = \ exp _ {a} ^ {[x + 1]} (( x)) \ quad {\ text {for all}} \; \; x> -2,}$

unde denotă partea fracționată a lui x și este - funcția iterată a funcției . ${\ displaystyle (x) = x- [x]}$${\ displaystyle \ exp _ {a} ^ {[x]}}$${\ displaystyle [x]}$${\ displaystyle \ exp _ {a}}$

Dovada este că a doua până la a patra condiție implică în mod trivial că f este o funcție liniară pe [−1, 0] .

Aproximarea liniară la funcția de tetrare naturală este diferențiată în mod continuu, dar a doua sa derivată nu există la valorile întregi ale argumentului său. Hooshmand a derivat o altă teoremă a unicității care afirmă: ${\ displaystyle {} ^ {x} e}$

Dacă este o funcție continuă care satisface: ${\ displaystyle f: (- 2, + \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}}$

• ${\ displaystyle f (x) = e ^ {f (x-1)} \; \; {\ text {pentru toate}} \; \; x> -1, \; f (0) = 1,}$
• ${\ displaystyle f}$este convex pe (−1, 0) ,
• ${\ displaystyle f ^ {\ prime} \ left (0 ^ {-} \ right) \ leq f ^ {\ prime} \ left (0 ^ {+} \ right).}$

apoi . [Iată numele lui Hooshmand pentru aproximarea liniară la funcția de tetrare naturală.] ${\ displaystyle f = {\ text {uxp}}}$${\ displaystyle f = {\ text {uxp}}}$

Dovada este la fel ca înainte; ecuația recursivă asigură faptul că și atunci condiția de convexitate implică faptul că este liniar pe (-1, 0) . ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (- 1 ^ {+}) = f ^ {\ prime} (0 ^ {+}),}$${\ displaystyle f}$

Prin urmare, aproximarea liniară la tetrarea naturală este singura soluție a ecuației și care este convexă pe (−1, + ∞) . Toate celelalte soluții suficient de diferențiate trebuie să aibă un punct de inflexiune pe interval (-1, 0) . ${\ displaystyle f (x) = e ^ {f (x-1)} \; \; (x> -1)}$${\ displaystyle f (0) = 1}$

Aproximări de ordine superioară pentru înălțimi reale

Dincolo de aproximările liniare, o aproximare pătratică (la cerința de diferențialitate) este dată de:

${\ displaystyle {} ^ {x} a \ approx {\ begin {cases} \ log _ {a} \ left ({} ^ {x + 1} a \ right) & x \ leq -1 \\ 1 + {\ frac {2 \ ln (a)} {1 \; + \; \ ln (a)}} x - {\ frac {1 \; - \; \ ln (a)} {1 \; + \; \ ln (a)}} x ^ {2} & - 1 <x \ leq 0 \\ a ^ {\ left ({} ^ {x-1} a \ right)} & x> 0 \ end {cases}}}$

care este diferențiat pentru toți , dar nu de două ori diferențiat. De exemplu, dacă acesta este același cu aproximarea liniară. ${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle {} ^ {\ frac {1} {2}} 2 \ approx 1.45933 ...}$${\ displaystyle a = e}$

Datorită modului în care este calculată, această funcție nu se „anulează”, spre deosebire de exponenți, unde . Și anume, ${\ displaystyle \ left (a ^ {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} = a}$

${\ displaystyle {} ^ {n} \ left ({} ^ {\ frac {1} {n}} a \ right) = \ underbrace {\ left ({} ^ {\ frac {1} {n}} a \ right) ^ {\ left ({} ^ {\ frac {1} {n}} a \ right) ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ left ({} ^ { \ frac {1} {n}} a \ right)}}}}}}}} _ {n} \ neq a}$.

Așa cum există o aproximare pătratică, există și aproximări cubice și metode de generalizare la aproximări de grad n , deși sunt mult mai dificile.

Înălțimi complexe

S-a dovedit acum că există o funcție unică F care este o soluție a ecuației F ( z + 1) = exp ( F ( z )) și îndeplinește condițiile suplimentare pe care F (0) = 1 și F ( z ) se apropie de punctele fixe ale logaritmului (aproximativ 0,318 ± 1,337 i ) pe măsură ce z se apropie de ± i ∞ și că F este holomorf în întregul plan z complex , cu excepția părții axei reale la z ≤ −2 . Această dovadă confirmă o presupunere anterioară . Construcția unei astfel de funcții a fost inițial demonstrată de Kneser în 1950. Harta complexă a acestei funcții este prezentată în figura din dreapta. Dovada funcționează și pentru alte baze în afară de e , atâta timp cât baza este mai mare decât . Lucrările ulterioare au extins construcția la toate bazele complexe. Aproximarea complexă cu dublă precizie a acestei funcții este disponibilă online. ${\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {e}} \ approx 1.445}$

Cerința ca tetrarea să fie holomorfă este importantă pentru unicitatea ei. Multe funcții S pot fi construite ca

${\ displaystyle S (z) = F \! \ left (~ z ~ + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sin (2 \ pi nz) ~ \ alpha _ {n} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Big (} 1- \ cos (2 \ pi nz) {\ Big)} ~ \ beta _ {n} \ right)}$

unde α și β sunt secvențe reale care se descompun suficient de repede pentru a asigura convergența seriei , cel puțin la valori moderate ale Im  z .

Funcția S îndeplinește ecuațiile de tetrare S ( z + 1) = exp ( S ( z )) , S (0) = 1 , iar dacă α _n și β _{n se} apropie de 0 suficient de rapid, va fi analitic pe o vecinătate a pozitivului ax real. Cu toate acestea, dacă unele elemente ale lui { α } sau { β } nu sunt nule, atunci funcția S are multitudini de singularități și linii de tăiere suplimentare în planul complex, datorită creșterii exponențiale a păcatului și cos de-a lungul axei imaginare; cu cât sunt mai mici coeficienții { α } și { β } , cu atât aceste singularități sunt mai îndepărtate de axa reală.

Extinderea tetrării în planul complex este astfel esențială pentru unicitate; real analitic tetration nu este unic.

Recursivitate neelementară

Tetrarea (limitată la ) nu este o funcție recursivă elementară . Se poate demonstra prin inducție că pentru fiecare funcție recursivă elementară f , există o constantă c astfel încât ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {2}}$

${\ displaystyle f (x) \ leq \ underbrace {2 ^ {2 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {x}}}}} {{c}.}$

Notăm mâna dreaptă . Să presupunem, dimpotrivă, că tetrarea este recursivă elementară. este, de asemenea, recursiv elementar. Prin inegalitatea de mai sus, există o constantă c astfel încât . Lăsând , avem asta , o contradicție. ${\ displaystyle g (c, x)}$${\ displaystyle g (x, x) +1}$${\ displaystyle g (x, x) +1 \ leq g (c, x)}$${\ displaystyle x = c}$${\ displaystyle g (c, c) +1 \ leq g (c, c)}$

Operații inverse

Exponențierea are două operații inverse; rădăcini și logaritmi . În mod analog, inversele tetrării sunt deseori numite super-rădăcină și super-logaritm (De fapt, toate hiperoperările mai mari sau egale cu 3 au inversuri analogice); de exemplu, în funcție , cele două inversuri sunt super-rădăcina cubului lui y și baza super logaritmului  y a lui x . ${\ displaystyle {^ {3}} y = x}$

Super-rădăcină

Super-rădăcina este operația inversă de tetrare față de bază: dacă , atunci y este a n- a super rădăcină a lui x ( sau ). ${\ displaystyle ^ {n} y = x}$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} _ {s}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} _ {4}}$

De exemplu,

${\ displaystyle ^ {4} 2 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 65 {,} 536}$

deci 2 este a 4-a super-rădăcină a 65.536.

Super-rădăcină pătrată

A 2-ordinul super-rădăcină , pătrat super-rădăcină , sau rădăcină super - pătrat are două notațiile echivalente, și . Este inversul și poate fi reprezentat cu funcția Lambert W : ${\ displaystyle \ mathrm {ssrt} (x)}$${\ displaystyle {\ sqrt {x}} _ {s}}$${\ displaystyle ^ {2} x = x ^ {x}}$

${\ displaystyle \ mathrm {ssrt} (x) = e ^ {W (\ ln x)} = {\ frac {\ ln x} {W (\ ln x)}}}$

Funcția ilustrează, de asemenea, natura reflectivă a funcțiilor rădăcină și logaritm, deoarece ecuația de mai jos este valabilă numai atunci când : ${\ displaystyle y = \ mathrm {ssrt} (x)}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{y}] {x}} = \ log _ {y} x}$

La fel ca rădăcinile pătrate , super-rădăcina pătrată a lui x poate să nu aibă o singură soluție. Spre deosebire de rădăcinile pătrate, determinarea numărului de super-rădăcini pătrate ale lui x poate fi dificilă. În general, dacă , atunci x are două super-rădăcini pătrate pozitive între 0 și 1; și dacă , atunci x are o super-rădăcină pătrată pozitivă mai mare decât 1. Dacă x este pozitivă și mai mică decât nu are nici o super-rădăcină pătrată reală , dar formula dată mai sus produce mult infinit de multe complexe pentru orice x finit nu este egal cu 1. Funcția a fost utilizată pentru a determina dimensiunea clusterelor de date . ${\ displaystyle e ^ {- 1 / e} <x <1}$${\ displaystyle x> 1}$${\ displaystyle e ^ {- 1 / e}}$

La : ${\ displaystyle x = 1}$

${\ displaystyle \ mathrm {ssqrt} (x) = 1 + (x-1) - (x-1) ^ {2} + {\ frac {3} {2}} (x-1) ^ {3} - {\ frac {17} {6}} (x-1) ^ {4} + {\ frac {37} {6}} (x-1) ^ {5} - {\ frac {1759} {120}} (x-1) ^ {6} + {\ frac {13279} {360}} (x-1) ^ {7} + \ mathrm {O} \ left ((x-1) ^ {8} \ right) }$

Alte super-rădăcini

Pentru fiecare număr întreg n > 2 , funcția ⁿ x este definită și în creștere pentru x ≥ 1 , și ⁿ 1 = 1 , astfel încât n - a super-radacina x , , există pentru x ≥ 1 . ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} _ {s}}$

Una dintre formulele mai simple și mai rapide pentru o super-rădăcină de gradul trei este formula recursivă, dacă: "x ^ x ^ x = a", iar următorul x (n + 1) = exp (W (W (x (n ) * ln (a)))), de exemplu x (0) = 1.

Cu toate acestea, dacă se utilizează aproximarea liniară de mai sus , atunci dacă −1 < y ≤ 0 , deci nu poate exista. ${\ displaystyle ^ {y} x = y + 1}$${\ displaystyle ^ {y} {\ sqrt {y + 1}} _ {s}}$

În același mod ca super-rădăcina pătrată, terminologia pentru alte super rădăcini se poate baza pe rădăcinile normale : „super-rădăcini cub” poate fi exprimată ca ; „a 4-a super-rădăcină” poate fi exprimată ca ; iar „a n- a super-rădăcină” este . Rețineți că este posibil să nu fie definit în mod unic, deoarece poate exista mai mult de o a n- ^a rădăcină. De exemplu, x are o singură super-rădăcină (reală) dacă n este impar și până la două dacă n este par . ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} _ {s}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {x}} _ {s}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} _ {s}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} _ {s}}$

La fel ca și în cazul extinderii tetrării la înălțimi infinite, super-rădăcina poate fi extinsă la n = ∞ , fiind bine definită dacă 1 / e ≤ x ≤ e . Rețineți că și astfel că . Prin urmare, atunci când este bine definit și, spre deosebire de tetrarea normală, este o funcție elementară . De exemplu ,. ${\ displaystyle x = {^ {\ infty} y} = y ^ {\ left [^ {\ infty} y \ right]} = y ^ {x},}$${\ displaystyle y = x ^ {1 / x}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{\ infty}] {x}} _ {s} = x ^ {1 / x}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{\ infty}] {2}} _ {s} = 2 ^ {1/2} = {\ sqrt {2}}}$

Rezultă din teorema Gelfond – Schneider că super-rădăcina pentru orice număr întreg pozitiv n este fie întreagă, fie transcendentală și este fie întreagă, fie irațională. Este încă o întrebare deschisă dacă super-rădăcinile iraționale sunt transcendentale în acest din urmă caz. ${\ displaystyle {\ sqrt {n}} _ {s}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {n}} _ {s}}$

Super-logaritm

Odată ce se selectează o definiție continuă în creștere (în x ) a tetrării, ^x a , super-logaritmul corespunzător sau este definit pentru toate numerele reale x și a > 1 . ${\ displaystyle \ operatorname {slog} _ {a} x}$${\ displaystyle \ log _ {a} ^ {4} x}$

Funcția slog _a  x satisface:

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ operatorname {slog} _ {a} {^ {x} a} & = & x \\\ operatorname {slog} _ {a} a ^ {x} & = & 1+ \ operatorname {slog} _ {a} x \\\ operatorname {slog} _ {a} x & = & 1+ \ operatorname {slog} _ {a} \ log _ {a} x \\\ operatorname {slog} _ {a } x &> & - 2 \ end {array}}}$

Întrebări deschise

În afară de problemele cu extensiile tetrării, există mai multe întrebări deschise referitoare la tetrare, în special atunci când se referă la relațiile dintre sistemele numerice, cum ar fi numerele întregi și numerele iraționale :

• Nu se știe dacă există un număr întreg pozitiv n pentru care ⁿ π sau ⁿ e este un număr întreg. În special, nu se știe dacă oricare dintre ⁴ π sau ⁵ e este un număr întreg.
• Nu se știe dacă ⁿ q este un număr întreg pentru orice număr pozitiv n și rațional pozitiv non-întreg q . De exemplu, nu se știe dacă rădăcina pozitivă a ecuației ⁴ x = 2 este un număr rațional.

Vezi si

• Funcția Ackermann
• Notare O mare
• Funcție exponențială dublă
• Hiperoperatie
• Logaritm iterat
• Aritmetica simetrică a indexului de nivel

Note

Referințe

• Daniel Geisler, Tetration
• Ioannis Galidakis, Cu privire la extinderea hyper4 la nonintegers (nedatat, 2006 sau anterior) (O recenzie mai simplă, mai ușor de citit a următoarei referințe)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 și Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (nedatat, 2006 sau anterior).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (O discuție informală despre extinderea tetrării la numerele reale.)
• Lode Vandevenne , Tetrarea rădăcinii pătrate a celor doi . (2004). (Încercați să extindeți tetrarea la numere reale.)
• Ioannis Galidakis, Matematică , (Lista definitivă de referințe la cercetarea tetrării. Multe informații despre funcția Lambert W, suprafețele Riemann și continuarea analitică.)
• Joseph MacDonell, Unele puncte critice ale funcției de hiperputere .
• Dave L. Renfro, pagini web pentru exponențiale iterate infinit
• Knobel, R. (1981). „Exponențiale repetate”. American Mathematical Monthly . 88 (4): 235-252. doi : 10.1080 / 00029890.1981.11995239 .
• Hans Maurer, „Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)”. Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4 , (1901), p. 33-50. (Trimitere la utilizarea de pe lucrarea lui Knobel.)${\ displaystyle y = x ^ {[x ^ {[x (\ cdots)]}]}}$ ${\ displaystyle \ {^ {n} a}}$
• A patra operațiune
• Luca Moroni, Proprietățile ciudate ale turnului de putere infinit ( https://arxiv.org/abs/1908.05559 )

Lecturi suplimentare

• Galidakis, Ioannis; Weisstein, Eric Wolfgang . „Turnul de putere” . MathWorld . Adus 05-07-2019 .