Cod dublu - Dual code

În teoria codificării , codul dual al unui cod liniar

${\ displaystyle C \ subset \ mathbb {F} _ {q} ^ {n}}$

este codul liniar definit de

${\ displaystyle C ^ {\ perp} = \ {x \ in \ mathbb {F} _ {q} ^ {n} \ mid \ langle x, c \ rangle = 0 \; \ forall c \ in C \}}$

Unde

${\ displaystyle \ langle x, c \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} c_ {i}}$

este un produs scalar. În termeni de algebră liniară , codul dual este anihilatorul lui C în raport cu forma bilineală <,>. Dimensiunea de C și sa duală adăuga întotdeauna până la lungimea n :

${\ displaystyle \ dim C + \ dim C ^ {\ perp} = n.}$

O matrice generatoare pentru codul dual este o matrice de verificare a parității pentru codul inițial și invers. Codul dual al codului dual este întotdeauna codul original.

Coduri auto-duale

Un cod auto-dual este unul care este propriul său dual. Aceasta implică faptul că n este egal și slab C = n / 2. Dacă un cod auto-dual este astfel încât greutatea fiecărui cod de cuvânt este un multiplu al unei constante , atunci acesta este unul dintre următoarele patru tipuri:${\ displaystyle c> 1}$

• Codurile de tip I sunt coduri binare auto-duale, care nu sunt dublă egal . Codurile de tip I sunt întotdeauna uniforme (fiecare cod de cuvânt are chiar și o greutate Hamming ).
• Codurile de tip II sunt coduri binare auto-duale, care sunt dublu egal.
• Codurile de tip III sunt coduri auto-duale ternare. Fiecare cod de ordine dintr-un cod de tip III are o greutate Hamming divizibilă cu 3.
• Codurile de tip IV sunt coduri auto-duale peste F ₄ . Acestea sunt din nou egal.

Codurile de tipul I, II, III sau IV există numai dacă lungimea n este un multiplu de 2, 8, 4, respectiv 2.

Dacă un cod auto-dual are o matrice generatoare a formei , atunci codul dual are matrice generatoare , unde este matricea de identitate și . ${\ displaystyle G = [I_ {k} | A]}$${\ displaystyle C ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle [- {\ bar {A}} ^ {T} | I_ {k}]}$${\ displaystyle I_ {k}}$${\ displaystyle (n / 2) \ times (n / 2)}$${\ displaystyle {\ bar {a}} = a ^ {q} \ in \ mathbb {F} _ {q}}$

Referințe

linkuri externe

• MATH32031: Teoria codificării - cod dublu - pdf cu câteva exemple și explicații