código dupla - Dual code

Em teoria da codificação , o código dupla de um código linear

${\ Displaystyle C \ subconjunto \ mathbb {F} _ {q} ^ {n}}$

é o código linear definida pela

${\ Displaystyle C ^ {\ perp} = \ {x \ in \ mathbb {F} _ {q} ^ {n} \ meados \ Langle x, c \ rangle = 0 \; \ forall c \ em C \}}$

Onde

${\ Displaystyle \ Langle x, c \ rangle = \ soma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} C_ {i}}$

é um produto escalar. Em álgebra linear termos, o código dupla é o aniquilador de C com respeito à forma bilinear <,>. A dimensão do C e sua dupla sempre somam o comprimento n :

${\ Displaystyle \ dim C + \ dim C ^ {\ perp} = N.}$

Uma matriz de gerador para o código dupla é uma matriz de verificação de paridade para o código original e vice-versa. A dupla do código dual é sempre o código original.

códigos de auto-dual

Um código de auto-dual é aquele que é o seu próprio dual. Isto implica que n é par e não ofuscante C = N / 2. Se um código de auto-dual é tal que o peso de cada palavra-chave é um múltiplo de alguma constante , então é de um dos quatro tipos seguintes:${\ Displaystyle c> 1}$

• Tipo I códigos são códigos binários auto-dual que não são duplamente mesmo . Digite códigos de I estão sempre mesmo (a cada palavra-chave tem ainda Hamming peso ).
• Tipo II códigos são códigos binários auto-dual que são duplamente mesmo.
• Tipo III códigos são códigos de auto-dual ternários. Cada palavra-chave em um código de tipo III tem um peso Hamming divisível por 3.
• IV tipo códigos são códigos de auto-dual mais de F ₄ . Estes são novamente mesmo.

Os códigos de tipos I, II, III, ou IV existem apenas se o comprimento n é um múltiplo de 2, 8, 4 ou 2, respectivamente.

Se um código de auto-dupla tem uma matriz geradora de forma a , em seguida, o código de dupla tem matriz geradora , onde é a matriz identidade e . ${\ Displaystyle G = [I_ {k} | A]}$${\ Displaystyle C ^ {\ perp}}$ ${\ Displaystyle [- {\ bar {A}} ^ {T} | I_ {k}]}$${\ Displaystyle I_ {k}}$${\ Displaystyle (n / 2) \ vezes (n / 2)}$${\ Displaystyle {\ bar {a}} = ^ a {q} \ in \ mathbb {F} _ {q}}$

Referências

links externos

• MATH32031: Codificação Theory - Código dupla - pdf com alguns exemplos e explicações