Sistem de parametri distribuiți - Distributed parameter system

În teoria controlului , un sistem cu parametri distribuiți (spre deosebire de un sistem cu parametri forfetari ) este un sistem al cărui spațiu de stare este infinit- dimensional . Astfel de sisteme sunt, de asemenea, cunoscute și ca sisteme cu dimensiuni infinite. Exemple tipice sunt sistemele descrise prin ecuații diferențiale parțiale sau prin ecuații diferențiale de întârziere .

Sisteme liniare cu parametri distribuiți invarianți în timp

Ecuații de evoluție abstractă

Timp discret

Cu U , X și Y spații Hilbert și  ∈  L ( X ),  ∈  L ( U ,  X ),  ∈  L ( X ,  Y ) și  ∈  L ( U ,  Y ) următoarele ecuații de diferență determină un timp liniar în timp discret sistem invariant : ${\ displaystyle A \,}$${\ displaystyle B \,}$${\ displaystyle C \,}$${\ displaystyle D \,}$

${\ displaystyle x (k + 1) = Ax (k) + Bu (k) \,}$

${\ displaystyle y (k) = Cx (k) + Du (k) \,}$

cu (statul) o secvență cu valori în X , (de intrare sau de control) , o secvență cu valori în U și (ieșire) o secvență cu valori în Y . ${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle u \,}$${\ displaystyle y \,}$

Timp continuu

Cazul în timp continuu este similar cu cazul în timp discret, dar acum se iau în considerare ecuațiile diferențiale în loc de ecuațiile diferenței:

${\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t) \,}$ ,

${\ displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t) \,}$ .

O complicație adăugată acum este că, pentru a include exemple fizice interesante, cum ar fi ecuațiile diferențiale parțiale și ecuațiile diferențiale de întârziere în acest cadru abstract, este forțat să luăm în considerare operatorii nelimitați . De obicei , A se presupune a genera un semigrup puternic continuă pe spațiul de stat X . Presupunând B , C și D , operatorii care urmează să fie delimitate , atunci deja permite includerea multor exemple fizice interesante, dar includerea multe alte exemple interesante fizice forțe unboundedness de B și C , de asemenea.

Exemplu: o ecuație diferențială parțială

Ecuația diferențială parțială cu și dată de ${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle \ xi \ in [0,1]}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} w (t, \ xi) = - {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} w (t, \ xi) + u (t ),}$

${\ displaystyle w (0, \ xi) = w_ {0} (\ xi),}$

${\ displaystyle w (t, 0) = 0,}$

${\ displaystyle y (t) = \ int _ {0} ^ {1} w (t, \ xi) \, d \ xi,}$

se încadrează în cadrul ecuației de evoluție abstractă descris mai sus, după cum urmează. Spațiul de intrare U și spațiul de ieșire Y sunt ambele alese pentru a fi setul de numere complexe. Spațiul de stare X este ales să fie L ² (0, 1). Operatorul A este definit ca

${\ displaystyle Ax = -x ', ~~~ D (A) = \ left \ {x \ în X: x {\ text {absolut continuu}}, x' \ în L ^ {2} (0,1) {\ text {și}} x (0) = 0 \ right \}.}$

Se poate demonstra că o generează un puternic continuu semigrup pe X . Operatorii delimitați B , C și D sunt definiți ca

${\ displaystyle Bu = u, ~~~ Cx = \ int _ {0} ^ {1} x (\ xi) \, d \ xi, ~~~ D = 0.}$

Exemplu: o ecuație diferențială de întârziere

Ecuația diferențială de întârziere

${\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = w (t) + w (t- \ tau) + u (t),}$

${\ displaystyle y (t) = w (t),}$

se încadrează în cadrul ecuației de evoluție abstractă descris mai sus, după cum urmează. Spațiul de intrare U și spațiul de ieșire Y sunt ambele alese pentru a fi setul de numere complexe. Spațiul de stare X este ales să fie produsul numerelor complexe cu L ² (- τ , 0). Operatorul A este definit ca

${\ displaystyle A {\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r + f (- \ tau) \\ f '\ end {pmatrix}}, ~~~ D (A) = \ left \ {{\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} \ în X: f {\ text {absolut continuu}}, f '\ în L ^ {2} ([- \ tau, 0]) {\ text {și}} r = f (0) \ right \}.}$

Se poate arăta că A generează un semigrup puternic continuu pe X. Operatorii delimitați B , C și D sunt definiți ca

${\ displaystyle Bu = {\ begin {pmatrix} u \\ 0 \ end {pmatrix}}, ~~~ C {\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} = r, ~~~ D = 0.}$

Funcții de transfer

Ca și în cazul dimensiunii finite, funcția de transfer este definită prin transformata Laplace (timp continuu) sau transformată Z (timp discret). În timp ce în cazul dimensiunii finite funcția de transfer este o funcție rațională adecvată, dimensionalitatea infinită a spațiului de stare duce la funcții iraționale (care sunt totuși încă holomorfe ).

Timp discret

În timp discret funcția de transfer este dată în termeni de parametri de stare-spațiu de și este holomorfă într-un disc centrat la origine. În cazul în care 1 / z aparține setului rezolvat de A (care este cazul pe un disc posibil mai mic centrat la origine) funcția de transfer este egală . Un fapt interesant este că orice funcție care este holomorfă în zero este funcția de transfer a unui sistem de timp discret. ${\ displaystyle D + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} CA ^ {k} Bz ^ {k}}$${\ displaystyle D + Cz (I-zA) ^ {- 1} B}$

Timp continuu

Dacă A generează un semigrup puternic continuă și B , C și D sunt operatori mărginite, atunci funcția de transfer este dată în termenii parametrilor de spațiu de stat de la s cu o parte reală mai mare decât creșterea exponențială legată de semigrupul generat de A . În situații mai generale, această formulă, așa cum este, poate chiar nu are sens, dar o generalizare adecvată a acestei formule este încă valabilă. Pentru a obține o expresie ușoară pentru funcția de transfer, este adesea mai bine să luați transformata Laplace în ecuația diferențială dată decât să utilizați formulele spațiului de stare, așa cum este ilustrat mai jos, în exemplele date mai sus. ${\ displaystyle D + C (sI-A) ^ {- 1} B}$

Funcția de transfer pentru exemplul ecuației diferențiale parțiale

Stabilirea condiției inițiale egală cu zero și denotarea transformărilor Laplace față de t cu majuscule se obține din ecuația diferențială parțială dată mai sus ${\ displaystyle w_ {0}}$

${\ displaystyle sW (s, \ xi) = - {\ frac {d} {d \ xi}} W (s, \ xi) + U (s),}$

${\ displaystyle W (s, 0) = 0,}$

${\ displaystyle Y (s) = \ int _ {0} ^ {1} W (s, \ xi) \, d \ xi.}$

Aceasta este o ecuație diferențială liniară neomogenă cu variabilă, s ca parametru și condiția inițială zero. Soluția este . Înlocuind acest lucru în ecuația pentru Y și integrând se obține astfel încât funcția de transfer să fie . ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle W (s, \ xi) = U (s) (1-e ^ {- s \ xi}) / s}$${\ displaystyle Y (s) = U (s) (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$${\ displaystyle (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$

Funcția de transfer pentru exemplul de ecuație diferențială de întârziere

Procedând în mod similar ca pentru exemplul de ecuație diferențială parțială, funcția de transfer pentru exemplul de ecuație de întârziere este . ${\ displaystyle 1 / (s-1-e ^ {- s})}$

Controlabilitate

În cazul cu dimensiune infinită există mai multe definiții neechivalente ale controlabilității care pentru cazul cu dimensiuni finite se prăbușesc la noțiunea obișnuită de controlabilitate. Cele mai importante trei concepte de controlabilitate sunt:

• Controlabilitate exactă,
• Controlabilitate aproximativă,
• Controlabilitate nulă.

Controlabilitate în timp discret

Un rol important îl au hărțile care mapează setul tuturor secvențelor evaluate în U și sunt date de . Interpretarea este că este starea la care se ajunge prin aplicarea secvenței de intrare u atunci când condiția inițială este zero. Sistemul este numit ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} u = \ sum _ {k = 0} ^ {n} A ^ {k} Bu_ {k}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} u}$

• controlabil exact în timpul n dacă intervalul este egal cu X , ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$
• aproximativ controlabil în timp n dacă intervalul este dens în X , ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$
• nul controlabil în timp n dacă domeniul include intervalul lui A ⁿ . ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$

Controlabilitate în timp continuu

În controlabilitatea sistemelor de timp continuu, harta dată de joacă rolul care joacă în timp discret. Cu toate acestea, spațiul funcțiilor de control asupra cărora acționează acest operator influențează acum definiția. Alegerea obișnuită este L ² (0, ∞; U ), spațiul (claselor de echivalență a) funcțiilor integrabile pătrate evaluate în U (0, ∞), dar alte opțiuni precum L ¹ (0, ∞; U ) sunt posibile. Diferitele noțiuni de controlabilitate pot fi definite odată ce domeniul este ales. Sistemul este numit ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} {\ rm {e}} ^ {As} Bu (s) \, ds}$${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$

• exact controlabil în timpul t dacă intervalul este egal cu X , ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$
• aproximativ controlabil în timp t dacă intervalul este dens în X , ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$
• nul controlabil în timp t dacă domeniul include intervalul de . ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {At}}$

Observabilitate

La fel ca în cazul cu dimensiuni finite, observabilitatea este noțiunea dublă de controlabilitate. În cazul infinit-dimensional există mai multe noțiuni diferite de observabilitate care în cazul finit-dimensional coincid. Cele mai importante trei sunt:

• Observabilitate exactă (cunoscută și sub numele de observabilitate continuă),
• Observabilitate aproximativă,
• Observabilitatea stării finale.

Observabilitate în timp discret

Un rol important îl au hărțile care mapează X în spațiul tuturor secvențelor evaluate Y și sunt date de dacă k  ≤  n și zero dacă k  >  n . Interpretarea este că este ieșirea trunchiată cu condiția inițială x și controlul zero. Sistemul este numit ${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$${\ displaystyle (\ Psi _ {n} x) _ {k} = CA ^ {k} x}$${\ displaystyle \ Psi _ {n} x}$

• exact observabil în timpul n dacă există un k _n  > 0 astfel încât pentru toate x  ∈  X , ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {n} x \ | \ geq k_ {n} \ | x \ |}$
• aproximativ observabil în timpul n dacă este injectiv , ${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$
• stare finală observabile în timp n dacă există un k _n  > 0 astfel încât pentru orice x  ∈  X . ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {n} x \ | \ geq k_ {n} \ | A ^ {n} x \ |}$

Observabilitate în timp continuu

În observabilitatea sistemelor în timp continuu, harta dată de for s∈ [0, t] și zero pentru s> t joacă rolul care joacă în timp discret. Cu toate acestea, spațiul funcțiilor la care hărțește acest operator influențează acum definiția. Alegerea obișnuită este L ² (0, ∞,  Y ), spațiul (claselor de echivalență a) Y- funcții pătrate integrabile evaluate pe interval (0, ∞) , dar alte opțiuni precum L ¹ (0, ∞,  Y ) sunt posibile. Diferitele noțiuni de observabilitate pot fi definite odată ce co-domeniul este ales. Sistemul este numit ${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$${\ displaystyle (\ Psi _ {t}) (s) = C {\ rm {e}} ^ {As} x}$${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$

• exact observabil în timpul t dacă există un k _t  > 0 astfel încât pentru toate x  ∈  X , ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {t} x \ | \ geq k_ {t} \ | x \ |}$
• aproximativ observabil în timpul t dacă este injectiv , ${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$
• stare finală observabile în timp t dacă există un k _t  > 0 astfel încât pentru orice x  ∈  X . ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {t} x \ | \ geq k_ {t} \ | {\ rm {e}} ^ {At} x \ |}$

Dualitate între controlabilitate și observabilitate

La fel ca în cazul cu dimensiuni finite, controlabilitatea și observabilitatea sunt concepte duale (cel puțin când se face alegerea obișnuită a L ² pentru domeniul și co-domeniul ). Corespondența sub dualitate a diferitelor concepte este: ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Psi}$

• Controlabilitate exactă ↔ Observabilitate exactă,
• Controlabilitate aproximativă ↔ Observabilitate aproximativă,
• Controlabilitate nulă ↔ Observabilitatea stării finale.

Vezi si

• Teoria controlului
• Spațiu de stat (controale)

Note

Referințe

• Cortină, Ruth ; Zwart, Hans (1995), An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory , Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observation and Control for Operator Semigroups , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Sisteme liniare bine poziționate , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stabilitatea și stabilizarea sistemelor dimensionale infinite cu aplicații , Springer
• Lasiecka, Irena ; Triggiani, Roberto (2000), Teoria controlului pentru ecuații diferențiale parțiale , Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Reprezentarea și controlul sistemelor dimensionale infinite (ediția a doua), Birkhauser