Hajautettu parametrijärjestelmä - Distributed parameter system

Vuonna säätöteoriaa , joka on hajautettu-parametri järjestelmän (toisin kuin kerääntyvät-parametri-järjestelmä ) on järjestelmä , jonka tila-avaruus on infinite- ulotteinen . Tällaiset järjestelmät tunnetaan siis myös äärettömän ulottuvuuden järjestelminä. Tyypillisiä esimerkkejä ovat järjestelmät, joita kuvataan osittaisdifferenssiyhtälöillä tai viive-differentiaaliyhtälöillä .

Lineaariset aika-invariantit hajautettujen parametrien järjestelmät

Abstraktit evoluutioyhtälöt

Diskreetti aika

Kun U , X ja Y Hilbert-välilyönnit ja  ∈  L ( X ),  ∈  L ( U ,  X ),  ∈  L ( X ,  Y ) ja  ∈  L ( U ,  Y ) seuraavat eroyhtälöt määrittävät diskreetin ajan lineaarisen aika- muuttumaton järjestelmä : ${\ displaystyle A \,}$${\ displaystyle B \,}$${\ displaystyle C \,}$${\ displaystyle D \,}$

${\ displaystyle x (k + 1) = Kirves (k) + Bu (k) \,}$

${\ displaystyle y (k) = Cx (k) + Du (k) \,}$

kanssa (valtio) sekvenssi, jolla on arvot X , (tulo tai kontrolli) sekvenssin kanssa arvot U ja (lähtö) sekvenssi, jolla on arvoja Y . ${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle u \,}$${\ displaystyle y \,}$

Jatkuva-aika

Jatkuva-aikainen tapaus on samanlainen kuin diskreetin ajan tapaus, mutta nyt tarkastellaan differentiaaliyhtälöitä eroyhtälöiden sijaan:

${\ displaystyle {\ piste {x}} (t) = Kirves (t) + Bu (t) \,}$ ,

${\ displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t) \,}$ .

Lisääntynyt komplikaatio on kuitenkin nyt se, että sisällytettäessä tähän abstraktiin kehykseen mielenkiintoisia fyysisiä esimerkkejä, kuten osittaiset differentiaaliyhtälöt ja viive-differentiaaliyhtälöt, on pakko harkita rajattomia operaattoreita . Yleensä oletetaan tuottaa voimakkaasti jatkuvan puoliryhmä on tila-avaruus X . Oletus , että B , C ja D ovat sidottuja operaattoreita, sallii jo monien mielenkiintoisten fyysisten esimerkkien sisällyttämisen, mutta monien muiden mielenkiintoisten fyysisten esimerkkien sisällyttäminen pakottaa myös B: n ja C: n rajattomuuteen .

Esimerkki: osittainen differentiaaliyhtälö

Osittainen differentiaaliyhtälön kanssa ja antaa ${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle \ xi \ in [0,1]}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partituali} {\ osittainen t}} w (t, \ xi) = - {\ frac {\ osallinen} {\ osittainen \ xi}} w (t, \ xi) + u (t ),}$

${\ displaystyle w (0, \ xi) = w_ {0} (\ xi),}$

${\ displaystyle w (t, 0) = 0,}$

${\ displaystyle y (t) = \ int _ {0} ^ {1} w (t, \ xi) \, d \ xi,}$

sopii edellä kuvattuun abstraktiin evoluutioyhtälökehykseen seuraavasti. Tulotila U ja lähtötila Y valitaan molemmat kompleksilukujen joukoksi. Tila-avaruus X on valittu olemaan L ² (0, 1). Operaattori A määritellään seuraavasti

${\ displaystyle Ax = -x ', ~~~ D (A) = \ vasen \ {x \ X: ssä: x {\ text {täysin jatkuva}}, x' \ L ^ {2} (0,1) {\ text {ja}} x (0) = 0 \ oikea \}.}$

Voidaan osoittaa, että tuottaa voimakkaasti jatkuva puoliryhmä on X . Rajoitetut operaattorit B , C ja D määritellään seuraavasti

${\ displaystyle Bu = u, ~~~ Cx = \ int _ {0} ^ {1} x (\ xi) \, d \ xi, ~~~ D = 0.}$

Esimerkki: viive-differentiaaliyhtälö

Viive-differentiaaliyhtälö

${\ displaystyle {\ piste {w}} (t) = w (t) + w (t- \ tau) + u (t),}$

${\ displaystyle y (t) = w (t),}$

sopii edellä kuvattuun abstraktiin evoluutioyhtälökehykseen seuraavasti. Tulotila U ja lähtötila Y valitaan molemmat kompleksilukujen joukoksi. Tilatila X valitaan kompleksilukujen tuloksi L ^{2: lla} (- τ , 0). Operaattori A määritellään seuraavasti

${\ displaystyle A {\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r + f (- \ tau) \\ f '\ end {pmatrix}}, ~~~ D (A) = \ vasen \ {{\ alku {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} \ X: f: f {\ text {täysin jatkuva}}, f '\ L ^ {2} ([- \ tau, 0]) {\ text {ja}} r = f (0) \ oikea \}.}$

Voidaan osoittaa, että A muodostaa voimakkaasti jatkuvan puoliryhmän X: lle. Rajoitetut operaattorit B , C ja D määritellään

${\ displaystyle Bu = {\ begin {pmatrix} u \\ 0 \ end {pmatrix}}, ~~~ C {\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} = r, ~~~ D = 0.}$

Siirtotoiminnot

Kuten rajallisessa ulottuvuudessa, siirtofunktio määritetään Laplace-muunnoksen (jatkuva-aika) tai Z-muunnoksen (diskreetti-aika) kautta. Vaikka rajallisessa ulottuvuudessa siirtofunktio on oikea rationaalinen toiminto, tilatilan ääretön ulottuvuus johtaa irrationaalisiin toimintoihin (jotka ovat kuitenkin edelleen holomorfisia ).

Diskreetti aika

Diskreettiajassa siirtofunktio annetaan tila-avaruusparametrien perusteella ja se on holomorfinen levyssä, jonka keskipiste on origossa. Jos 1 / z kuuluu A: n resoluutiojoukkoon (kuten on mahdollisesti pienemmällä levyllä, jonka keskipiste on alkupuolella), siirtofunktio on yhtä suuri . Mielenkiintoinen tosiasia on, että mikä tahansa funktio, joka on holomorfinen nollassa, on jonkin diskreetin aikajärjestelmän siirtofunktio. ${\ displaystyle D + \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} CA ^ {k} Bz ^ {k}}$${\ displaystyle D + Cz (I-zA) ^ {- 1} B}$

Jatkuva-aika

Jos A muodostaa voimakkaasti jatkuvan puoliryhmän ja B , C ja D ovat rajattuja operaattoreita, niin siirtofunktio annetaan tilatilaparametrien perusteella siten, että s : n todellinen osa on suurempi kuin A: n tuottaman puoliryhmän eksponentiaalinen kasvuraja . Yleisemmissä tilanteissa tällä kaavalla ei ole edes järkevää, mutta tämän kaavan asianmukainen yleistys pätee edelleen. Helpon lausekkeen saamiseksi siirtofunktiolle on usein parempi ottaa Laplace-muunnos annettuun differentiaaliyhtälöön kuin käyttää tilatilakaavoja, kuten alla kuvataan yllä annetuissa esimerkeissä. ${\ displaystyle D + C (sI-A) ^ {- 1} B}$

Siirtofunktio osittaisen differentiaaliyhtälön esimerkille

Alkuehdon asettaminen nollaksi ja Laplace-muunnosten merkitseminen t : n suhteen isoilla kirjaimilla saadaan edellä annetusta osittaisdifferenssiyhtälöstä ${\ displaystyle w_ {0}}$

${\ displaystyle sW (s, \ xi) = - {\ frac {d} {d \ xi}} W (s, \ xi) + U (t),}$

${\ displaystyle W (s, 0) = 0,}$

${\ displaystyle Y (s) = \ int _ {0} ^ {1} W (s, \ xi) \, d \ xi.}$

Tämä on epähomogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö muuttujana, s parametrina ja alkutilanne nolla. Ratkaisu on . Korvaamalla tämä Y : n yhtälöön ja integroimalla saadaan niin, että siirtofunktio on . ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle W (s, \ xi) = U (s) (1-e ^ {- s \ xi}) / s}$${\ displaystyle Y (s) = U (s) (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$${\ displaystyle (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$

Siirtofunktio viive-differentiaaliyhtälön esimerkille

Toistamalla samalla tavalla kuin osittaisen differentiaaliyhtälöesimerkin tapauksessa, viiveyhtälöesimerkin siirtofunktio on . ${\ displaystyle 1 / (s-1-e ^ {- s})}$

Hallittavuus

Äärettömissä tapauksissa on useita ei-ekvivalentteja määritelmiä hallittavuudesta, jotka rajallisen ulottuvuuden tapauksessa romahtavat yhteen tavalliseen käsitteeseen hallittavuudesta. Kolme tärkeintä hallittavuuden käsitettä ovat:

• Tarkka hallittavuus,
• Arvioitu hallittavuus,
• Tyhjä hallittavuus.

Ohjattavuus diskreettiajassa

Tärkeä rooli on kartoilla, jotka kartoittavat joukon kaikista U- arvoisista sekvensseistä X: ksi ja jotka on annettu . Tulkinta on tila, joka saavutetaan soveltamalla tulosekvenssiä u, kun alkuehto on nolla. Järjestelmää kutsutaan ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} u = \ summa _ {k = 0} ^ {n} A ^ {k} Bu_ {k}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} u}$

• tarkasti hallittavissa ajassa n, jos alue on yhtä suuri kuin X , ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$
• suunnilleen hallittavissa ajassa n, jos alue on tiheä X: ssä , ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$
• nolla hallittavissa ajassa n, jos alue sisältää alueen A ⁿ . ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$

Hallittavuus jatkuvana aikana

Jatkuvien aikajärjestelmien hallittavuudessa kartalla, jonka antaa, on rooli, joka pelaa diskreettiajassa. Ohjaustoimintojen tila, johon tämä operaattori vaikuttaa, vaikuttaa nyt määritelmään. Tavallinen valinta on L ² (0, ∞; U ), U- arvoisten integroituvien neliöfunktioiden tila (0, ∞), mutta muut vaihtoehdot, kuten L ¹ (0, ∞; U) ) ovat mahdollisia. Eri hallittavuuden käsitteet voidaan määritellä, kun verkkotunnus on valittu. Järjestelmää kutsutaan ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} {\ rm {e}} ^ {As} Bu (s) \, ds}$${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$

• tarkasti hallittavissa ajassa t, jos alue on yhtä suuri kuin X , ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$
• suunnilleen hallittavissa ajassa t, jos alue on tiheä X: ssä , ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$
• nolla hallittavissa ajassa t, jos alue sisältää alueen . ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {At}}$

Havaittavuus

Kuten rajallisessa ulottuvuudessa, havaittavuus on kaksoiskäsite hallittavuudesta. Äärettömissä tapauksissa on useita erilaisia ​​havaittavuuden käsitteitä, jotka rajallisessa ulottuvuudessa tapaavat. Kolme tärkeintä ovat:

• Tarkka havaittavuus (tunnetaan myös nimellä jatkuva havaittavuus),
• Likimääräinen havaittavuus,
• Lopullisen tilan havaittavuus.

Havaittavuus diskreettiajassa

Tärkeä rooli on kartoilla, jotka kartoittavat X kaikkien Y- arvoisten sekvenssien avaruuteen ja jotka annetaan, jos k  ≤  n ja nolla, jos k  >  n . Tulkinta on typistetty lähtö lähtöehdolla x ja ohjausnolla. Järjestelmää kutsutaan ${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$${\ displaystyle (\ Psi _ {n} x) _ {k} = CA ^ {k} x}$${\ displaystyle \ Psi _ {n} x}$

• juuri havaittavissa aika n , jos on olemassa k _n  > 0 siten, että kaikilla x  ∈  X , ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {n} x \ | \ geq k_ {n} \ | x \ |}$
• suunnilleen havaittavissa ajassa n, jos se on injektio , ${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$
• lopputila havaittavissa ajassa n, jos k _n  > 0 on sellainen, että kaikille x  ∈  X: lle . ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {n} x \ | \ geq k_ {n} \ | A ^ {n} x \ |}$

Havaittavuus jatkuvana aikana

Vuonna havaittavuuden jatkuva-aikaisen järjestelmät kartan antama varten s∈ [0, t] ja nolla s> t roolissa, joka pelaa diskreettiaikaisia. Toimintojen tila, johon tämä operaattori kartoittaa, vaikuttaa nyt määritelmään. Tavallinen valinta on L ² (0, ∞,  Y ), Y- arvoisten integroituvien neliöfunktioiden tila (0, ∞) , mutta muut vaihtoehdot, kuten L ¹ (0, ∞,  Y) ) ovat mahdollisia. Eri havainnoitavuuskäsitteet voidaan määritellä, kun yhteisdomeeni on valittu. Järjestelmää kutsutaan ${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$${\ displaystyle (\ Psi _ {t}) (s) = C {\ rm {e}} ^ {As} x}$${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$

• tarkasti havaittavissa ajassa t, jos k _t  > 0 on sellainen, että kaikille x  ∈  X , ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {t} x \ | \ geq k_ {t} \ | x \ |}$
• suunnilleen havaittavissa ajassa t, jos se on injektio , ${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$
• lopputila havaittavissa ajassa t, jos k _t  > 0 on sellainen, että kaikille x  ∈  X: lle . ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {t} x \ | \ geq k_ {t} \ | {\ rm {e}} ^ {At} x \ |}$

Hallittavuuden ja havaittavuuden kaksinaisuus

Kuten äärellisen ulotteinen tapaus, ohjattavuuden ja tarkkailtavuus ovat kaksi käsitteitä (ainakin silloin, kun varten domeenin ja toinen domeeni tavallista L ² valinta on tehty). Eri käsitteiden kaksinaisuuden vastaavuus on: ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Psi}$

• Tarkka hallittavuus ↔ Tarkka havaittavuus,
• Arvioitu hallittavuus ↔ Arvioitu havaittavuus,
• Tyhjä hallittavuus ↔ Lopullisen tilan havaittavuus.

Katso myös

• Ohjausteoria
• Tilatila (ohjaimet)

Huomautuksia

Viitteet

• Verho, Ruth ; Zwart, Hans (1995), Johdatus äärettömän ulottuvuuden lineaaristen järjestelmien teoriaan , Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Tarkkailu ja hallinta operaattoreiden puoliryhmille , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Hyvin asennetut lineaariset järjestelmät , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Äärettömien ulotteisten järjestelmien vakaus ja vakauttaminen sovelluksilla , Springer
• Lasiecka, Irena ; Triggiani, Roberto (2000), osittaisten differentiaaliyhtälöiden kontrolliteoria , Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Äärettömien ulottuvuuksien esitys ja hallinta (toinen painos), Birkhauser