Analiza complexa -Complex analysis

Analiză matematică → Analiză complexă
Analiză complexă
Numere complexe
Numar real Număr imaginar Plan complex Conjugare complexa Număr complex unitar
Funcții complexe
Funcție cu valori complexe Funcția analitică Funcția holomorfă Ecuații Cauchy–Riemann Seria de putere formală
Teoria de bază
Zerouri și poli Teorema integrală a lui Cauchy Local primitiv Formula integrală a lui Cauchy Număr de înfășurare Seria Laurent Singularitate izolata Teorema reziduurilor Hartă conformă Lema Schwarz Funcția armonică ecuația lui Laplace
Teoria funcției geometrice
oameni
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Portal de matematică
v t e

Analiza complexă , cunoscută în mod tradițional sub numele de teoria funcțiilor unei variabile complexe , este ramura analizei matematice care investighează funcțiile numerelor complexe . Este util în multe ramuri ale matematicii, inclusiv geometria algebrică , teoria numerelor , combinatoria analitică , matematica aplicată ; precum și în fizică , inclusiv ramurile hidrodinamicii , termodinamicii și în special mecanicii cuantice . Prin extensie, utilizarea analizei complexe are aplicații și în domenii ale ingineriei, cum ar fi inginerie nucleară , aerospațială , mecanică și electrică .

Deoarece o funcție diferențiabilă a unei variabile complexe este egală cu seria sa Taylor (adică este analitică ), analiza complexă se preocupă în special de funcțiile analitice ale unei variabile complexe (adică funcțiile holomorfe ).

Istorie

Augustin-Louis Cauchy , unul dintre fondatorii analizei complexe

Analiza complexă este una dintre ramurile clasice ale matematicii, cu rădăcini în secolul al XVIII-lea și chiar înainte. Matematicieni importanți asociați cu numerele complexe includ Euler , Gauss , Riemann , Cauchy , Gösta Mittag-Leffler , Weierstrass și mulți alții în secolul al XX-lea. Analiza complexă, în special teoria mapărilor conformale , are multe aplicații fizice și este, de asemenea, utilizată în teoria numerelor analitice . În vremurile moderne, a devenit foarte popular printr-un nou impuls din dinamica complexă și imaginile fractalilor produse prin iterarea funcțiilor holomorfe . O altă aplicație importantă a analizei complexe este în teoria corzilor care examinează invarianții conformali în teoria câmpului cuantic .

Funcții complexe

O funcție exponențială A ⁿ a unei variabile discrete ( întregi ) n , similară cu progresia geometrică

O funcție complexă este o funcție de la numere complexe la numere complexe. Cu alte cuvinte, este o funcție care are un subset de numere complexe ca domeniu și numerele complexe ca codomeniu . În general, se presupune că funcțiile complexe au un domeniu care conține un subset deschis nevid al planului complex .

Pentru orice funcție complexă, valorile din domeniu și imaginile lor din interval pot fi separate în părți reale și imaginare :${\displaystyle z}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ și }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

unde sunt toate cu valoare reală. ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$

Cu alte cuvinte, o funcție complexă poate fi descompusă în ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\la \mathbb {R} \quad }$și${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\la \mathbb {R} ,}$

adică în două funcții cu valori reale ( , ) a două variabile reale ( , ). ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

În mod similar, orice funcție cu valori complexe f dintr-o mulțime arbitrară X (este izomorfă cu și, prin urmare, în acest sens, aceasta) poate fi considerată o pereche ordonată de două funcții cu valori reale : (Re f , Im f ) sau, alternativ, ca o funcție cu valoare vectorială de la X în${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Unele proprietăți ale funcțiilor cu valori complexe (cum ar fi continuitatea ) nu sunt altceva decât proprietățile corespunzătoare ale funcțiilor cu valori vectoriale a două variabile reale. Alte concepte de analiză complexă, cum ar fi diferențiabilitatea , sunt generalizări directe ale conceptelor similare pentru funcții reale, dar pot avea proprietăți foarte diferite. În special, fiecare funcție complexă diferențiabilă este analitică (vezi secțiunea următoare), iar două funcții diferențiabile care sunt egale într-o vecinătate a unui punct sunt egale la intersecția domeniului lor (dacă domeniile sunt conectate ). Această din urmă proprietate stă la baza principiului continuării analitice care permite extinderea fiecărei funcții analitice reale într-un mod unic pentru a obține o funcție analitică complexă al cărei domeniu este întregul plan complex cu un număr finit de arce de curbă eliminate. Multe funcții complexe de bază și speciale sunt definite în acest fel, inclusiv funcția exponențială complexă , funcțiile logaritmice complexe și funcțiile trigonometrice .

Funcții holomorfe

Funcțiile complexe care sunt diferențiabile în fiecare punct al unei submulțimi deschise a planului complex se spune că sunt holomorfe pe . În contextul analizei complexe, derivata lui at este definită a fi ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}} .}$

La suprafață, această definiție este formal analogă cu cea a derivatei unei funcții reale. Cu toate acestea, derivatele complexe și funcțiile diferențiabile se comportă în moduri semnificativ diferite în comparație cu omologii lor reali. În special, pentru ca această limită să existe, valoarea coeficientului de diferență trebuie să se apropie de același număr complex, indiferent de modul în care ne apropiem în plan complex. În consecință, diferențiabilitatea complexă are implicații mult mai puternice decât diferențiabilitatea reală. De exemplu, funcțiile holomorfe sunt diferențiabile la infinit , în timp ce existența derivatei a n -a nu trebuie să implice existența derivatei ( n + 1) pentru funcțiile reale. În plus, toate funcțiile holomorfe satisfac condiția mai puternică a analiticității , ceea ce înseamnă că funcția este, în fiecare punct din domeniul său, dată local de o serie de puteri convergentă. În esență, aceasta înseamnă că funcțiile holomorfe pe pot fi aproximate în mod arbitrar bine prin polinoame dintr-o anumită vecinătate a fiecărui punct din . Acest lucru este în contrast puternic cu funcțiile reale diferențiabile; există funcții reale infinit diferențiabile care nu sunt nicăieri analitice; vezi Funcție netedă non-analitică § O funcție netedă care nu este nicăieri analitică reală . ${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Majoritatea funcțiilor elementare, inclusiv funcția exponențială , funcțiile trigonometrice și toate funcțiile polinomiale , extinse în mod corespunzător la argumente complexe ca funcții , sunt holomorfe pe întregul plan complex, făcându-le funcții întregi , în timp ce funcțiile raționale , unde p și q sunt polinoame, sunt holomorfe pe domenii care exclud punctele în care q este zero. Asemenea funcții care sunt holomorfe peste tot, cu excepția unui set de puncte izolate, sunt cunoscute ca funcții meromorfe . Pe de altă parte, funcțiile , , și nu sunt holomorfe oriunde pe planul complex, așa cum se poate demonstra prin eșecul lor de a îndeplini condițiile Cauchy-Riemann (vezi mai jos). ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$ ${\displaystyle z\mapsto |z|}$${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$

O proprietate importantă a funcțiilor holomorfe este relația dintre derivatele parțiale ale componentelor lor reale și imaginare, cunoscute sub numele de condiții Cauchy-Riemann . Dacă , definit de , unde , este holomorf pe o regiune , atunci pentru toate , ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{unde }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial } {\partial y}}\right).}$

În ceea ce privește părțile reale și imaginare ale funcției, u și v , aceasta este echivalentă cu perechea de ecuații și , unde indicele indică diferențierea parțială. Cu toate acestea, condițiile Cauchy–Riemann nu caracterizează funcțiile holomorfe, fără condiții suplimentare de continuitate (vezi teorema Looman–Menchoff ). ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Funcțiile holomorfe prezintă unele caracteristici remarcabile. De exemplu, teorema lui Picard afirmă că domeniul unei întregi funcții poate lua doar trei forme posibile: , , sau pentru unele . Cu alte cuvinte, dacă două numere complexe distincte și nu sunt în intervalul unei întregi funcții , atunci este o funcție constantă. Mai mult, o funcție holomorfă pe o mulțime deschisă conectată este determinată de restricția sa la orice submulțime deschisă nevidă. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$${\displaystyle \{z_{0}\}}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Hartă conformă

Această secțiune este un extras din Harta conformă . [ editează ]

O grilă dreptunghiulară (sus) și imaginea acesteia sub o hartă conformă (jos). Se vede că mapează perechi de linii care se intersectează la 90° la perechi de curbe care se intersectează încă la 90°.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

În matematică , o hartă conformă este o funcție care păstrează local unghiurile , dar nu neapărat lungimile.

Mai formal, lăsați și fie subseturile deschise ale . O funcție se numește conformă (sau conservatoare de unghi) într-un punct dacă păstrează unghiurile dintre curbele direcționate prin , precum și păstrează orientarea. Hărțile conforme păstrează atât unghiurile, cât și formele figurilor infinitezimal de mici, dar nu neapărat dimensiunea sau curbura acestora . ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\la V}$${\displaystyle u_{0}\în U}$${\displaystyle u_{0}}$

Proprietatea conformală poate fi descrisă în termenii matricei derivate jacobiene a unei transformări de coordonate . Transformarea este conformă ori de câte ori Jacobianul în fiecare punct este un scalar pozitiv ori o matrice de rotație ( ortogonală cu determinantul unul). Unii autori definesc conformalitatea ca să includă mapări de inversare a orientării ale căror jacobieni pot fi scrise ca orice scalar ori orice matrice ortogonală.

Pentru mapările în două dimensiuni, mapările conforme (conservarea orientării) sunt tocmai funcțiile analitice complexe inversabile local . În trei dimensiuni și mai mari, teorema lui Liouville limitează brusc mapările conforme la câteva tipuri.

Noțiunea de conformalitate se generalizează în mod natural la hărți între varietăți riemanniene sau semi-riemanniene .

Rezultate majore

Graficul roții de culori a funcției f ( x ) = ( x ² − 1)( x − 2 − i ) ²/x ² + 2 + 2 i.
Nuanța reprezintă argumentul , luminozitatea magnitudinea .

Unul dintre instrumentele centrale în analiza complexă este integrala de linie . Integrala de linie în jurul unei căi închise a unei funcții care este holomorfă peste tot în interiorul ariei delimitate de calea închisă este întotdeauna zero, așa cum este afirmat de teorema integrală a lui Cauchy . Valorile unei astfel de funcții holomorfe în interiorul unui disc pot fi calculate printr-o integrală de cale pe granița discului (după cum se arată în formula integrală a lui Cauchy ). Integrale de cale în plan complex sunt adesea folosite pentru a determina integralele reale complicate, iar aici este aplicabilă teoria reziduurilor, printre altele (vezi metodele de integrare a conturului ). Un „pol” (sau singularitate izolată ) al unei funcții este un punct în care valoarea funcției devine nemărginită sau „explodează”. Dacă o funcție are un astfel de pol, atunci se poate calcula reziduul funcției acolo, care poate fi folosit pentru a calcula integralele de cale care implică funcția; acesta este conținutul teoremei puternice a reziduurilor . Comportamentul remarcabil al funcțiilor holomorfe în apropierea singularităților esențiale este descris de teorema lui Picard . Funcțiile care au doar poli, dar nu au singularități esențiale se numesc meromorfe . Seriile Laurent sunt echivalentul cu valori complexe cu seria Taylor , dar pot fi folosite pentru a studia comportamentul funcțiilor în apropierea singularităților prin sume infinite de funcții mai bine înțelese, cum ar fi polinoamele.

O funcție mărginită care este holomorfă în întregul plan complex trebuie să fie constantă; aceasta este teorema lui Liouville . Poate fi folosit pentru a oferi o demonstrație naturală și scurtă pentru teorema fundamentală a algebrei care afirmă că câmpul numerelor complexe este închis algebric .

Dacă o funcție este holomorfă într-un domeniu conectat , atunci valorile sale sunt complet determinate de valorile sale pe orice subdomeniu mai mic. Se spune că funcția pe domeniul mai mare este continuată analitic din valorile sale pe domeniul mai mic. Acest lucru permite extinderea definiției funcțiilor, cum ar fi funcția zeta Riemann , care sunt definite inițial în termeni de sume infinite care converg doar pe domenii limitate către aproape întregul plan complex. Uneori, ca și în cazul logaritmului natural , este imposibil să se continue analitic o funcție holomorfă la un domeniu neconexat în plan complex, dar este posibil să o extindă la o funcție holomorfă pe o suprafață strâns legată cunoscută sub numele de Suprafata Riemann .

Toate acestea se referă la o analiză complexă într-o singură variabilă. Există, de asemenea, o teorie foarte bogată a analizei complexe în mai mult de o dimensiune complexă în care proprietățile analitice, cum ar fi expansiunea seriei de putere, sunt reportate, în timp ce majoritatea proprietăților geometrice ale funcțiilor holomorfe într-o dimensiune complexă (cum ar fi conformalitatea ) nu sunt reportate. . Teorema de cartografiere Riemann despre relația conformă a anumitor domenii în plan complex, care poate fi cel mai important rezultat în teoria unidimensională, eșuează dramatic în dimensiuni mai mari.

O aplicație majoră a anumitor spații complexe este în mecanica cuantică ca funcții de undă .

Vezi si

• Geometrie complexă
• Analiza hipercomplexului
• Calcul vectorial
• Lista subiectelor de analiză complexe
• Teorema monodromiei
• Analiză reală
• Teorema Riemann-Roch
• Teorema lui Runge

Referințe

Surse

• Ablowitz, MJ & AS Fokas , Variabile complexe: introducere și aplicații (Cambridge, 2003).
• Ahlfors, L. , Analiza complexă (McGraw-Hill, 1953).
• Cartan, H. , Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. (Hermann, 1961). Traducere în engleză, Teoria elementară a funcțiilor analitice ale uneia sau mai multor variabile complexe. (Addison-Wesley, 1963).
• Carathéodory, C. , Funktionentheorie. (Birkhäuser, 1950). Traducere în engleză, Teoria funcțiilor unei variabile complexe (Chelsea, 1954). [2 volume.]
• Carrier, GF , M. Krook și CE Pearson, Funcțiile unei variabile complexe: teorie și tehnică. (McGraw-Hill, 1966).
• Conway, JB , Funcțiile unei variabile complexe. (Springer, 1973).
• Fisher, S., Variabile complexe. (Wadsworth & Brooks/Cole, 1990).
• Forsyth, A. , Teoria funcțiilor unei variabile complexe (Cambridge, 1893).
• Freitag, E. & R. Busam, Funktionentheorie . (Springer, 1995). Traducere în engleză, Analiză complexă . (Springer, 2005).
• Goursat, E. , Cours d'analyse mathématique, tome 2 . (Gauthier-Villars, 1905). Traducere în engleză, Un curs de analiză matematică, voi. 2, partea 1: Funcțiile unei variabile complexe . (Ginn, 1916).
• Henrici, P. , Analiza complexă aplicată și computațională (Wiley). [Trei volume: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E. , Advanced Engineering Mathematics. (Wiley, 1962).
• Lavrentyev, M. & B. Shabat, Методы теории функций комплексного переменного. ( Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe ). (1951, în rusă).
• Markushevich, AI , Teoria funcțiilor unei variabile complexe , (Prentice-Hall, 1965). [Trei volume.]
• Marsden & Hoffman, Analiza complexă de bază. (Freeman, 1973).
• Needham, T. , Analiza complexă vizuală. (Oxford, 1997). http://usf.usfca.edu/vca/
• Remmert, R. , Teoria funcțiilor complexe . (Springer, 1990).
• Rudin, W. , Analiza reală și complexă. (McGraw-Hill, 1966).
• Shaw, WT, Analiza complexă cu Mathematica (Cambridge, 2006).
• Stein, E. & R. Shakarchi, Analiza complexă. (Princeton, 2003).
• Sveshnikov, AG & AN Tikhonov , Теория функций комплексной переменной. (Nauka, 1967). Traducere în engleză, Teoria funcțiilor unei variabile complexe (MIR, 1978).
• Titchmarsh, EC , Teoria funcțiilor. (Oxford, 1932).
• Wegert, E., Funcții complexe vizuale . (Birkhäuser, 2012).
• Whittaker, ET & GN Watson , Un curs de analiză modernă . (Cambridge, 1902). a 3-a ed. (1920)

linkuri externe

• Pagina de analiză complexă MathWorld a Wolfram Research