Tip (teoria modelului) - Type (model theory)

În teoria modelelor și în domeniile conexe ale matematicii , un tip este un obiect care, fără a vorbi, descrie cum s-ar putea comporta un element (real sau posibil) dintr-o structură matematică . Mai precis, este un set de prim ordin formule într - un limbaj L cu variabile libere x ₁ , x ₂ , ..., x _n care sunt adevărate unei secvențe de elemente de L -Structura . În funcție de context, tipurile pot fi complete sau parțiale și pot utiliza un set fix de constante, A , din structură . Întrebarea care tipuri reprezintă elemente reale ale conducerii la ideile modelelor saturate și omiterea tipurilor . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Definiție formală

Luați în considerare o structură pentru o limbă L . Să M să fie universul structurii. Pentru fiecare A  ⊆  M , lasa L ( A ) să fie limba obținută din L prin adăugarea unei constante c _o pentru fiecare a  ∈  A . Cu alte cuvinte, ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

${\ displaystyle L (A) = L \ cup \ {c_ {a}: a \ in A \}.}$

Un tip de (1 ) peste ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ A este un set p ( x ) de formule în L ( A ) cu cel mult o variabilă liberă x (deci de tip 1) astfel încât pentru fiecare subset sub fin p ₀ ( x ) ⊆  p ( x ) există unele b  ∈  M , în funcție de p ₀ ( x ), cu (adică toate formulele din p ₀ ( x ) sunt adevărate atunci când x este înlocuit cu b ). ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele p_ {0} (b)}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

În mod similar, un tip n (de ) peste ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ A este definit ca fiind un set p ( x ₁ , ..., x _n ) =  p ( x ) de formule în L ( A ), fiecare având variabilele sale libere apărând doar printre n variabile libere x ₁ ,…, x _n , astfel încât pentru fiecare subset sub fin p ₀ ( x ) ⊆  p ( x ) există unele elemente b ₁ ,…, b _n  ∈  M cu . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele p_ {0} (b_ {1}, \ ldots, b_ {n})}$

Tip complet se referă la acele tipuri care sunt maximale în ceea ce privește includerea, și anume în cazul p ( x ) este un tip complet, atunci pentru fiecare , fie sau . Orice tip necomplet se numește tip parțial . Deci, tipul de cuvânt în general se referă la orice tip n , parțial sau complet, peste orice set de parametri ales (eventual setul gol). ${\ displaystyle \ phi ({\ boldsymbol {x}}) \ in L (A, {\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle \ phi ({\ boldsymbol {x}}) \ in p ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle \ lnot \ phi ({\ boldsymbol {x}}) \ in p ({\ boldsymbol {x}})}$

Un n tip p ( x ) este declarat a firealizat în${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ cazul în care există un element b  ∈  M ⁿ astfel încât . Existența unei astfel de realizări este garantată pentru orice tip prin teorema de compactitate , deși realizarea ar putea avea loc într-o extensie elementară a , mai degrabă decât în sine. Dacă un tip complet este realizat de b in , atunci tipul este tipic notat și denumit tipul completă b peste A . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ models p ({\ boldsymbol {b}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle tp_ {n} ^ {\ mathcal {M}} ({\ boldsymbol {b}} / A)}$

Se spune că un tip p ( x ) este izolat de${\ displaystyle \ varphi}$ , pentru , dacă . Deoarece subseturile finite ale unui tip sunt întotdeauna realizate , există întotdeauna un element b  ∈  M ⁿ astfel încât φ ( b ) este adevărat în ; adică , astfel, b realizează întregul tip izolat. Astfel, tipurile izolate vor fi realizate în fiecare substructură sau extensie elementară. Din această cauză, tipurile izolate nu pot fi omise niciodată (vezi mai jos). ${\ displaystyle \ varphi \ in p (x)}$${\ displaystyle \ forall \ psi ({\ boldsymbol {x}}) \ in p ({\ boldsymbol {x}}), \ varphi ({\ boldsymbol {x}}) \ rightarrow \ psi ({\ boldsymbol {x }})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele \ varphi ({\ boldsymbol {b}})}$

Un model care realizează cea mai mare varietate posibilă de tipuri se numește model saturat , iar construcția ultrapower oferă un mod de a produce modele saturate.

Exemple de tipuri

Luați în considerare limba cu un conectiv binar, pe care îl denotăm ca fiind . Să fie structura acestui limbaj, care este ordinalul cu standardul său bine ordonat. Să denotăm teoria . ${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle \ langle \ omega, \ in _ {\ omega} \ rangle}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Luați în considerare setul de formule . În primul rând, susținem că este un tip. Să fie un subset finit de . Trebuie să găsim o metodă care să satisfacă toate formulele din . Ei bine, putem lua doar succesorul celui mai mare ordinal menționat în setul de formule . Atunci aceasta va conține clar toate ordinele menționate în . Astfel, avem un tip. În continuare, rețineți că nu este realizat . Căci, dacă ar fi, ar exista unele care conțin fiecare element din . Dacă am dori să realizăm tipul, am putea fi tentați să luăm în considerare modelul , care este într-adevăr un supermodel care realizează tipul. Din păcate, această extensie nu este elementară, adică acest model nu trebuie să satisfacă . În special, sentința este satisfăcută de acest model și nu de . ${\ displaystyle p (x): = \ {n \ in _ {\ omega} x \ mid n \ in \ omega \}}$${\ displaystyle p_ {0} (x) \ subseteq p (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle b \ in \ omega}$${\ displaystyle p_ {0}}$${\ displaystyle p_ {0} (x)}$${\ displaystyle p_ {0} (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle n \ in \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ langle \ omega +1, \ in _ {\ omega +1} \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle \ există x \ forall y (y \ in x \ lor y = x)}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Deci, dorim să realizăm tipul într-o extensie elementară. Putem face acest lucru definind o nouă structură în acest limbaj, pe care o vom denota . Domeniul structurii va fi unde se află setul de numere întregi împodobite în așa fel încât . Să denotăm ordinea obișnuită a . Interpretăm simbolul în noua noastră structură prin . Ideea este că adăugăm un „lanț Z” sau o copie a numerelor întregi, mai presus de toate ordinele finite. În mod clar, orice element al realizării este tipul . Mai mult, se poate verifica dacă această extensie este elementară. ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} '}$${\ displaystyle \ omega \ cup \ mathbb {Z} '}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} '}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} '\ cap \ omega = \ blankyset}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} '}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle \ in _ {{\ mathcal {M}} '} = \ in _ {\ omega} \ cup <\ cup \, (\ omega \ times \ mathbb {Z}')}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} '}$${\ displaystyle p (x)}$

Un alt exemplu: tipul complet al numărului 2 peste gol, considerat ca membru al numerelor naturale, ar fi setul tuturor instrucțiunilor de primă ordine care descriu o variabilă x care sunt adevărate pentru x  = 2. Acest set ar include formule cum ar fi , și . Acesta este un exemplu de tip izolat, deoarece formula implică toate celelalte formule care sunt adevărate despre numărul 2. ${\ displaystyle \, \! x \ neq 1 + 1 + 1}$${\ displaystyle x \ leq 1 + 1 + 1 + 1 + 1}$${\ displaystyle \ există y (y <x)}$${\ displaystyle x = 1 + 1}$

De exemplu, afirmațiile

${\ displaystyle \ forall y (y ^ {2} <2 \ implică y <x)}$

și

${\ displaystyle \ forall y ((y> 0 \ land y ^ {2}> 2) \ implică y> x)}$

descrierea rădăcinii pătrate a 2 sunt în concordanță cu axiomele câmpurilor ordonate și pot fi extinse la un tip complet. Acest tip nu se realizează în câmpul ordonat al numerelor raționale, ci se realizează în câmpul ordonat al realurilor. În mod similar, setul infinit de formule (peste gol) {x> 1, x> 1 + 1, x> 1 + 1 + 1, ...} nu se realizează în câmpul ordonat al numerelor reale, ci este realizat în câmpul ordonat al hiperrealelor . Dacă permitem mai mulți parametri, de exemplu, toate realurile, putem specifica un tip care este realizat de un hiperreal infinitesimal care încalcă proprietatea Archimedean . ${\ displaystyle \ {0 <x <r: r \ in \ mathbb {R} \}}$

Motivul pentru care este util să restricționați parametrii la un anumit subset al modelului este faptul că ajută la distingerea tipurilor care pot fi satisfăcute de cele care nu pot fi. De exemplu, folosind întregul set de numere reale ca parametri, s-ar putea genera un set infinit de formule , cum ar fi , ... care ar exclude explicit orice valoare reală posibilă pentru x și, prin urmare, nu ar putea fi realizată niciodată în cadrul numerelor reale. ${\ displaystyle x \ neq 1}$${\ displaystyle x \ neq \ pi}$

Spații de piatră

Este util să considerăm setul de tipuri n complete de pe A ca spațiu topologic . Luați în considerare următoarea relație de echivalență pe formule din variabilele libere x ₁ ,…, x _n cu parametrii în M :

${\ displaystyle \ psi \ equiv \ phi \ Leftrightarrow {\ mathcal {M}} \ modele \ forall x_ {1}, \ ldots, x_ {n} (\ psi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) \ leftrightarrow \ phi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})).}$

Se poate arăta că dacă sunt conținute în aceleași tipuri complete. ${\ displaystyle \ psi \ equiv \ phi}$

Ansamblul de formule din variabilele libere x ₁ ,…, x _n peste A până la această relație de echivalență este o algebră booleană (și este canonic izomorf la setul de subseturi definite A de M ⁿ ). N- tipurile complete corespund ultrafiltrelor acestei algebre booleene. Setul de tipuri n complete poate fi făcut într-un spațiu topologic, luând seturile de tipuri care conțin o formulă dată ca seturi deschise de bază. Acest lucru construiește spațiul Piatră , care este compact , Hausdorff și este complet deconectat .

Exemplu . Teoria completă a câmpurilor închise algebric ale caracteristicii 0 are eliminarea cuantificatorului , ceea ce permite să se arate că posibilele tipuri complete 1 corespund:

• Rădăcinile unui polinom ireductibil nerecomandabil dat peste raționalele cu coeficient de conducere 1. De exemplu, tipul rădăcinilor pătrate de 2. Fiecare dintre aceste tipuri este un punct deschis al spațiului Piatră.
• Elemente transcendentale, care nu sunt rădăcini ale niciunui polinom non-zero. Acest tip este un punct din spațiul Piatră care este închis, dar nu este deschis.

Cu alte cuvinte, tipurile 1 corespund exact idealurilor prime ale inelului polinomial Q [ x ] față de raționalele Q : dacă r este un element al modelului de tip p , atunci idealul corespunzător p este ansamblul polinoamelor. cu r ca rădăcină. Mai general, tipurile n complete completează cu idealurile prime ale inelului polinomial Q [ x ₁ , ..., x _n ], cu alte cuvinte punctelor spectrului prim al acestui inel. (Topologia spațială de piatră poate fi, de fapt, privită ca topologia Zariski a unui inel boolean indus în mod natural din structura de zăbrele a algebrei boolene; în timp ce topologia Zariski nu este în general Hausdorff, ci este în cazul inelelor booleane. .) De exemplu, dacă q ( x , y ) este un polinom ireductibil în 2 variabile, există un tip 2 ale cărui realizări sunt (informal) perechi ( x , y ) de elemente transcendentale cu q ( x , y ) = 0 .

Teorema tipurilor care omit

Având în vedere un sistem complet n tip p se poate întreba dacă există un model al teoriei că omite p , cu alte cuvinte , nu există nici n -tuple în modelul care realizează p . Dacă p este un punct izolat în spațiul Stone, adică dacă { p } este un set deschis, este ușor de observat că fiecare model realizează p (cel puțin dacă teoria este completă). Cele tipuri de omitand teorema spune că , invers , dacă p nu este izolat , atunci există un model de omițând numărabil p ( cu condiția ca limba este numărabil).

Exemplu : În teoria câmpurilor închise algebric cu caracteristica 0, există un tip 1 reprezentat de elemente care sunt transcendentale peste câmpul prim. Acesta este un punct neizolat al spațiului Piatră (de fapt, singurul punct neizolat). Câmpul numerelor algebrice este un model care omite acest tip, iar închiderea algebrică a oricărei extensii transcendentale a raționalelor este un model care realizează acest tip.

Toate celelalte tipuri sunt „numere algebrice” (mai precis, sunt seturile de enunțuri de prim ordin satisfăcute de un număr algebric dat) și toate aceste tipuri sunt realizate în toate câmpurile algebraic închise ale caracteristicii 0.

Referințe

• Hodges, Wilfrid (1997). O teorie a modelului mai scurtă . Presa universitară din Cambridge . ISBN  0-521-58713-1 .
• Chang, CC; Keisler, H. Jerome (1989). Teoria modelului (ediția a treia). Elsevier . ISBN  0-7204-0692-7 .
• Marker, David (2002). Teoria modelului: o introducere . Texte absolvite în matematică 217. Springer. ISBN  0-387-98760-6 .