Eveniment complementar - Complementary event

Parte dintr-o serie de statistici
Teoria probabilității
Probabilitate Axiome Determinismul Sistem Indeterminism Aleatoriu
Spațiul probabilității Spațiu de probă Eveniment Evenimente colectiv exhaustive Eveniment elementar Exclusivitate reciprocă Rezultat Singleton Experiment Procesul Bernoulli Distribuția probabilității Distribuție Bernoulli Distribuție binomială Distributie normala Măsura probabilității Variabilă aleatorie Procesul Bernoulli Continuă sau discretă Valorea estimata Lanțul Markov Valoare observată Mers aleatoriu Proces stochastic
Eveniment complementar Probabilitate comună Probabilitate marginală Probabilitate condițională
Independenţă Independența condiționată Legea probabilității totale Legea numărului mare Teorema lui Bayes Inegalitatea lui Boole
diagrama Venn Schema arborelui
v t e

În teoria probabilității , complementul oricărui eveniment A este evenimentul [nu  A ], adică evenimentul în care A nu apare. Evenimentul A și complementul său [nu  A ] se exclud reciproc și sunt exhaustive . În general, există un singur eveniment B astfel încât A și B să se excludă reciproc și să fie exhaustive; că evenimentul este complementul A . Complementul unui eveniment A este de obicei notată A " , A ^C , A sau A . Având în vedere un eveniment, evenimentul și evenimentul său complementar definesc un proces Bernoulli : evenimentul a avut loc sau nu? ${\ displaystyle \ neg}$

De exemplu, dacă o monedă tipică este aruncată și se presupune că nu poate ateriza pe marginea ei, atunci poate ateriza cu „capete” sau „cozi”. Deoarece aceste două rezultate se exclud reciproc (adică moneda nu poate arăta simultan atât capetele, cât și cozile) și colectiv exhaustive (adică nu există alte rezultate posibile care nu sunt reprezentate între aceste două), ele sunt, prin urmare, complementare. Aceasta înseamnă că [capete] este logic echivalent cu [nu cozi], iar [cozi] este echivalent cu [nu capete].

Regula complementului

Într-un experiment aleatoriu , probabilitățile tuturor evenimentelor posibile ( spațiul eșantionului ) trebuie să ajungă la 1 - adică trebuie să apară unele rezultate la fiecare proces. Pentru ca două evenimente să fie complementare, acestea trebuie să fie colectiv exhaustive , umplând împreună întregul spațiu de probă. Prin urmare, probabilitatea complementului unui eveniment trebuie să fie unitatea minus probabilitatea evenimentului. Adică, pentru un eveniment A ,

${\ displaystyle P (A ^ {c}) = 1-P (A).}$

Echivalent, probabilitățile unui eveniment și completarea acesteia trebuie să fie întotdeauna total 1. Aceasta nu, cu toate acestea, înseamnă că oricare două evenimente ale căror probabilități total la 1 sunt reciproc complementare; evenimentele complementare trebuie să îndeplinească și condiția de exclusivitate reciprocă .

Exemplu de utilitate a acestui concept

Să presupunem că aruncăm de opt ori o moară obișnuită cu șase fețe. Care este probabilitatea ca cineva să vadă un „1” cel puțin o dată?

Poate fi tentant să spunem asta

Pr (["1" în primul proces] sau ["1" în al doilea proces] sau ... sau ["1" în al 8-lea proces])

= Pr ("1" la prima încercare) + Pr ("1" la a doua încercare) + ... + P ("1" la a 8-a încercare)

= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6

= 8/6

= 1,3333 ...

Acest rezultat nu poate fi corect deoarece o probabilitate nu poate fi mai mare de 1. Tehnica este greșită deoarece cele opt evenimente ale căror probabilități au fost adăugate nu se exclud reciproc.

Se poate rezolva această suprapunere prin principiul includerii-excluderii sau, în acest caz, prin simpla constatare a probabilității evenimentului complementar și scăderea acestuia din 1, astfel:

Pr (cel puțin un „1”) = 1 - Pr (fără „1” s)

= 1 - Pr ([nu "1" în primul proces] și [nu "1" în al doilea proces] și ... și [nu "1" în al 8-lea proces])

= 1 - Pr (fără „1” la prima încercare) × Pr (fără „1” la a doua încercare) × ... × Pr (fără „1” la a 8-a încercare)

= 1 - (5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

= 1 - (5/6) ⁸

= 0,7674 ...

Vezi si

• Complement logic
• Disjuncție exclusivă
• Probabilitatea binomială

Referințe

linkuri externe

• Evenimente complementare - pagină (gratuită) din cartea de probabilități a McGraw-Hill