Komplementær hendelse - Complementary event

Del av en serie om statistikk
Sannsynlighetsteori
Sannsynlighet Aksiomer Determinisme System Ubestemmelse Tilfeldighet
Sannsynlighetsrom Prøveplass Begivenhet Samlet uttømmende hendelser Elementær begivenhet Gjensidig eksklusivitet Utfall Singleton Eksperiment Bernoulli rettssak Sannsynlighetsfordeling Bernoulli -distribusjon Binomial fordeling Normal distribusjon Sannsynlighetsmål Tilfeldig variabel Bernoulli -prosess Kontinuerlig eller diskret Forventet verdi Markov -kjeden Observert verdi Tilfeldig tur Stokastisk prosess
Komplementær hendelse Felles sannsynlighet Marginal sannsynlighet Betinget sannsynlighet
Uavhengighet Betinget uavhengighet Lov om total sannsynlighet Loven om store tall Bayes 'teorem Booles ulikhet
venn diagram Trediagram
v t e

I sannsynlighetsteorien er komplementet til enhver hendelse A hendelsen [ikke  A ], det vil si hendelsen at A ikke forekommer. Arrangementet A og dets komplement [ikke  A ] er gjensidig utelukkende og uttømmende . Vanligvis er det bare én hendelse B slik at A og B begge utelukker hverandre og er uttømmende; at arrangementet er komplementet til A . Komplementet av en hendelse A er vanligvis betegnet som A ' , A ^C , A eller A . Gitt en hendelse, definerer hendelsen og den komplementære hendelsen en Bernoulli -prøve : skjedde hendelsen eller ikke? ${\ displaystyle \ neg}$

For eksempel, hvis en typisk mynt blir kastet og man antar at den ikke kan lande på kanten, kan den enten lande med "hoder" eller "haler". Fordi disse to utfallene er gjensidig utelukkende (dvs. at mynten ikke samtidig kan vise både hoder og haler) og kollektivt uttømmende (dvs. det er ingen andre mulige utfall som ikke er representert mellom disse to), er de derfor hverandres komplement. Dette betyr at [hoder] er logisk ekvivalent med [ikke haler], og [haler] tilsvarer [ikke hoder].

Komplementregel

I et tilfeldig eksperiment må sannsynligheten for alle mulige hendelser ( utvalgsområdet ) være 1 - det vil si at noen utfall må skje på hver prøve. For at to hendelser skal være komplementære, må de være kollektivt uttømmende og sammen fylle hele prøveområdet. Derfor må sannsynligheten for en hendelses komplement være enhet minus sannsynligheten for hendelsen. Det vil si for et arrangement A ,

${\ displaystyle P (A^{c}) = 1-P (A).}$

Ekvivalent, sannsynligheten for en hendelse og dens komplement må alltid total til 1. Dette betyr imidlertid ikke bety at noen to hendelser hvor sannsynlighetene totalt 1 er hverandres utfyller; komplementære hendelser må også oppfylle betingelsen om gjensidig eksklusivitet .

Eksempel på nytten av dette konseptet

Anta at en kaster en vanlig sekssidig dør åtte ganger. Hva er sannsynligheten for at man ser en "1" minst en gang?

Det kan være fristende å si det

Pr (["1" på første prøve] eller ["1" på andre prøve] eller ... eller ["1" på 8. prøve]

= Pr ("1" på første prøve) + Pr ("1" på andre prøve) + ... + P ("1" på 8. prøve)

= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6

= 8/6

= 1,3333 ...

Dette resultatet kan ikke være riktig fordi en sannsynlighet ikke kan være mer enn 1. Teknikken er feil fordi de åtte hendelsene hvis sannsynlighet ble lagt til ikke utelukker hverandre.

Man kan løse denne overlappingen med prinsippet om inkludering-ekskludering , eller, i dette tilfellet, ved ganske enkelt å finne sannsynligheten for den komplementære hendelsen og trekke den fra 1, således:

Pr (minst en "1") = 1 - Pr (ingen "1" s)

= 1 - Pr ([nei "1" på første prøve] og [nei "1" på andre prøve] og ... og [ingen "1" på 8. prøve]

= 1 - Pr (ingen "1" på 1. prøve) × Pr (ingen "1" på andre prøve) × ... × Pr (ingen "1" på 8. prøve)

= 1 - (5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

= 1 - (5/6) ⁸

= 0,7674 ...

Se også

• Logisk komplement
• Eksklusiv disjunksjon
• Binomial sannsynlighet

Referanser

Eksterne linker

• Komplementære hendelser - (gratis) side fra sannsynlighetsboken til McGraw -Hill