Axonometrie - Axonometry

Proiecție cavală a unei arcade semicirculare.

Axonometria este o procedură grafică aparținând geometriei descriptive care generează o imagine plană a unui obiect tridimensional. Termenul „axonometrie” înseamnă „a măsura de-a lungul axelor ” și indică faptul că dimensiunile și scalarea axelor de coordonate joacă un rol crucial. Rezultatul unei proceduri axonometrice este o proiecție paralelă a obiectului în mod uniform . În general, proiecția paralelă rezultată este oblică (razele nu sunt perpendiculare pe planul imaginii); dar în cazuri speciale rezultatul este ortografic (razele sunt perpendiculare pe planul imaginii), care în acest context se numește axonometrie ortogonală .

În desen tehnic și în arhitectură , perspectivă axonometrică este o formă de bidimensional reprezentare a tridimensionale obiecte al căror scop este de a păstra impresia de volum sau de relief . Uneori, numită și perspectivă rapidă sau perspectivă artificială, diferă de perspectiva conică și nu reprezintă ceea ce vede de fapt ochiul: în linii paralele particulare rămân paralele, iar obiectele îndepărtate nu sunt reduse ca dimensiune. Poate fi considerată o perspectivă conică conică al cărei centru a fost împins până la infinit, adică foarte departe de obiectul observat.

Termenul axonometrie este utilizat atât pentru procedura grafică descrisă mai jos, cât și pentru imaginea produsă prin acest procedeu.

Axonometria nu trebuie confundată cu proiecția axonometrică , care în literatura engleză se referă de obicei la axonometria ortogonală .

Principiul axonometriei

Punctul este proiecția unui punct pe planul de proiecție Π . De foreshortenings sunt , și .

{\ displaystyle {\ overline {P}}}

{\ displaystyle P = (x, y, z)}

{\ displaystyle v_ {x}}

{\ displaystyle v_ {y}}

{\ displaystyle v_ {z}}

Teorema lui Pohlke este baza următoarei proceduri pentru a construi o proiecție paralelă la scară a unui obiect tridimensional:

Selectați proiecțiile axelor de coordonate, astfel încât toate cele trei axe de coordonate să nu fie prăbușite într-un singur punct sau linie. De obicei, axa Z este verticală.
Selectați pentru aceste proiecții a foreshortenings , , și , în cazul în care ${\ displaystyle v_ {x}}$ ${\ displaystyle v_ {y}}$ ${\ displaystyle v_ {z}}$ ${\ displaystyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}> 0.}$
Proiecția unui punct este determinată în trei subetape (rezultatul este independent de ordinea acestor subetape): ${\ displaystyle {\ overline {P}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {P}}}$ ${\ displaystyle P = (x, y, z)}$ ${\ displaystyle P = (x, y, z)}$
- începând de la punctul , deplasați-vă cu suma în direcția , apoi ${\ displaystyle {\ overline {O}}}$ ${\ displaystyle v_ {x} \ cdot x}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$
- deplasați-vă cu suma în direcția , apoi ${\ displaystyle v_ {y} \ cdot y}$ ${\ displaystyle {\ overline {y}}}$
- deplasați-vă cu suma în direcția și în cele din urmă ${\ displaystyle v_ {z} \ cdot z}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$
Marcați poziția finală ca punct . ${\ displaystyle {\ overline {P}}}$

Pentru a obține rezultate nedistorsionate, selectați cu atenție proiecțiile axelor și scurtărilor (a se vedea mai jos). Pentru a produce o proiecție ortografică , doar proiecțiile axelor de coordonate sunt selectate în mod liber; scurtările sunt fixe (vezi de: orthogonale Axonometrie ).

Alegerea imaginilor axelor și a scurtărilor

Parametri și notații

Notaţie:

${\ displaystyle \ alpha:}$ unghiul dintre -axa și -axa ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$
${\ displaystyle \ beta:}$ unghiul dintre -axa și -axa ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {y}}}$
${\ displaystyle \ gamma:}$ unghiul dintre -axa și -axa. ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {y}}}$

De unghiurile pot fi alese astfel încât The forshortenings : ${\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ alpha + \ beta <360 ^ {\ circ} \.}$
${\ displaystyle 0 <\; v_ {x}, \; v_ {y}, \; v_ {z} \.}$

Numai pentru alegeri adecvate de unghiuri și scurtări se obține imagini nedistorsionate. Următoarea diagramă prezintă imaginile cubului unității pentru diferite unghiuri și scurtări și oferă câteva indicii despre cum să faceți aceste alegeri personale.

Diverse imagini axonometrice ale unui cub unitar. (Planul de imagine este paralel cu planul yz.)
Imaginile din stânga și din dreapta arată mai degrabă ca niște cuboizi prelungiți în loc de un cub.

Axonometrie (perspectivă cavalerie) a unei case pe hârtie tipar verificată.

Pentru a menține desenul simplu, ar trebui să alegeți scurtări simple, de exemplu sau . ${\ displaystyle 1.0}$ ${\ displaystyle 0.5}$

Dacă două scurtări sunt egale, proiecția se numește dimetrică .
Dacă cele trei scurtări sunt egale, proiecția se numește izometrică .
Dacă toate scurtările sunt diferite, proiecția se numește trimetrică .

Parametrii din diagrama din dreapta (de exemplu, ai casei desenate pe hârtie milimetrică) sunt: Prin urmare, este o axonometrie dimetrică . Planul de imagine este paralel cu planul yz și orice figură plană paralelă cu planul yz apare în forma sa adevărată. ${\ displaystyle \ alpha = 135 ^ {\ circ}, \ beta = 90 ^ {\ circ}, \ v_ {y} = v_ {z} = 1, \; v_ {x} = 1 / {\ sqrt {2 }} \.}$

Axonometrii speciale

Proiecții și perspective utilizate frecvent cu unghiuri între axele de coordonate transformate (α, β, γ), unghiuri de la orizont (α _h , β _h , fără γ _h = 90 °) și factori de scalare ( *v _i* )
Numele sau proprietatea	α = ∠ x̄z̄	β = ∠ ȳz̄	γ = ∠ x̄ȳ	α _h	β _h	v _x	v _y	v _z	v
Ortogonal, ortografic, plan	90 °	0 °	270 °	0 °	270 °	v		0%	orice
Trimetric	90 ° + α _h	90 ° + β _h	360 ° - α - β	orice	orice	orice	orice	orice	orice
Dimetric						orice	v
Izometric						v
Normal						v			100%
Oblic, clinografic				<90 °	<90 °	orice	orice	orice	bronz (α _h )
Simetric		α	360 ° - 2 · α	<90 °	α _h				orice
Equiangular	120 °			30 °					orice
Normal, 1∶1 izometric						v			100%
Izometric standard, scurtat									√⅔ ≈ 81%
Pixel, 1∶2 izometric	116,6 °		126,9 °	arctan ( v )					50%
Inginerie	131,4 °	97,2 °	131,4 °	arccos (¾)	arcsin (⅛)	50%	v		100%
Cavaler	90 ° + α _h	90 °	270 ° - α	orice	0 °	orice
Cabinet, cavaler dimetric	90 ° + α _h		270 ° - α	orice		<100%
Cavalier standard, izometric	135 °		135 °	45 °		v
Dulap standard 1∶2	135 °		135 °	45 °		50%	v
Cabinet 30 °	116,6 °		153,4 °	arctan ( v _x )
Dulap 60 °	153,4 °		116,6 °	arccot ( v _x )
30 ° cavalier	120 °		150 °	30 °		orice
Aerian, vedere de pasăre	135 °		90 °	45 °		v		orice	100%
Militar	135 °			45 °		v			100%
Planometric	90 ° + α _h	180 ° - α _h		orice	90 ° - α _h				orice
Planometric normal									100%
Planometric scurtat									≈ ≈ 67%

Parametrii axonometriilor speciale.

Proiecție inginer

În acest caz

a forshortenings sunt: (axonometry dimetric) și ${\ displaystyle v_ {x} = 0,5, \ v_ {y} = v_ {z} = 1 \}$
la unghiurile dintre axele sunt: ${\ displaystyle \ alpha = 132 ^ {\ circ}, \ \ beta = 97 ^ {\ circ} \.}$

Aceste unghiuri sunt marcate pe multe pătrate germane .

Avantajele proiecției inginerului:

simplu pentru scurtări,
o proiecție ortografică uniform scalată cu factor de scalare 1,06,
conturul unei sfere este un cerc (în general, o elipsă).

Pentru mai multe detalii: vezi de: Axonometrie .

Perspectiva Cavalier, perspectiva cabinetului

plan de imagine paralel cu planul yz.

În literatură, termenii „perspectivă cavalerească” și „perspectivă de cabinet” nu sunt uniform definiți. Definiția de mai sus este cea mai generală. Adesea, se aplică restricții suplimentare. De exemplu:

perspectiva cabinetului: alegeți în plus (oblic) și (dimetric),

{\ displaystyle \ alpha = 135 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle v_ {x} = 0,5}

perspectivă cavalerească: în plus alegeți (oblic) și (izometric).

{\ displaystyle \ alpha = 135 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle v_ {x} = 1}

Vedere de pasăre, proiecție militară

plan de imagine paralel cu planul xy.

proiecție militară: alegeți suplimentar (izometric).

{\ displaystyle v_ {z} = 1}

Astfel de axonometrii sunt adesea folosite pentru hărțile orașelor, pentru a menține figurile orizontale nedistorsionate.

Axonometrie izometrică

izometrie standard: cub, cuboid, casă și sferă

(Nu trebuie confundat cu o izometrie între spații metrice.)

Pentru o axonometrie izometrică toate scurtările sunt egale. Unghiurile pot fi alese în mod arbitrar, dar o alegere comună este . ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 120 ^ {\ circ}}$

Pentru izometria standard sau doar izometria se alege:

${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = v_ {z} = 1}$ (toate axele nedistorsionate)
${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 120 ^ {\ circ} \.}$

Avantajul unei izometrii standard:

coordonatele pot fi luate neschimbate,
imaginea este o proiecție ortografică la scară cu factor de scară . Prin urmare, imaginea are o impresie bună, iar conturul unei sfere este un cerc. ${\ displaystyle {\ sqrt {1.5}} = 1.225}$
Unele sisteme grafice pe computer (de exemplu, xfig ) oferă un raster adecvat (a se vedea diagrama) ca suport.

Pentru a preveni scalarea, se pot alege scurtările neobișnuite

${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = v_ {z} = {\ sqrt {2/3}}}$ (în loc de 1)

iar imaginea este o proiecție ortografică (nescalată).

diverse axonometrii ale unui turn
proiecție militară dimetrică:, inginerie dimetrică și proiecții cavaliere:, axonometrie izometrică:

{\ displaystyle v_ {z} = 0,5, v_ {x, y} = 1}

{\ displaystyle v_ {x} = 0,5, v_ {y, z} = 1}

{\ displaystyle v_ {x, y, z} = 1}

Cercuri în axonometrie

O proiecție paralelă a unui cerc este în general o elipsă. Un caz special important apare, dacă planul cercului este paralel cu planul imaginii - imaginea cercului este atunci un cerc congruent. În diagramă, cercul conținut în fața frontală este nedistorsionat. Dacă imaginea unui cerc este o elipsă, se pot mapa patru puncte pe diametre ortogonale și pe pătratul înconjurător al tangențelor și în paralelogramul imaginii completează manual o elipsă. O metodă mai bună, dar care consumă mai mult timp, constă în desenarea imaginilor a două diametre perpendiculare ale cercului, care sunt diametre conjugate ale elipsei imaginii, determinarea axelor elipsei cu construcția lui Rytz și desenarea elipsei .

Perspectiva cavalerească: cercuri
Proiecție militară: sferă

Sferele axonometriei

Într-o axonometrie generală a unei sfere, conturul imaginii este o elipsă. Conturul unei sfere este un cerc doar într-o axonometrie ortogonală . Dar, deoarece proiecția inginerului și izometria standard sunt proiecții ortografice la scară, conturul unei sfere este un cerc și în aceste cazuri. Așa cum arată diagrama, o elipsă ca contur al unei sfere ar putea fi confuză, deci, dacă o sferă face parte dintr-un obiect care trebuie mapat, ar trebui să se aleagă o axonometrie ortogonală sau o proiecție inginerească sau o izometrie standard.

Referințe

Graf, Ulrich; Barner, Martin (1961). Darstellende Geometrie . Heidelberg: Quelle și Meyer. ISBN 3-494-00488-9.
Fucke, Kirch Nickel (1998). Darstellende Geometrie . Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
Leopold, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung . Stuttgart: Kohlhammer Verlag . ISBN 17.03.018489-X.
Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Inginerie grafică: fundamentele teoretice ale ingineriei geometriei pentru proiectare . Springer. ISBN 978-3-319-29717-0.
Stärk, Roland (1978). Darstellende Geometrie . Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.

Note

^ Graf 1961 , p. 144.
^ Stärk 1978 , p. 156.
^ Graf 1961 , p. 145.
^ Graf 1961 , p. 155.
^ Stärk 1978 , p. 168.
^ Graf 1961 , p. 95.
^ Stärk 1978 , p. 159.

linkuri externe

Axonometrie ortogonală

[FOOTNOTEGraf1961144-1] Graf 1961 , p. 144.

[FOOTNOTEStärk1978156-2] Stärk 1978 , p. 156.

[FOOTNOTEGraf1961145-3] Graf 1961 , p. 145.

[FOOTNOTEGraf1961155-4] Graf 1961 , p. 155.

[FOOTNOTEStärk1978168-5] Stärk 1978 , p. 168.

[FOOTNOTEGraf196195-6] Graf 1961 , p. 95.

[FOOTNOTEStärk1978159-7] Stärk 1978 , p. 159.

Languages

In other projects