Aksonometria - Axonometry

Cavalier -projektio puolipyöreästä holvikäytävästä.

Aksonometria on kuvaavaan geometriaan kuuluva graafinen menettely, joka luo tasomaisen kuvan kolmiulotteisesta objektista. Termi "aksonometria" tarkoittaa "mittaa akseleita pitkin " ja osoittaa, että koordinaattiakseleiden mitat ja skaalaus ovat ratkaisevassa asemassa. Aksonometrisen menettelyn tulos on objektin tasaisesti skaalattu yhdensuuntainen projektio . Yleensä tuloksena oleva yhdensuuntainen projektio on vino (säteet eivät ole kohtisuorassa kuvatasoon nähden); mutta erityistapauksissa tulos on ortografinen (säteet ovat kohtisuorassa kuvatasoon nähden), jota tässä yhteydessä kutsutaan ortogonaaliseksi aksonometriaksi .

Vuonna tekninen piirustus ja arkkitehtuuri , aksonometrisenä kuvana on eräänlainen kaksiulotteinen esitys kolmiulotteisia esineitä, joiden tavoitteena on säilyttää vaikutelma äänenvoimakkuutta tai helpotusta . Joskus sitä kutsutaan myös pikaperspektiiviksi tai keinotekoiseksi perspektiiviksi, se eroaa kartiomaisesta perspektiivistä eikä kuvaa sitä, mitä silmä todella näkee: erityisesti yhdensuuntaiset viivat pysyvät rinnakkain eivätkä etäisten kohteiden koko pienene. Sitä voidaan pitää kartiomaisena perspektiivikuviona, jonka keskipiste on työnnetty äärettömään, eli hyvin kauas havaitusta kohteesta.

Termiä aksonometria käytetään sekä alla kuvatussa graafisessa menettelyssä että tällä menetelmällä tuotetussa kuvassa .

Aksonometriaa ei pidä sekoittaa aksonometriseen projektioon , joka englanninkielisessä kirjallisuudessa yleensä viittaa ortogonaaliseen aksonometriaan .

Aksonometrian periaate

Piste on pisteen projektio projektiotasolle Π . Seuraavat lyhenteet ovat , ja .

{\ displaystyle {\ overline {P}}}

{\ displaystyle P = (x, y, z)}

{\ displaystyle v_ {x}}

{\ displaystyle v_ {y}}

{\ displaystyle v_ {z}}

Pohlken lause on perusta seuraavalle menettelylle kolmiulotteisen objektin skaalatun yhdensuuntaisen projektion rakentamiseksi:

Valitse koordinaattiakselien projektiot siten, että kaikkia kolmea koordinaattiakselia ei tiivistetä yhdeksi pisteeksi tai suoraksi. Yleensä z-akseli on pystysuora.
Valitse näistä ennusteissa foreshortenings , , ja jos ${\ displaystyle v_ {x}}$ ${\ displaystyle v_ {y}}$ ${\ displaystyle v_ {z}}$ ${\ displaystyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}> 0.}$
Pisteen projektio määritetään kolmessa osavaiheessa (tulos on riippumaton näiden alivaiheiden järjestyksestä): ${\ displaystyle {\ overline {P}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {P}}}$ ${\ displaystyle P = (x, y, z)}$ ${\ displaystyle P = (x, y, z)}$
- alkaen pisteestä , siirry määrällä suuntaan , sitten ${\ displaystyle {\ overline {O}}}$ ${\ displaystyle v_ {x} \ cdot x}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$
- siirrä määrällä suuntaan , sitten ${\ displaystyle v_ {y} \ cdot y}$ ${\ displaystyle {\ overline {y}}}$
- liikkua määrällä suuntaan ja lopuksi ${\ displaystyle v_ {z} \ cdot z}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$
Merkitse lopullinen sijainti pisteeksi . ${\ displaystyle {\ overline {P}}}$

Vääristymättömien tulosten saamiseksi valitse akseleiden ja jatkovähennysten ulkonemat huolellisesti (katso alla). Ortografisen projektion tuottamiseksi vain koordinaattiakselien projektiot valitaan vapaasti; seuraavat lyhenteet ovat kiinteitä (ks. de: ortogonale Axonometrie ).

Valinta kirveiden kuvista ja lyhennyksistä

Parametrit ja merkinnät

Merkintä:

${\ displaystyle \ alpha:}$ akselin ja akselin välinen kulma ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$
${\ displaystyle \ beta:}$ akselin ja akselin välinen kulma ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {y}}}$
${\ displaystyle \ gamma:}$ akselin ja akselin välinen kulma . ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {y}}}$

Kulmat voidaan valita niin, että forshortenings : ${\ displaystyle 0^^{\ circ} <\ alpha +\ beta <360^{\ circ} \.}$
${\ displaystyle 0 <\; v_ {x}, \; v_ {y}, \; v_ {z} \.}$

Vain sopivissa kuvakulmissa ja lyhennyksissä saadaan vääristymättömiä kuvia. Seuraava kaavio näyttää yksikkökuution kuvat eri kulmista ja lyhennyksistä ja antaa vinkkejä näiden henkilökohtaisten valintojen tekemiseen.

Erilaisia aksonometrisiä kuvia yksikkökuutiosta. (Kuvataso on yhdensuuntainen yz-tason kanssa.)
Vasen ja äärioikea kuva näyttävät pikemminkin pitkiltä kuutioilta kuution sijaan.

Talon aksonometria (cavalier -perspektiivi) ruudullisella paperipaperilla.

Jotta piirustus olisi yksinkertainen, on valittava yksinkertaiset lyhennykset, esimerkiksi tai . ${\ displaystyle 1.0}$ ${\ displaystyle 0.5}$

Jos kaksi lyhennystä on yhtä suuri, projektiota kutsutaan dimetriseksi .
Jos kolme lyhennystä ovat yhtä suuret, projektiota kutsutaan isometriseksi .
Jos kaikki lyhennykset ovat erilaisia, projektiota kutsutaan trimetriseksi .

Oikealla olevan kaavion parametrit (esim. Piirtopaperille piirretty talo) ovat: Siksi kyseessä on dimetrinen aksonometria. Kuvataso on yhdensuuntainen yz-tason kanssa ja kaikki yz-tason kanssa yhdensuuntaiset tasot näkyvät oikeassa muodossaan. ${\ displaystyle \ alpha = 135^{\ circ}, \ beta = 90^{\ circ}, \ v_ {y} = v_ {z} = 1, \; v_ {x} = 1/{\ sqrt {2 }} \.}$

Erityiset aksonometriat

Yleisesti käytetyt projektiot ja perspektiivit, joissa on kulmat muunnettujen koordinaattiakselien (α, β, γ), kulmien välillä horisontista (α _h , β _h , ilman γ _h = 90 °) ja skaalaustekijät ( *v _i* )
Nimi tai omaisuus	α = ∠ x̄z̄	β = ∠ ȳz̄	γ = ∠ x̄ȳ	α _h	β _h	v _x	v _y	v _z	v
Ortogonaalinen, ortografinen, tasomainen	90 °	0 °	270 °	0 °	270 °	v		0%	minkä tahansa
Trimetrinen	90 ° + α _h	90 ° + β _h	360 ° - α - β	minkä tahansa	minkä tahansa	minkä tahansa	minkä tahansa	minkä tahansa	minkä tahansa
Dimetrinen						minkä tahansa	v
Isometrinen						v
Normaali						v			100%
Vino, kliininen				<90 °	<90 °	minkä tahansa	minkä tahansa	minkä tahansa	rusketus (α _h )
Symmetrinen		α	360 ° - 2 · α	<90 °	α _h				minkä tahansa
Tasainen	120 °			30 °					minkä tahansa
Normaali, 1∶1 isometrinen						v			100%
Vakio, lyhennetty isometrinen									√⅔ ≈ 81%
Pikseli, 1∶2 isometrinen	116,6 °		126,9 °	arctan ( v )					50%
Tekniikka	131,4 °	97,2 °	131,4 °	arccot (¾)	arcsin (⅛)	50%	v		100%
Cavalier	90 ° + α _h	90 °	270 ° - α	minkä tahansa	0 °	minkä tahansa
Kaappi, dimetrinen cavalier	90 ° + α _h		270 ° - α	minkä tahansa		<100%
Vakio, isometrinen cavalier	135 °		135 °	45 °		v
Vakio 1∶2 kaappi	135 °		135 °	45 °		50%	v
30 ° kaappi	116,6 °		153,4 °	arctan ( v _x )
60 ° kaappi	153,4 °		116,6 °	arccot ( v _x )
30 ° cavalier	120 °		150 °	30 °		minkä tahansa
Ilma, lintuperspektiivi	135 °		90 °	45 °		v		minkä tahansa	100%
Armeija	135 °			45 °		v			100%
Planometrinen	90 ° + α _h	180 ° - α _h		minkä tahansa	90 ° - α _h				minkä tahansa
Normaali planometrinen									100%
Lyhennetty planometrinen									⅔ ≈ 67%

Erityisten aksonometrioiden parametrit.

Insinöörin projektio

Tässä tapauksessa

forshortenings ovat: (dimetric kaisen) ja ${\ displaystyle v_ {x} = 0,5, \ v_ {y} = v_ {z} = 1 \}$
kulmat välillä ovat: ${\ displaystyle \ alpha = 132^{\ circ}, \ \ beta = 97^{\ circ} \.}$

Nämä kulmat on merkitty moniin saksalaisiin neliöihin .

Insinööriprojektion edut:

yksinkertaiset lyhennykset,
tasaisesti skaalattu ortografinen projektio skaalauskerroin 1,06,
pallon muoto on ympyrä (yleensä ellipsi).

Lisätietoja: katso de: Axonometrie .

Cavalier -näkökulma, kaappinäkymä

kuvataso yz-tason suuntainen.

Kirjallisuudessa termejä "cavalier -perspektiivi" ja "kabinettinäkökulma" ei ole määritelty yhdenmukaisesti. Yllä oleva määritelmä on yleisin. Usein sovelletaan lisärajoituksia. Esimerkiksi:

kaapin näkökulma: valitse lisäksi (vino) ja (dimetrinen),

{\ displaystyle \ alpha = 135^{\ circ}}

{\ displaystyle v_ {x} = 0,5}

cavalier -näkökulma: valitse lisäksi (vino) ja (isometrinen).

{\ displaystyle \ alpha = 135^{\ circ}}

{\ displaystyle v_ {x} = 1}

Lintuperspektiivi, sotilaallinen projektio

kuvataso yhdensuuntainen xy-tason kanssa.

sotilaallinen projektio: valitse lisäksi (isometrinen).

{\ displaystyle v_ {z} = 1}

Tällaisia aksonometrioita käytetään usein kaupunkikarttoihin, jotta vaakasuuntaiset luvut eivät vääristy.

Isometrinen aksonometria

standardi isometria: kuutio, kuutiomainen, talo ja pallo

(Ei pidä sekoittaa metristen tilojen väliseen isometriaan .)

Jotta isometrinen kaisen kaikki forshortenings ovat samanarvoisia. Kulmat voidaan valita mielivaltaisesti, mutta yleinen valinta on . ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 120^{\ circ}}$

Jotta standardin isometria tai vain isometria miten haluaa:

${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = v_ {z} = 1}$ (kaikki akselit vääristymättömiä)
${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 120^{\ circ} \.}$

Normaalin isometrian etu:

koordinaatit voidaan ottaa muuttumattomina,
kuva on skaalattu ortografinen projektio, jossa on skaalauskerroin . Näin ollen kuvassa on hyvä vaikutelma ja pallon muoto on ympyrä. ${\ displaystyle {\ sqrt {1.5}} = 1.225}$
Jotkut tietokonegrafiikkajärjestelmät (esimerkiksi xfig ) tarjoavat sopivan rasterin (katso kaavio) tukena.

Skaalautumisen estämiseksi voidaan valita epäkäytännölliset lyhennykset

${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = v_ {z} = {\ sqrt {2/3}}}$ (1 sijasta)

ja kuva on (skaalaamaton) ortografinen projektio.

tornin
dimetrisen sotilaallisen projektion eri aksonometriat :, dimetrinen suunnittelu ja cavalier -projektiot:, isometrinen aksonometria:

{\ displaystyle v_ {z} = 0,5, v_ {x, y} = 1}

{\ displaystyle v_ {x} = 0,5, v_ {y, z} = 1}

{\ displaystyle v_ {x, y, z} = 1}

Ympyrät aksonometriassa

Ympyrän yhdensuuntainen projektio on yleensä ellipsi. Tärkeä erikoistapaus esiintyy, jos ympyrän taso on yhdensuuntainen kuvatason kanssa - ympyrän kuva on tällöin yhdenmukainen ympyrä. Kaaviossa etupuolen ympyrä on vääristymätön. Jos ympyrän kuva on ellipsi, voidaan kartoittaa neljä pistettä ortogonaalisista halkaisijoista ja sitä ympäröivästä tangentin neliöstä sekä täyttää kuvan ellipsi käsin. Parempi, mutta enemmän aikaa vievä menetelmä koostuu piirtämällä kuvat ympyrän kahdesta kohtisuorasta halkaisijasta, jotka ovat kuvan ellipsin konjugoituja halkaisijoita, määrittämällä ellipsin akselit Rytzin rakenteella ja piirtämällä ellipsi .

Cavalier -näkökulma: ympyrät
Sotilaallinen projektio: pallo

Aksonometrian pallot

Pallon yleisessä aksonometriassa kuvan ääriviivat ovat ellipsejä. Pallon ääriviiva on ympyrä vain ortogonaalisessa aksonometriassa. Mutta koska insinööriprojektio ja standardi -isometria ovat skaalattuja ortografisia projektioita, pallon ääriviivat ovat myös näissä tapauksissa ympyrä. Kuten kaaviosta näkyy, ellipsi pallon ääriviivana voi olla hämmentävä, joten jos pallo on osa kartoitettavaa kohdetta, on valittava ortogonaalinen aksonometria tai insinööriprojektio tai vakiomuotoinen isometria.

Viitteet

Graf, Ulrich; Barner, Martin (1961). Darstellende Geometrie . Heidelberg: Quelle & Meyer. ISBN 3-494-00488-9.
Fucke, Kirch Nickel (1998). Darstellende Geometrie . Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
Leopold, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung . Stuttgart: Kohlhammer Verlag . ISBN 3-17-018489-X.
Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Engineering Graphics: Theoretical Foundations of Engineering Geometry for Design . Springer. ISBN 978-3-319-29717-0.
Stärk, Roland (1978). Darstellende Geometrie . Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.

Huomautuksia

^ Graf 1961 , s. 144.
^ Stärk 1978 , s. 156.
^ Graf 1961 , s. 145.
^ Graf 1961 , s. 155.
^ Stärk 1978 , s. 168.
^ Graf 1961 , s. 95.
^ Stärk 1978 , s. 159.

Ulkoiset linkit

Ortogonaalinen aksonometria

[FOOTNOTEGraf1961144-1] Graf 1961 , s. 144.

[FOOTNOTEStärk1978156-2] Stärk 1978 , s. 156.

[FOOTNOTEGraf1961145-3] Graf 1961 , s. 145.

[FOOTNOTEGraf1961155-4] Graf 1961 , s. 155.

[FOOTNOTEStärk1978168-5] Stärk 1978 , s. 168.

[FOOTNOTEGraf196195-6] Graf 1961 , s. 95.

[FOOTNOTEStärk1978159-7] Stärk 1978 , s. 159.

Languages

In other projects