Extensão Alexandroff - Alexandroff extension

No campo matemático da topologia , a extensão Alexandroff é uma maneira de estender um espaço topológico não compacto juntando um único ponto de forma que o espaço resultante seja compacto . Recebeu o nome do matemático russo Pavel Alexandroff . Mais precisamente, seja X um espaço topológico. Então a extensão de Alexandroff de X é um certo espaço compacto X * junto com uma incorporação aberta c : X → X * tal que o complemento de X em X * consiste em um único ponto, tipicamente denotado por ∞. O mapa c é uma compactificação de Hausdorff se e somente se X for um espaço de Hausdorff localmente compacto e não compacto . Para tais espaços, a extensão de Alexandroff é chamada de compactação de um ponto ou compactificação de Alexandroff . As vantagens da compactificação de Alexandroff residem em sua estrutura simples, muitas vezes geometricamente significativa, e no fato de que ela é, em um sentido preciso, mínima entre todas as compactações; a desvantagem reside no fato de que ele apenas fornece uma compactação de Hausdorff na classe de espaços de Hausdorff localmente compactos e não compactos, ao contrário da compactação de Stone-Čech que existe para qualquer espaço topológico (mas fornece uma incorporação exatamente para espaços de Tychonoff ).

Exemplo: projeção estereográfica inversa

Um exemplo geometricamente atraente de compactação de um ponto é dado pela projeção estereográfica inversa . Lembre-se de que a projeção estereográfica S fornece um homeomorfismo explícito da esfera unitária menos o pólo norte (0,0,1) para o plano euclidiano. A projeção estereográfica inversa é uma incorporação aberta e densa em um espaço de Hausdorff compacto obtido pela junção do ponto adicional . Sob a projeção estereográfica, os círculos latitudinais são mapeados para círculos planos . Segue-se que a base de vizinhança excluída dada pelos calotes esféricos perfurados corresponde aos complementos de discos planos fechados . Mais qualitativamente, uma base de vizinhança em é fornecida pelos conjuntos à medida que K varia até os subconjuntos compactos de . Este exemplo já contém os conceitos-chave do caso geral. ${\ displaystyle S ^ {- 1}: \ mathbb {R} ^ {2} \ hookrightarrow S ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ infty = (0,0,1)}$ ${\ displaystyle z = c}$ ${\ displaystyle r = {\ sqrt {(1 + c) / (1-c)}}}$ ${\ displaystyle (0,0,1)}$ ${\ displaystyle c \ leq z <1}$ ${\ displaystyle r \ geq {\ sqrt {(1 + c) / (1-c)}}}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} (\ mathbb {R} ^ {2} \ setminus K) \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Motivação

Let be um embedding de um espaço topológico X para um compacto espaço topológico de Hausdorff Y , com imagem densa e resto de um ponto . Então c ( X ) é aberto em um espaço de Hausdorff compacto, então é localmente compacto de Hausdorff, portanto, sua pré-imagem homeomórfica X também é localmente compacta de Hausdorff. Além disso, se X fosse compacto, então c ( X ) seria fechado em Y e, portanto, não denso. Assim, um espaço só pode admitir uma compactação de um ponto de Hausdorff se for localmente compacto, não compacto e de Hausdorff. Além disso, em tal compactação de um ponto, a imagem de uma base de vizinhança para x em X dá uma base de vizinhança para c ( x ) em c ( X ), e - porque um subconjunto de um espaço compacto de Hausdorff é compacto se e somente se ele é fechado - as vizinhanças abertas de devem ser todos os conjuntos obtidos adjacentes à imagem sob c de um subconjunto de X com complemento compacto. ${\ displaystyle c: X \ hookrightarrow Y}$ ${\ displaystyle \ {\ infty \} = Y \ setminus c (X)}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$

A extensão Alexandroff

Coloque , e topologize tomando como conjuntos abertos todos os subconjuntos abertos L de X em conjunto com todos os conjuntos , onde C está fechada e compactas em X . Aqui, denota setminus . Observe que é uma vizinhança aberta de e, portanto, qualquer tampa aberta de conterá todos, exceto um subconjunto compacto de , o que implica que é compacto ( Kelley 1975 , p. 150). ${\ displaystyle X ^ {*} = X \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle V = (X \ setminus C) \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle X \ setminus C}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$

O mapa de inclusão é chamado de extensão Alexandroff de X (Willard, 19A). ${\ displaystyle c: X \ rightarrow X ^ {*}}$

Todas as propriedades abaixo seguem a discussão acima:

O mapa c é contínuo e aberto: ele incorpora X como um subconjunto aberto de . ${\ displaystyle X ^ {*}}$
O espaço é compacto. ${\ displaystyle X ^ {*}}$
A imagem c ( X ) é densa em , se X não for compacto. ${\ displaystyle X ^ {*}}$
O espaço é Hausdorff se e somente se X for Hausdorff e localmente compacto . ${\ displaystyle X ^ {*}}$
O espaço é T ₁ se e somente se X for T ₁ . ${\ displaystyle X ^ {*}}$

A compactação de um ponto

Em particular, a extensão Alexandroff é uma compactificação de Hausdorff de X se e somente se X for Hausdorff, não compacta e localmente compacta. Neste caso, ele é chamado de compactification de um ponto ou Alexandroff compactification de X . ${\ displaystyle c: X \ rightarrow X ^ {*}}$

Lembre-se da discussão acima que qualquer compactação de Hausdorff com um ponto restante é necessariamente (isomórfica para) a compactação de Alexandroff. Em particular, se é um espaço de Hausdorff compacto e é um ponto limite de (isto é, não é um ponto isolado de ), é a compactação de Alexandroff de . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X \ setminus \ {p \}}$

Seja X qualquer espaço Tychonoff não compacto . Sob a ordenação parcial natural no conjunto de classes de equivalência de compactificações, qualquer elemento mínimo é equivalente à extensão de Alexandroff (Engelking, Teorema 3.5.12). Segue-se que um espaço de Tychonoff não compacto admite uma compactação mínima se e somente se for localmente compacto. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (X)}$

Compactificações de um ponto não-Hausdorff

Let Ser um espaço topológico não compacto arbitrário. Pode-se querer determinar todas as compactificações (não necessariamente de Hausdorff) obtidas pela adição de um único ponto, que também poderia ser chamado de compactações de um ponto neste contexto. Portanto, deseja-se determinar todas as maneiras possíveis de fornecer uma topologia compacta de forma que seja densa e a topologia de subespaço em induzido de seja igual à topologia original. A última condição de compatibilidade na topologia implica automaticamente que é denso em , porque não é compacto, portanto não pode ser fechado em um espaço compacto. Além disso, é um fato que o mapa de inclusão é necessariamente um embedding aberto , ou seja, deve ser aberto em e a topologia em deve conter todos os membros de . Portanto, a topologia ativada é determinada pelas vizinhanças de . Qualquer vizinhança de é necessariamente o complemento de um subconjunto compacto fechado de , como discutido anteriormente. ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {*} = X \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle c: X \ to X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$

As topologias que o tornam uma compactação são as seguintes: ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$

A extensão Alexandroff definida acima. Aqui tomamos os complementos de todos os subconjuntos compactos fechados de como vizinhanças de . Esta é a maior topologia que faz uma compactação de um ponto . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$
A topologia de extensão aberta . Aqui, adicionamos uma única vizinhança de , ou seja, todo o espaço . Esta é a menor topologia que faz uma compactação de um ponto . ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$
Qualquer topologia intermediária entre as duas topologias acima. Para vizinhanças de um, deve-se escolher uma subfamília adequada dos complementos de todos os subconjuntos compactos fechados de ; por exemplo, os complementos de todos os subconjuntos compactos fechados finitos ou os complementos de todos os subconjuntos compactos fechados contáveis. ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle X}$

Outros exemplos

Compactificações de espaços discretos

A compactação de um ponto do conjunto de inteiros positivos é homeomórfica ao espaço que consiste em K = {0} U {1 / n | n é um número inteiro positivo} com a topologia da ordem.
Uma sequência em um espaço topológico converge para um ponto em , se e apenas se o mapa dado por em em e é contínua. Aqui está a topologia discreta . ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {N} ^ {*} \ to X}$ ${\ displaystyle f (n) = a_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle f (\ infty) = a}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$
Espaços poládicos são definidos como espaços topológicos que são a imagem contínua do poder de uma compactação de um ponto de um espaço de Hausdorff discreto e localmente compacto.

Compactificações de espaços contínuos

A compactação de um ponto do espaço euclidiano n- dimensional R ⁿ é homeomórfica à n- esfera S ⁿ . Como acima, o mapa pode ser fornecido explicitamente como uma projeção estereográfica inversa n- dimensional.
A compactação de um ponto do produto das cópias do intervalo semicerrado [0,1), ou seja, de , é (homeomorfo a) . ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle [0,1) ^ {\ kappa}}$ ${\ displaystyle [0,1] ^ {\ kappa}}$
Como o fechamento de um subconjunto conectado está conectado, a extensão Alexandroff de um espaço conectado não compacto é conectada. No entanto, uma compactação de um ponto pode "conectar" um espaço desconectado: por exemplo, a compactação de um ponto da união disjunta de um número finito de cópias do intervalo (0,1) é uma cunha de círculos . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$
A compactação de um ponto da união disjunta de um número contável de cópias do intervalo (0,1) é o brinco havaiano . Isso é diferente da cunha de muitos círculos contáveis, que não são compactos.
Dado Hausdorff compacto e qualquer subconjunto fechado de , a compactação de um ponto de é , onde a barra denota o espaço quociente . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X \ setminus C}$ ${\ displaystyle X / C}$
Se e são localmente compactos em Hausdorff, então onde está o produto esmagador . Lembre-se de que a definição do produto esmagado: onde está a soma da cunha e, novamente, / denota o espaço quociente. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle (X \ times Y) ^ {*} = X ^ {*} \ wedge Y ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ wedge}$ ${\ displaystyle A \ wedge B = (A \ vezes B) / (A \ vee B)}$ ${\ displaystyle A \ vee B}$

Como um functor

A extensão de Alexandroff pode ser vista como um functor da categoria de espaços topológicos com mapas contínuos adequados como morfismos para a categoria cujos objetos são mapas contínuos e para os quais os morfismos de a são pares de mapas contínuos tais que . Em particular, os espaços homeomórficos têm extensões de Alexandroff isomórficas. ${\ displaystyle c \ dois pontos X \ rightarrow Y}$ ${\ displaystyle c_ {1} \ dois pontos X_ {1} \ rightarrow Y_ {1}}$ ${\ displaystyle c_ {2} \ dois pontos X_ {2} \ rightarrow Y_ {2}}$ ${\ displaystyle f_ {X} \ dois pontos X_ {1} \ rightarrow X_ {2}, \ f_ {Y} \ dois pontos Y_ {1} \ rightarrow Y_ {2}}$ ${\ displaystyle f_ {Y} \ circ c_ {1} = c_ {2} \ circ f_ {X}}$