Espaço poliádico - Polyadic space

Em matemática , um espaço poliádico é um espaço topológico que é a imagem sob uma função contínua de uma potência topológica de uma compactação de um ponto de Alexandroff de um espaço discreto .

História

Os espaços poládicos foram estudados pela primeira vez por S. Mrówka em 1970 como uma generalização dos espaços diádicos . A teoria foi desenvolvida por RH Marty, János Gerlits e Murray G. Bell, o último dos quais introduziu o conceito de espaços centrados mais gerais .

Fundo

Um subconjunto K de um espaço topológico X é considerado compacto se toda cobertura aberta de K contiver uma subcobertura finita. Diz-se ser localmente compacto num ponto x ∈ X se x situa-se no interior de um subconjunto compacto de X . X é um espaço localmente compacto se for localmente compacto em todos os pontos do espaço.

Um subconjunto apropriado Um ⊂ X é dito ser denso se o fecho  = X . Um espaço cujo conjunto tem um subconjunto denso contável é chamado de espaço separável .

Para um espaço topológico de Hausdorff não compacto e localmente compacto , definimos a compactação de um ponto de Alexandroff como o espaço topológico com o conjunto , denotado , onde , com a topologia definida como segue: ${\ displaystyle (X, \ tau _ {X})}$${\ displaystyle \ left \ {\ omega \ right \} \ cup X}$${\ displaystyle \ omega X}$${\ displaystyle \ omega \ notin X}$${\ displaystyle \ tau _ {\ omega X}}$

• ${\ displaystyle \ tau _ {X} \ subseteq \ tau _ {\ omega X}}$
• ${\ displaystyle X \ setminus C \ cup \ left \ {\ omega \ right \} \ in \ tau _ {\ omega X}}$, para cada subconjunto compacto .${\ displaystyle C \ subseteq X}$

Definição

Seja um espaço topológico discreto e seja uma compactação de um ponto de Alexandroff . Um espaço de Hausdorff é poládico se para algum número cardinal existe uma função sobrejetiva contínua , onde é o espaço produto obtido pela multiplicação com ele mesmo pelos tempos. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ omega X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle f: \ omega X ^ {\ lambda} \ rightarrow P}$${\ displaystyle \ omega X ^ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ omega X}$${\ displaystyle \ lambda}$

Exemplos

Pegue o conjunto de números naturais com a topologia discreta. Sua compactificação de um ponto Alexandroff é . Escolha e defina o homeomorfismo com o mapeamento ${\ displaystyle \ mathbb {Z} +}$${\ displaystyle \ omega \ mathbb {Z} +}$${\ displaystyle \ lambda = 1}$${\ displaystyle h: \ omega \ mathbb {Z} + \ rightarrow \ left [0,1 \ right]}$

${\ displaystyle h (x) = {\ begin {cases} 1 / x, & {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} + \\ 0, & {\ text {if}} x = \ omega \ end {cases}}}$

Decorre da definição que o espaço é poládico e compacto diretamente da definição de compactação, sem usar Heine-Borel. ${\ displaystyle \ left \ {0 \ right \} \ cup \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ left \ {1 / n \ right \}}$

Cada espaço diádico (um espaço compacto que é uma imagem contínua de um conjunto de Cantor) é um espaço poliádico.

Seja X um espaço compacto e separável. Se X for um espaço metrizável , então é poládico (o inverso também é verdadeiro).

Propriedades

A celularidade de um espaço é . A estanqueidade de um espaço é definida como segue: let , e . Nós definimos e definimos . Então, o peso topológico de um espaço poliádico satisfaz a igualdade . ${\ displaystyle c (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sup \ left \ {\ vert B \ vert: B {\ text {é uma coleção disjunta de conjuntos abertos de}} X \ right \}}$${\ displaystyle t (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ subset X}$${\ displaystyle p \ in {\ bar {A}}}$${\ displaystyle a (p, A): = \ min \ left \ {\ vert B \ vert: p \ in {\ bar {B}}, B \ subset A \ right \}}$${\ displaystyle t (p, X): = \ sup \ left \ {a (p, A): A \ subconjunto X, p \ in {\ bar {A}} \ right \}}$${\ displaystyle t (X): = \ sup \ left \ {t (p, X): p \ in X \ right \}.}$ ${\ displaystyle w (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle w (X) = c (X) \ cdot t (X)}$

Deixe ser um espaço poládico e deixe . Então existe um espaço poládico tal que e . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ subset X}$${\ displaystyle P \ subset X}$${\ displaystyle A \ subconjunto P}$${\ displaystyle c (P) \ leq c (A)}$

Os espaços poládicos são a menor classe de espaços topológicos que contêm espaços compactos métricos e são fechados sob produtos e imagens contínuas. Cada espaço poládico de peso é uma imagem contínua de . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ leq 2 ^ {\ omega}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} +}$

Um espaço topológico X possui a propriedade Suslin se não houver uma família incontável de subconjuntos abertos não vazios não-vazios disjuntos par a par de X. Suponha que X tenha a propriedade Suslin e X seja poládico. Então X é diádico.

Deixe ser o menor número de conjuntos discretos necessários para cobrir e deixe denotar a menor cardinalidade de um conjunto aberto não vazio em . Se for um espaço poliádico, então . ${\ displaystyle dis (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Delta (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle dis (X) \ geq \ Delta (X)}$

Teorema de Ramsey

Existe um análogo do teorema de Ramsey da combinatória para espaços poliádicos. Para isso, descrevemos a relação entre os espaços booleanos e os espaços poládicos. Vamos denotar a clopen álgebra de todos os subconjuntos clopen de . Definimos um espaço booleano como um espaço de Hausdorff compacto cuja base é . O elemento tal que é chamado de conjunto gerador de . Nós dizemos é uma coleção -disjoint se é a união de na maioria das sub-coleções , onde para cada , é uma coleção disjunta de cardinalidade no máximo Foi comprovada por Petr Simon, que é um espaço booleana com o grupo gerador de estar -disjoint se e somente if é homeomórfico a um subespaço fechado de . A propriedade semelhante a Ramsey para espaços poládicos, conforme declarada por Murray Bell para espaços booleanos, é então a seguinte: toda coleção clopen incontável contém uma subcoleção incontável que está ligada ou disjunta. ${\ displaystyle CO (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle CO (X)}$${\ displaystyle G \ in CO (X) '}$${\ displaystyle \ langle \ langle G \ rangle \ rangle = CO (X)}$${\ displaystyle CO (X)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (\ tau, \ kappa)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle G _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle G _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle CO (X)}$${\ displaystyle (\ tau, \ kappa)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ alpha \ kappa ^ {\ tau}}$

Compacidade

Definimos o número de compactação de um espaço , denotado por , como o menor número que possui uma subbase fechada n-ária . Podemos construir espaços poládicos com número de compactação arbitrário. Vamos demonstrar isso usando dois teoremas provados por Murray Bell em 1985. Seja uma coleção de conjuntos e seja um conjunto. Denotamos o conjunto por ; todos os subconjuntos de tamanho por ; e todos os subconjuntos de tamanho no máximo por . Se e para todos , então dizemos que é n-ligado. Se todo subconjunto n-ligado de tem uma interseção não vazia, dizemos que é n-ário. Observe que se for n-ário, então é e, portanto, todo espaço com tem uma subbase n-ária fechada com . Observe que uma coleção de subconjuntos fechados de um espaço compacto é uma subbase fechada se e somente se para cada fechado em um conjunto aberto , existe um finito tal que e . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {cmpn} \, X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ {\ bigcap {\ mathcal {F}}: {\ mathcal {F}} {\ text {é um subconjunto finito de}} {\ mathcal {S}} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ widehat {\ mathcal {F}}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle [S] ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle [S] ^ {<= n}}$${\ displaystyle 2 \ leq n <\ omega}$${\ displaystyle \ bigcap {\ mathcal {F}} \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ in [{\ mathcal {S}}] ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ widehat {\ mathcal {F}}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {cmpn} \, X \ leq n}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {S}} ^ {\ widehat {\ mathcal {F}}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {S}} ^ {\ widehat {\ mathcal {F}}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subset {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle K \ subset \ bigcup {\ mathcal {F}} \ subset U}$

Let Ser um conjunto infinito e deixar por um número tal que . Definimos a topologia do produto da seguinte maneira: for , let e let . Deixe ser a coleção . Tomamos como uma subbase clopen para nossa topologia em . Esta topologia é compacta e de Hausdorff. Para e tal , temos que é um subespaço discreto de e, portanto, é uma união de subespaços discretos. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1 \ leq n <\ omega}$${\ displaystyle [S] ^ {\ leq n}}$${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle s ^ {-} = \ {F \ in [S] ^ {\ leq n}: s \ in F \}}$${\ displaystyle s ^ {+} = \ {F \ in [S] ^ {\ leq n}: s \ notin F \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ bigcup _ {s \ in S} \ {s ^ {+}, s ^ ​​{-} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle [S] ^ {\ leq n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$${\ displaystyle [S] ^ {k}}$${\ displaystyle [S] ^ {\ leq n}}$${\ displaystyle [S] ^ {\ leq n}}$${\ displaystyle n + 1}$

Teorema (limite superior ): Para cada ordem total sobre , existe uma sub-base fechada -ary de . ${\ displaystyle \ operatorname {cmpn} \, [S] ^ {\ leq n}}$ ${\ displaystyle <}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle [S] ^ {\ leq 2n}}$

Prova : Para , defina e . Definir . Para , e tal que , deixe tal que é um subconjunto vinculado de . Mostre isso .${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle L_ {s} = \ {F \ in s ^ {+}: | \ {t \ in F: t <s \} | \ leq n-1 \}}$${\ displaystyle R_ {s} = \ {F \ in s ^ {+}: | \ {t \ in F: t> s \} | \ leq n-1 \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}} = \ bigcup _ {s \ in S} \ {L_ {s}, R_ {s}, s ^ ​​{+} \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A \ cup B \ cup C \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {L_ {s}: s \ in A \} \ cup \ {R_ {s}: s \ in B \} \ cup \ {s ^ {-}: s \ em C \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle A \ cup B \ in \ bigcap {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ blacksquare}$

Para um espaço topológico e um subespaço , dizemos que uma função contínua é uma retração se o mapa de identidade estiver ativado . Dizemos que é uma retratação de . Se existe um conjunto aberto tal que , e é uma retração de , então dizemos que é uma vizinhança retraída de . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ in X}$${\ displaystyle r: X \ rightarrow A}$${\ displaystyle r | _ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A \ subset U \ subset X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$

Teorema ( Limite inferior em ) Seja tal que . Então, não pode ser incorporado como uma vizinhança retraída em qualquer espaço com . ${\ displaystyle \ operatorname {cmpn} \, [S] ^ {\ leq n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 \ leq n <\ omega}$${\ displaystyle [\ omega _ {1}] ^ {\ leq 2n-1}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ operatorname {cmpn} \, K \ leq n}$

Dos dois teoremas acima, pode-se deduzir que, para tal , temos isso . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1 \ leq n <\ omega}$${\ displaystyle \ operatorname {cmpn} \, [\ omega _ {1}] ^ {\ leq 2n-1} = n + 1 = \ operatorname {cmpn} \, [\ omega _ {1}] ^ {\ leq 2n}}$

Seja a compactação de um ponto de Alexandroff do espaço discreto , de modo que . Definimos a sobreposição contínua por . Conclui-se que é um espaço poliádico. Portanto, é um espaço poliádico com número de compactação . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A = S \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle g: A ^ {n} \ rightarrow [S] ^ {\ leq n}}$${\ displaystyle g ((x_ {1}, ..., x_ {n})) = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \} \ cap S}$${\ displaystyle [S] ^ {\ leq n}}$${\ displaystyle [\ omega _ {1}] ^ {\ leq 2n-1}}$${\ displaystyle \ operatorname {cmpn} \, [\ omega _ {1}] ^ {\ leq 2n-1} = n + 1}$

Generalizações

Espaços centrados, espaços AD-compactos e espaços ξ-adic são generalizações de espaços poliádicos.

Espaço centrado

Deixe ser uma coleção de conjuntos. Dizemos que é centralizado para todos os subconjuntos finitos . Defina o espaço booleano , com a topologia de subespaço de . Dizemos que um espaço é um espaço centrado se existe uma coleção tal que seja uma imagem contínua de . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle \ bigcap {\ mathcal {F}} \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle Cen ({\ mathcal {S}}) = \ {\ chi _ {T}: T {\ text {é uma subcoleção centrada de}} {\ mathcal {S}} \}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Cen ({\ mathcal {S}})}$

Os espaços centralizados foram introduzidos por Murray Bell em 2004.

AD-espaço compacto

Deixe ser um conjunto não vazio e considere uma família de seus subconjuntos . Dizemos que é uma família adequada se: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

• ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}} \ land B \ subseteq {\ mathcal {A}} \ Rightarrow B \ in {\ mathcal {A}}}$
• dado , se cada subconjunto finito de estiver em , então .${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$

Podemos tratar como um espaço topológico considerando-o um subconjunto do cubo de Cantor e, neste caso, o denotamos . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle D ^ {X}}$${\ displaystyle K ({\ mathcal {A}})}$

Deixe ser um espaço compacto. Se existe um conjunto e uma família adequada , tal que é a imagem contínua de , então dizemos que é um espaço compacto AD. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K ({\ mathcal {A}})}$${\ displaystyle K}$

Os espaços compactos AD foram introduzidos por Grzegorz Plebanek. Ele provou que eles são fechados sob produtos arbitrários e compactificações Alexandroff de uniões disjuntas . Conclui-se que todo espaço poliádico é, portanto, um espaço compacto AD. O inverso não é verdade, pois há espaços compactos AD que não são poládicos.

espaço ξ-adic

Vamos e ser cardeais, e deixe um espaço de Hausdorff. Se existe uma sobreposição contínua de para , então se diz que é um espaço ξ-ádico. ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (\ kappa +1) ^ {\ tau}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Os espaços ξ-ádicos foram propostos por S. Mrówka, e os seguintes resultados sobre eles foram dados por János Gerlits (eles também se aplicam aos espaços poliádicos, uma vez que são um caso especial dos espaços ξ-ádicos).

Seja um cardinal infinito e seja um espaço topológico. Dizemos que tem a propriedade se para qualquer família de subconjuntos abertos não vazios de , onde , podemos encontrar um conjunto e um ponto tal que e para cada bairro de , temos isso . ${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ mathfrak {n}})}$${\ displaystyle \ {G _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle | A | = {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle B \ subset A}$${\ displaystyle p \ in X}$${\ displaystyle | B | = {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle | \ {\ beta \ in B: N \ cap G _ {\ beta} = \ emptyset \} | <{\ mathfrak {n}}}$

Se for um espaço ξ-adico, então tem a propriedade para cada cardinal infinito . Segue deste resultado que nenhum espaço infinito ξ-adic de Hausdorff pode ser um espaço extremalmente desconectado . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ mathfrak {n}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}$

Espaço hádico

Os espaços hádicos foram introduzidos por Eric van Douwen . Eles estão definidos da seguinte forma.

Deixe ser um espaço de Hausdorff. Denotamos pelo hiperespaço de . Definimos o subespaço de por . Uma base de é a família de todos os conjuntos do formulário , onde é qualquer número inteiro e estão abertos em . Se for compacto, dizemos que um espaço de Hausdorff é hádico se existe uma sobreposição contínua de para . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle J_ {2} (X)}$${\ displaystyle H (X)}$${\ displaystyle \ {F \ in H (X): | F | \ leq 2 \}}$${\ displaystyle H (X)}$${\ displaystyle \ langle U_ {0}, \ dots, U_ {n} \ rangle = \ {F \ in H (X): F \ subseteq U_ {0} \ cup \ dots \ cup U_ {n}, F \ cap U_ {i} \ neq \ emptyset {\ text {para}} 0 \ leq i \ leq n \}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle H (X)}$${\ displaystyle Y}$

Espaços poliádicos são hádicos.

Veja também

• Espaço diádico
• Eberlein compactum
• Espaço de pedra
• Compactação Stone – Čech
• Espaço supercompacto

Referências