Semigrupo inverso - Inverse semigroup

No grupo teoria, uma semigroup inversa (ocasionalmente chamado um semigroup inversão ) S é um semigroup em que cada elemento de x em S tem uma única inversa y em S no sentido em que x = xyx e y = yxy , ou seja, um semigroup regulares nos quais cada elemento tem um inverso único. Semigrupos inversos aparecem em uma variedade de contextos; por exemplo, eles podem ser empregados no estudo de simetrias parciais .

(A convenção seguida neste artigo será a de escrever uma função à direita de seu argumento, por exemplo, xf em vez de f (x) , e compor funções da esquerda para a direita - uma convenção frequentemente observada na teoria dos semigrupos.)

Origens

Os semigrupos inversos foram introduzidos independentemente por Viktor Vladimirovich Wagner na União Soviética em 1952 e por Gordon Preston no Reino Unido em 1954. Ambos os autores chegaram aos semigrupos inversos através do estudo de bijeções parciais de um conjunto : uma transformação parcial α de um conjunto X é uma função de a para B , onde a e B são subconjuntos de X . Sejam α e β transformações parciais de um conjunto X ; α e β podem ser compostos (da esquerda para a direita) no maior domínio sobre o qual "faz sentido" compô-los:

${\ displaystyle \ operatorname {dom} \ alpha \ beta = [\ operatorname {im} \ alpha \ cap \ operatorname {dom} \ beta] \ alpha ^ {- 1} \,}$

onde α ⁻¹ denota a pré - imagem sob  α . As transformações parciais já haviam sido estudadas no contexto de pseudogrupos . Foi Wagner, entretanto, o primeiro a observar que a composição de transformações parciais é um caso especial de composição de relações binárias . Ele reconheceu também que o domínio de composição de duas transformações parciais pode ser o conjunto vazio , então ele introduziu uma transformação vazia para levar isso em consideração. Com a adição dessa transformação vazia, a composição das transformações parciais de um conjunto torna-se uma operação binária associativa definida em todos os lugares . Sob esta composição, a coleção de todas as transformações parciais um-um de um conjunto X forma um semigrupo inverso, chamado de semigrupo inverso simétrico (ou monóide) em X , com o inverso o inverso funcional definido da imagem para o domínio (equivalentemente, a relação inversa ) Este é o semigrupo inverso "arquetípico", da mesma forma que um grupo simétrico é o grupo arquetípico . Por exemplo, assim como cada grupo pode ser embutido em um grupo simétrico , cada semigrupo inverso pode ser embutido em um semigrupo inverso simétrico (ver § Homomorfismos e representações de semigrupos inversos abaixo). ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}}$

O básico

O inverso de um elemento x de um semigrupo S inverso é geralmente escrito x ⁻¹ . Inversos em um semigrupo inverso têm muitas das mesmas propriedades que inversos em um grupo , por exemplo, ( ab ) ⁻¹ = b ⁻¹ a ⁻¹ . Em um monóide inverso , xx ⁻¹ e x ⁻¹ x não são necessariamente iguais à identidade, mas ambos são idempotentes . Um monóide inverso S em que xx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ x , para todo x em S (um monóide inverso unipotente ), é, naturalmente, um grupo .

Existem várias caracterizações equivalentes de um semigrupo S inverso :

• Cada elemento de S tem um inverso único, no sentido acima.
• Cada elemento de S tem pelo menos um inverso ( S é um semigrupo regular ) e os idempotentes comutam (isto é, os idempotentes de S formam um semilattice ).
• Cada -class e cada -class contém precisamente um idempotente , onde e são duas das relações de Green .${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

O idempotente na -classe de s é s ⁻¹ s , enquanto o idempotente na -classe de s é ss ⁻¹ . Há, portanto, uma caracterização simples das relações de Green em um semigrupo inverso: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle a \, {\ mathcal {L}} \, b \ Longleftrightarrow a ^ {- 1} a = b ^ {- 1} b, \ quad a \, {\ mathcal {R}} \, b \ Longleftrightarrow aa ^ {- 1} = bb ^ {- 1}}$

A menos que indicado de outra forma, E (S) denotará o semilattice de idempotentes de um semigrupo S inverso .

Exemplos de semigrupos inversos

• Bijeções parciais em um conjunto X formam um semigrupo inverso sob composição.
• Cada grupo é um semigrupo inverso.
• O semigrupo bicíclico é inverso, com ( a , b ) ⁻¹ = ( b , a ).
• Cada semilattice é inversa.
• O semigrupo Brandt é inverso.
• O semigrupo Munn é inverso.

Exemplo de tabela de multiplicação. É associativo e cada elemento tem seu próprio inverso de acordo com aba = a, bab = b. Não tem identidade e não é comutativo.

Semigrupo inverso

E	uma	b	c	d	e
uma	uma	uma	uma	uma	uma
b	uma	b	c	uma	uma
c	uma	uma	uma	b	c
d	uma	d	e	uma	uma
e	uma	uma	uma	d	e

A ordem parcial natural

Um semigrupo inverso S possui uma relação de ordem parcial natural ≤ (às vezes denotada por ω), que é definida pelo seguinte:

${\ displaystyle a \ leq b \ Longleftrightarrow a = eb,}$

por algum idempotente e em S . Equivalentemente,

${\ displaystyle a \ leq b \ Longleftrightarrow a = bf,}$

para alguns (em geral, diferente) idempotente f em S . Na verdade, e pode ser feita para ser aA ^-1 e M ser um ^-1 um .

A ordem parcial natural é compatível com a multiplicação e inversão, ou seja,

${\ displaystyle a \ leq b, c \ leq d \ Longrightarrow ac \ leq bd}$

e

${\ displaystyle a \ leq b \ Longrightarrow a ^ {- 1} \ leq b ^ {- 1}.}$

Em um grupo , essa ordem parcial simplesmente se reduz à igualdade, uma vez que a identidade é a única idempotente . Em um semigrupo simétrico inverso, a ordem parcial se reduz à restrição de mapeamentos, ou seja, α ≤ β se, e somente se, o domínio de α estiver contido no domínio de β e x α = x β, para todo x no domínio de α.

A ordem parcial natural em um semigrupo inverso interage com as relações de Green da seguinte maneira: se s ≤ t e s t , então s = t . Da mesma forma, se s t . ${\ displaystyle \, {\ mathcal {L}} \,}$${\ displaystyle \, {\ mathcal {R}} \,}$

Em E (S) , a ordem parcial natural torna-se:

${\ displaystyle e \ leq f \ Longleftrightarrow e = ef,}$

então, uma vez que os idempotentes formam um semilattice sob a operação do produto, os produtos em E (S) fornecem os limites superiores mínimos em relação a ≤.

Se E (S) é finito e forma uma cadeia (ou seja, E (S) é totalmente ordenado por ≤), então S é uma união de grupos . Se E (S) é uma cadeia infinita , é possível obter um resultado análogo sob hipóteses adicionais em S e E (S).

Homomorfismos e representações de semigrupos inversos

Um homomorfismo (ou morfismo ) de semigrupos inversos é definido exatamente da mesma maneira que para qualquer outro semigrupo: para semigrupos inversos S e T , uma função θ de S para T é um morfismo se ( sθ ) ( tθ ) = ( st ) θ , para todos s , t em s . A definição de um morfismo de semigrupos inversos poderia ser aumentada incluindo a condição ( sθ ) ⁻¹ = s ⁻¹ θ , entretanto, não há necessidade de fazê-lo, uma vez que esta propriedade segue da definição acima, através do seguinte teorema:

Teorema. A imagem homomórfica de um semigrupo inverso é um semigrupo inverso; o inverso de um elemento é sempre mapeado para o inverso da imagem desse elemento.

Um dos primeiros resultados provados sobre semigrupos inversos foi o Teorema de Wagner-Preston , que é um análogo do Teorema de Cayley para grupos :

Teorema de Wagner-Preston. Se S é um semigrupo inverso, então a função φ de S para , dada por ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {S}}$

dom ( a φ) = Sa ⁻¹ e x ( a φ) = xa

é um fiel representação de S .

Assim, qualquer semigrupo inverso pode ser embutido em um semigrupo inverso simétrico, e com a imagem fechada sob a operação inversa em bijeções parciais. Por outro lado, qualquer subsemigrupo do semigrupo inverso simétrico fechado sob a operação inversa é um semigrupo inverso. Portanto, um semigrupo S é isomorfo a um subsemigrupo do semigrupo inverso simétrico fechado sob inversos se e somente se S for um semigrupo inverso.

Congruências sobre semigrupos inversos

As congruências são definidas em semigrupos inversos exatamente da mesma maneira que para qualquer outro semigrupo: uma congruência ρ é uma relação de equivalência que é compatível com a multiplicação de semigrupos, ou seja,

${\ displaystyle a \, \ rho \, b, \ quad c \, \ rho \, d \ Longrightarrow ac \, \ rho \, bd.}$

De particular interesse é a relação , definida em um semigrupo S inverso por ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle a \, \ sigma \, b \ Longleftrightarrow}$existe um com${\ displaystyle c \ in S}$${\ displaystyle c \ leq a, b.}$

Pode-se mostrar que σ é uma congruência e, de fato, é uma congruência de grupo , significando que o fator semigrupo S / σ é um grupo. No conjunto de todas as congruências de grupo em um semigrupo S , o elemento mínimo (para a ordem parcial definida pela inclusão de conjuntos) não precisa ser o menor elemento. No caso específico em que S é um semigrupo inverso σ é a menor congruência em S tal que S / σ é um grupo, ou seja, se τ for qualquer outra congruência em S com S / τ um grupo, então σ está contido em τ . A congruência σ é chamado de congruência grupo mínimo em S . A congruência de grupo mínima pode ser usada para dar uma caracterização de semigrupos inversos E -unitários (ver abaixo).

Uma congruência ρ em um semigrupo S inverso é chamada pura idempotente se

${\ displaystyle a \ in S, e \ in E (S), a \, \ rho \, e \ Longrightarrow a \ in E (S).}$

Semigrupos inversos E -unitários

Uma classe de semigrupos inversos que tem sido estudada extensivamente ao longo dos anos é a classe dos semigrupos inversos E -unitários: um semigrupo S inverso (com semilattice E de idempotentes ) é E - unitário se, para todo e em E e todo s em S ,

${\ displaystyle es \ in E \ Longrightarrow s \ in E.}$

Equivalentemente,

${\ displaystyle se \ in E \ Rightarrow s \ in E.}$

Uma posterior caracterização de um E inversa -unitary semigroup S é a seguinte: se e está em E e E ≤ s , para alguns s em S , em seguida, s é em E .

Teorema. Seja S um semigrupo inverso com semilattice E de idempotentes e congruência de grupo mínima σ . Então, o seguinte é equivalente:

• S é E -unitário;
• σ é idempotente puro;
• ${\ displaystyle \ sim}$= σ ,

onde está a relação de compatibilidade em S , definida por ${\ displaystyle \ sim}$

${\ displaystyle a \ sim b \ Longleftrightarrow ab ^ {- 1}, a ^ {- 1} b}$ são idempotentes.

Teorema da Cobertura de McAlister. Todo semigrupo S inverso tem uma capa E-unitária; isto é, existe um idempotente separando o homomorfismo sobrejetivo de algum semigrupo T E-unitário em S.

Central para o estudo dos semigrupos inversos E -unitários é a seguinte construção. Seja um conjunto parcialmente ordenado , com ordenação ≤, e seja um subconjunto de com as propriedades que ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$é uma semilática inferior , ou seja, todo par de elementos A , B em tem um maior limite inferior A B em (em relação a ≤);${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$ ${\ displaystyle \ wedge}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$é um ideal de ordem de , ou seja, para A , B em , se A está em e B ≤ A , então B está em .${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$

Agora vamos G ser um grupo que atua em (à esquerda), de tal forma que ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

• para todo g em G e todo A , B em , gA = gB se, e somente se, A = B ;${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$
• para cada g em G e cada B em , existe um A em que gA = B ;${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$
• para todo A , B em , A ≤ B se, e somente se, gA ≤ gB ;${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$
• para todos g , h em L e todos Um em , g ( hA ) = ( GH ) Uma .${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

O triplo também é considerado como tendo as seguintes propriedades: ${\ displaystyle (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$

• para cada X em , existe um g em G e um A em que gA = X ;${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$
• para todos g em G , g e tem intersecção não vazio.${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$

Esse triplo é chamado de triplo de McAlister . Um triplo de McAlister é usado para definir o seguinte: ${\ displaystyle (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$

${\ displaystyle P (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}}) = \ {(A, g) \ in {\ mathcal {Y}} \ times G: g ^ {- 1} A \ in {\ mathcal {Y}} \}}$

junto com a multiplicação

${\ displaystyle (A, g) (B, h) = (A \ wedge gB, gh)}$.

Então é um semigrupo inverso sob esta multiplicação, com ( A , g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ A , g ⁻¹ ). Um dos principais resultados no estudo de semigrupos inversos E -unitários é o Teorema P de McAlister : ${\ displaystyle P (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$

Teorema P de McAlister. Deixe ser um triplo McAlister. Então é um semigrupo E -unitário inverso. Por outro lado, todo semigrupo inverso E -unitário é isomórfico a um desse tipo. ${\ displaystyle (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$${\ displaystyle P (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$

F -semigrupos inversos

Diz-se que um semigrupo inverso é F -inverso se cada elemento tiver um elemento máximo único acima dele na ordem parcial natural, ou seja, toda classe σ tem um elemento máximo. Cada semigrupo F- inverso é um monóide E -unitário. O teorema de cobertura de McAlister foi refinado por MV Lawson para:

Teorema. Cada semigrupo inverso tem uma cobertura F- inversa .

O teorema P de McAlister também foi usado para caracterizar os semigrupos F inversos. Um triplo de McAlister é um semigrupo F- inverso se, e somente se, for um ideal principal de e for um semilattice. ${\ displaystyle (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Semigrupos inversos livres

Uma construção semelhante a um grupo livre é possível para semigrupos inversos. Uma apresentação do semigrupo inverso livre em um conjunto X pode ser obtida considerando o semigrupo livre com involução , onde a involução é a tomada do inverso, e então tomando o quociente pela congruência de Vagner

${\ displaystyle \ {(xx ^ {- 1} x, x), \; (xx ^ {- 1} yy ^ {- 1}, yy ^ {- 1} xx ^ {- 1}) \; | \ ; x, y \ in (X \ xícara X ^ {- 1}) ^ {+} \}.}$

O problema da palavra para semigrupos inversos livres é muito mais complexo do que para grupos livres. Um resultado celebrado nesta área devido a WD Munn que mostrou que os elementos do semigrupo inverso livre podem ser naturalmente considerados como árvores, conhecidas como árvores Munn. A multiplicação no semigrupo inverso livre tem um correspondente nas árvores Munn , que consiste essencialmente na sobreposição de porções comuns das árvores. (veja Lawson 1998 para mais detalhes)

Qualquer semigrupo inverso livre é F -inverso.

Conexões com a teoria da categoria

A composição acima das transformações parciais de um conjunto dá origem a um semigrupo simétrico inverso. Existe outra forma de composição das transformações parciais, mais restritiva do que a utilizada acima: duas transformações parciais α e β são compostas se, e somente se, a imagem de α for igual ao domínio de β ; caso contrário, a composição αβ é indefinida. Sob essa composição alternativa, a coleção de todas as transformações um-um parciais de um conjunto forma não um semigrupo inverso, mas um grupóide indutivo , no sentido da teoria das categorias . Esta conexão próxima entre semigrupos inversos e grupóides indutivos é incorporada no Teorema de Ehresmann – Schein – Nambooripad , que afirma que um grupóide indutivo pode sempre ser construído a partir de um semigrupo inverso, e vice-versa. Mais precisamente, um semigrupo inverso é precisamente um grupóide na categoria de posets que é um grupóide étale com respeito à sua topologia Alexandrov (dual) e cujo poset de objetos é um semilattice encontro.

Generalizações de semigrupos inversos

Como observado acima, um semigrupo S inverso pode ser definido pelas condições (1) S é um semigrupo regular e (2) os idempotentes em S comutam; isso levou a duas classes distintas de generalizações de um semigrupo inverso: semigrupos nos quais (1) é válido, mas (2) não, e vice-versa.

Exemplos de generalizações regulares de um semigrupo inverso são:

• Semigrupos regulares : um semigrupo S é regular se cada elemento tem pelo menos um inverso; equivalentemente, para cada a em S , há um x em S tal que axa = a .
• Semigrupos localmente inversos : um semigrupo regular S é localmente inverso se eSe for um semigrupo inverso, para cada e idempotente .
• Semigrupos ortodoxos : um semigrupo regular S é ortodoxo se seu subconjunto de idempotentes formar um subsemigrupo.
• Semigrupos inversos generalizados : um semigrupo regular S é chamado de semigrupo inverso generalizado se seus idempotentes formam uma banda normal, isto é, xyzx = xzyx , para todos os idempotentes x , y , z .

A classe dos semigrupos inversos generalizados é a intersecção da classe dos semigrupos localmente inversos e da classe dos semigrupos ortodoxos.

Entre as generalizações não regulares de um semigrupo inverso estão:

• (Esquerda, direita, bilateral) semigrupos adequados.
• (Esquerda, direita, frente e verso) semigrupos amplos.
• (Esquerda, direita, dois lados) semigrupos semiadequados.
• Semigrupos fracamente (esquerdo, direito, bilateral) amplos.

Categoria inversa

Essa noção de inverso também se generaliza prontamente para categorias . Uma categoria inversa é simplesmente uma categoria na qual cada morfismo f  : X → Y tem um generalizada inversa g  : Y → X tal que FGF = f e GFG = g . Uma categoria inversa é autoduplicada . A categoria de conjuntos e bijeções parciais é o principal exemplo.

As categorias inversas encontraram várias aplicações na ciência da computação teórica .

Veja também

Notas

Referências

• Clifford, AH; Preston, GB (1967). The Algebraic Theory of Semigroups . Pesquisas matemáticas da American Mathematical Society. 7 . ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Fountain, JB (1979). "Semigrupos adequados" . Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society . 22 (2): 113–125. doi : 10.1017 / S0013091500016230 .
• Gołab, St. (1939). "Über den Begriff der" Pseudogruppe von Transformationen " ". Mathematische Annalen (em alemão). 116 : 768–780. doi : 10.1007 / BF01597390 .
• Exel, R. (1998). “Ações parciais de grupos e ações de semigrupos inversos”. Proceedings of the American Mathematical Society . 126 (12): 3481–4. arXiv : funct-an / 9511003 . doi : 10.1090 / S0002-9939-98-04575-4 .
• Gould, V. "(Fracamente) deixou semigrupos E-amplos" . Arquivado do original (PostScript) em 26/08/2005 . Página visitada em 2006-08-28 .
• Howie, JM (1995). Fundamentos da Teoria de Semigrupos . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0198511949.
• Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: a teoria das simetrias parciais . World Scientific. ISBN 9810233167.
• McAlister, DB (1974a). “Grupos, semilattices e semigrupos inversos”. Transactions of the American Mathematical Society . 192 : 227–244. doi : 10.2307 / 1996831 . JSTOR  1996831 .
• McAlister, DB (1974b). “Grupos, semilattices e semigrupos inversos II” . Transactions of the American Mathematical Society . 196 : 351–370. doi : 10.2307 / 1997032 . JSTOR  1997032 .
• Petrich, M. (1984). Semigrupos inversos . Wiley. ISBN 0471875457.
• Preston, GB (1954a). "Semi-grupos inversos". Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 396–403. doi : 10.1112 / jlms / s1-29.4.396 .
• Preston, GB (1954b). “Semigrupos inversos com ideais mínimos corretos”. Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 404–411. doi : 10.1112 / jlms / s1-29.4.404 .
• Preston, GB (1954c). “Representações de semigrupos inversos”. Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 411–9. doi : 10.1112 / jlms / s1-29.4.411 .
• Schein, BM (1981). "Obituário: Viktor Vladimirovich Vagner (1908–1981)". Fórum Semigroup . 28 : 189–200. doi : 10.1007 / BF02676643 .
• Schein, BM (2002). "Book Review:" Inverse Semigroups: The Theory of Partial Symmetries "por Mark V. Lawson". Fórum Semigroup . 65 : 149–158. doi : 10.1007 / s002330010132 .
• Wagner, VV (1952). "Grupos generalizados". Anais da Academia de Ciências da URSS (em russo). 84 : 1119–1122. Tradução em inglês (PDF)
• Wagner, VV (1953). "A teoria dos heaps generalizados e grupos generalizados". Matematicheskii Sbornik . Novaya Seriya (em russo). 32 (74): 545–632.

Leitura adicional

• Para uma breve introdução aos semigrupos inversos, consulte Clifford & Preston 1967 , Capítulo 7 ou Howie 1995 , Capítulo 5.
• Introduções mais abrangentes podem ser encontradas em Petrich 1984 e Lawson 1998 .
• Linckelmann, M. (2012). "Sobre categorias inversas e transferência em cohomologia" (PDF) . Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society . 56 : 187. doi : 10.1017 / S0013091512000211 . Pré-impressão de acesso aberto