Análise hipercomplexa - Hypercomplex analysis

Em matemática, a análise hipercomplexa é a extensão da análise real e da análise complexa para o estudo de funções em que o argumento é um número hipercomplexo . A primeira instância são funções de uma variável de quatérnio , onde o argumento é um quatérnio . Uma segunda instância envolve funções de uma variável motora onde os argumentos são números complexos divididos .

Na física matemática , existem sistemas hipercomplexos chamados álgebras de Clifford . O estudo de funções com argumentos de uma álgebra de Clifford é chamado de análise de Clifford .

Uma matriz pode ser considerada um número hipercomplexo. Por exemplo, o estudo de funções de matrizes reais 2 × 2 mostra que a topologia do espaço dos números hipercomplexos determina a teoria da função. Funções como raiz quadrada de uma matriz , matriz exponencial e logaritmo de uma matriz são exemplos básicos de análise hipercomplexa. A teoria da função de matrizes diagonalizáveis é particularmente transparente, uma vez que possuem composições independentes . Suponha onde E _i são projeções . Então, para qualquer polinômio${\ displaystyle \ textstyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ lambda _ {i} E_ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle f, \ quad f (T) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} f (\ lambda _ {i}) E_ {i}.}$

A terminologia moderna para um "sistema de números hipercomplexos" é uma álgebra sobre os números reais , e as álgebras usadas nas aplicações são frequentemente álgebras de Banach, uma vez que as sequências de Cauchy podem ser consideradas convergentes. Então, a teoria da função é enriquecida por sequências e séries . Neste contexto, a extensão das funções holomórficas de uma variável complexa é desenvolvida como o cálculo funcional holomórfico . A análise hipercomplexa em álgebras de Banach é chamada de análise funcional .

Veja também

• Giovanni Battista Rizza

Referências

Fontes

• Daniel Alpay (ed.) (2006) Wavelets, Multiscale systems and Hypercomplex Analysis , Springer, ISBN  9783764375881 .
• Enrique Ramirez de Arellanon (1998) Operator theory for complex and hypercomplex analysis , American Mathematical Society ( Anais de conferência de uma reunião na Cidade do México em dezembro de 1994).
• JA Emanuello (2015) Análise de funções de variáveis ​​do complexo dividido, multi-complexo e quaterniônico dividido e suas geometrias conformadas associadas , Ph.D. Tese, Florida State University
• Sorin D. Gal (2004) Introdução à teoria da função geométrica de variáveis ​​hipercomplexas , Nova Science Publishers, ISBN  1-59033-398-5 .
• R. Lavika & AG O 'Farrell & I. Short (2007) "Mapas reversíveis no grupo de transformações de Möbius quaterniônicas", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 143: 57–69.
• Irene Sabadini e Franciscus Sommen (eds.) (2011) Hypercomplex Analysis and Applications , Birkhauser Mathematics.
• Irene Sabadini & Michael V. Shapiro & F. Sommen (editores) (2009) Hypercomplex Analysis , Birkhauser ISBN  978-3-7643-9892-7 .
• Sabadini, Sommen, Struppa (eds.) (2012) Advances in Hypercomplex Analysis , Springer.