Operador densamente definido - Densely defined operator

Em matemática - especificamente, na teoria do operador - um operador densamente definido ou operador parcialmente definido é um tipo de função parcialmente definida . Em um sentido topológico , é um operador linear definido " quase em todos os lugares ". Operadores densamente definidos freqüentemente surgem na análise funcional como operações que alguém gostaria de aplicar a uma classe maior de objetos do que aqueles para os quais eles, a priori, "fazem sentido".

Definição

Um densamente definido operador linear a partir de um espaço vectorial topológico , para um outro, é um operador linear que é definida em um denso linear subespaço de e toma valores no escrito Por vezes, este é abreviado como T  : X → Y quando o contexto indica claramente que pode não ser o domínio teórico do conjunto de${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle Y,}$${\ displaystyle \ operatorname {dom} (T)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y,}$${\ displaystyle T: \ operatorname {dom} (T) \ subseteq X \ a Y.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T.}$

Exemplos

Considere o espaço de todos os valores reais , funções contínuas definidas no intervalo unidade; deixe denotar o subespaço que consiste em todas as funções continuamente diferenciáveis . Equipar-se com a norma suprema ; isso faz com que seja um verdadeiro espaço de Banach . O operador de diferenciação dado por${\ displaystyle C ^ {0} ([0,1]; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle C ^ {1} ([0,1]; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle C ^ {0} ([0,1]; \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | _ {\ infty}}$${\ displaystyle C ^ {0} ([0,1]; \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle D}$

é um operador densamente definido de para si mesmo, definido no subespaço denso. O operador D é um exemplo de um operador linear ilimitado , uma vez que ${\ displaystyle C ^ {0} ([0,1]; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle C ^ {1} ([0,1]; \ mathbb {R}).}$

$${\ displaystyle u_ {n} (x) = e ^ {- nx} \ quad {\ text {has}} \ quad {\ frac {\ left \ | \ mathrm {D} u_ {n} \ right \ | _ {\ infty}} {\ left \ | u_ {n} \ right \ | _ {\ infty}}} = n.}$$

Essa falta de limites causa problemas se alguém deseja de alguma forma estender continuamente o operador de diferenciação para todo o${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C ^ {0} ([0,1]; \ mathbb {R}).}$

A integral de Paley-Wiener , por outro lado, é um exemplo de extensão contínua de um operador densamente definido. Em qualquer espaço Wiener abstrato com

adjunto, há um operador linear contínuo natural (na verdade, é a inclusão, e é uma isometria ) de para o qual vai para a classe de equivalência de em Pode ser mostrado que é denso em Visto que a inclusão acima é contínua, há uma extensão linear contínua única da inclusão ao todo. Esta extensão é o mapa de Paley-Wiener. ${\ displaystyle i: H \ to E}$ ${\ displaystyle j: = i ^ {*}: E ^ {*} \ a H,}$${\ displaystyle j \ left (E ^ {*} \ right)}$${\ displaystyle L ^ {2} (E, \ gamma; \ mathbb {R}),}$${\ displaystyle j (f) \ in j \ left (E ^ {*} \ right) \ subseteq H}$ ${\ displaystyle [f]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {2} (E, \ gamma; \ mathbb {R}).}$${\ displaystyle j \ left (E ^ {*} \ right)}$${\ displaystyle H.}$${\ displaystyle I: H \ to L ^ {2} (E, \ gamma; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle j \ left (E ^ {*} \ right) \ para L ^ {2} (E, \ gamma; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle H.}$

Veja também

• Teorema do gráfico fechado (análise funcional)  - Teoremas para deduzir a continuidade do gráfico de uma função
• Função parcial  - Função cujo domínio real de definição pode ser menor do que seu domínio aparente

Referências

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Uma introdução às equações diferenciais parciais . Textos em Matemática Aplicada 13 (Segunda edição). Nova York: Springer-Verlag. pp. xiv + 434. ISBN 0-387-00444-0. MR  2028503 .