Opérateur densément défini - Densely defined operator

En mathématiques - plus précisément, en théorie des opérateurs - un opérateur densément défini ou un opérateur partiellement défini est un type de fonction partiellement définie . Au sens topologique , c'est un opérateur linéaire qui se définit « presque partout ». Les opérateurs densément définis apparaissent souvent dans l'analyse fonctionnelle comme des opérations que l'on aimerait appliquer à une classe d'objets plus large que ceux pour lesquels ils ont a priori "un sens".

Définition

Un opérateur linéaire densément défini d'un espace vectoriel topologique , à un autre, est un opérateur linéaire qui est défini sur un sous- espace linéaire dense de et prend des valeurs écrites Parfois, cela est abrégé en T  : X → Y lorsque le contexte indique clairement que pourrait ne pas être le domaine de la théorie des ensembles de${\style d'affichage T}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage Y,}$${\displaystyle \operatorname {dom} (T)}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y,}$${\displaystyle T:\operatorname {dom} (T)\subseteq X\to Y.}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle T.}$

Exemples

Considérez l'espace de toutes les valeurs réelles , des fonctions continues définies sur l'intervalle unitaire; laisser désigner le sous - espace consistant en toutes les fonctions continûment différentiables . Equipé de la norme supremum ; cela en fait un véritable espace Banach . L' opérateur de différenciation donné par${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{\infty }}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\style d'affichage D}$

est un opérateur densément défini de à lui-même, défini sur le sous-espace dense L'opérateur D est un exemple d' opérateur linéaire non borné , puisque ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ a }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_ {\infty }}{\gauche\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n.}$$

Cette délimitation pose des problèmes si l'on souhaite étendre d'une manière ou d'une autre l'opérateur de différenciation à l'ensemble de${\style d'affichage D}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).}$

L' intégrale de Paley-Wiener , d'autre part, est un exemple d'extension continue d'un opérateur densément défini. Dans tout espace de Wiener abstrait avec

adjoint, il existe un opérateur linéaire continu naturel (en fait c'est l'inclusion, et c'est une isométrie ) de à sous qui va à la classe d'équivalence de dans On peut montrer que est dense dans Depuis l'inclusion ci-dessus est continue, il existe une unique extension linéaire continue de l'inclusion à l'ensemble de Cette extension est l'application de Paley-Wiener. ${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle j:=i^{*}:E^{*}\to H,}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),}$${\displaystyle j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H}$ ${\style d'affichage [f]}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$${\style d'affichage H.}$${\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$${\style d'affichage H.}$

Voir également

• Théorème du graphe fermé (analyse fonctionnelle)  - Théorèmes pour déduire la continuité du graphe d'une fonction
• Fonction partielle  - Fonction dont le domaine réel de définition peut être plus petit que son domaine apparent

Les références

• Renardy, Michel ; Rogers, Robert C. (2004). Introduction aux équations aux dérivées partielles . Textes en mathématiques appliquées 13 (deuxième éd.). New York : Springer-Verlag. p. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR  2028503 .