Notacja wektorowa - Vector notation

Notacja wektorowa

Strzałka wektora
wskazująca od A do B.

Składniki wektora
opisujących wektor strzałki V w swoich współrzędnych x i y otrzymuje się izomorfizm przestrzeni wektorowej.

Iloczyn skalarny
Dwie równej długości sekwencje wektorów współrzędnych i zwraca jedną liczbę

Iloczyn wektorowy Iloczyn
poprzeczny w odniesieniu do prawoskrętnego układu współrzędnych

W matematycznych i fizycznych , notacja wektor jest powszechnie używane notacja dla reprezentujących wektorów , które mogą być wektory geometrycznych , albo, bardziej ogólnie, z nami o przestrzeń wektorową .

W przypadku wektorów powszechną konwencją typograficzną są małe litery, pionowo pogrubioną czcionką, jak w v . Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) zaleca albo Bold Serif, jak w V lub non-Bold serif akcentowane przez strzałkę w prawo, jak w . ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

W zaawansowanej matematyce wektory są często przedstawiane prostą kursywą, jak każda zmienna .

Historia

Koncepcja wektora została wymyślona przez WR Hamiltona około 1843 r., Kiedy ujawnił kwaterniony , system, który wykorzystuje wektory i skalary do rozciągania czterowymiarowej przestrzeni. Dla kwaternionu q = a + b i + c j + d k, Hamilton użył dwóch rzutów: S q = a , dla części skalarnej q , i V q = b i + c j + d k, część wektorowa. Używając współczesnych terminów iloczynu krzyżowego (x) i iloczynu skalarnego (.), Iloczyn kwaternionu dwóch wektorów p i q można zapisać pq = - p . q + p × q . W 1878 roku WK Clifford odciął te dwa produkty, aby operacja kwaternionu była użyteczna dla uczniów w jego podręczniku Elements of Dynamic . Wykładając na Uniwersytecie Yale , Josiah Willard Gibbs przedstawił notację iloczynu skalarnego i wektorowego , która została wprowadzona w analizie wektorowej .

W 1891 roku Oliver Heaviside przekonywał Clarendona, aby odróżniał wektory od skalarów. Skrytykował użycie greckich liter przez Taita i gotyckich przez Maxwella.

W 1912 roku JB Shaw przyczynił się jego „porównawczy zapisem wektorowym wyrazu” do Biuletynu w quaternion Society . Następnie Alexander Macfarlane opisał 15 kryteriów wyraźnej ekspresji za pomocą wektorów w tej samej publikacji.

Koncepcje wektorów rozwinął Hermann Grassmann w 1841 r. I ponownie w 1862 r. W języku niemieckim . Ale matematycy niemieccy nie byli tak bardzo zajęci kwaternionami, jak matematycy anglojęzyczni. Kiedy Felix Klein organizował niemiecką encyklopedię matematyczną , zlecił Arnoldowi Sommerfeldowi standaryzację notacji wektorowej. W 1950 r., Kiedy Academic Press opublikowało tłumaczenie drugiego wydania tomu 2 Wykładów z fizyki teoretycznej Sommerfelda G. Kuertiego , notacji wektorowej poświęcono przypis: „W oryginalnym niemieckim tekście wektory i ich komponenty są drukowane w te same typy gotyckie. W tym przekładzie przyjęto bardziej typowy sposób rozróżnienia między nimi ”.

Wektory prostokątne

Prostokąt

Prostokątny prostopadłościan

Wektor prostokątny to wektor współrzędnych określony przez komponenty definiujące prostokąt (lub prostokątny pryzmat w trzech wymiarach i podobne kształty w większych wymiarach). Punkt początkowy i punkt końcowy wektora leżą na przeciwnych końcach prostokąta (lub graniastosłupa itp.).

Zapis z zestawu uporządkowanego

Prostokątny wektor w programie można określić za pomocą uporządkowanego zestawu komponentów, umieszczonych w nawiasach lub nawiasach ostrych. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

W ogólnym sensie n- wymiarowy wektor v można określić w jednej z następujących postaci:

• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {1}, v_ {2}, \ kropki, v_ {n-1}, v_ {n})}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ langle v_ {1}, v_ {2}, \ kropki, v_ {n-1}, v_ {n} \ rangle}$

Gdzie v ₁ , v ₂ ,…, v _{n  - 1} , v _n są składowymi v .

Notacja macierzowa

Wektor prostokątny w programie można również określić jako macierz wierszową lub kolumnową zawierającą uporządkowany zestaw komponentów. Wektor określony jako macierz wierszowa jest nazywany wektorem wierszowym ; jeden określony jako macierz kolumn jest znany jako wektor kolumnowy . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Ponownie, n- wymiarowy wektor można określić w dowolnej z następujących postaci za pomocą macierzy: ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ zaczynać {bmatrix} v_ {1} & v_ {2} & \ cdots & v_ {n-1} & v_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ zaczynać {pmatrix} v_ {1} & v_ {2} & \ cdots & v_ {n-1} & v_ {n} \ end {pmatrix}}}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\\ vdots \\ v_ {n-1} \\ v_ {n} \ koniec {bmatrix}} = {\ begin {pmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\\ vdots \\ v_ {n-1} \\ v_ {n} \ end {pmatrix}}}$

gdzie v ₁ , v ₂ ,…, v _{n  - 1} , v _n są składowymi v . W niektórych zaawansowanych kontekstach wiersz i wektor kolumnowy mają różne znaczenie; zobacz kowariancję i kontrawariancję wektorów, aby uzyskać więcej informacji.

Notacja wektora jednostkowego

Prostokątny wektor w (lub mniej wymiarów, takich jak gdzie v _z poniżej wynosi zero) można określić jako sumę skalarnych wielokrotności składników wektora ze składnikami standardowej bazy w . Podstawą jest reprezentowany przez wektor jednostkowy , i . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ kapelusz {\ imath}}} = (1, 0, 0)}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ kapelusz {\ jmath}}} = (0,1,0)}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ kapelusz {k}}} = (0,0,1)}$

Trójwymiarowy wektor można określić w następującej postaci, używając notacji wektorów jednostkowych: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}}$

• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {x} {\ boldsymbol {\ hat {\ imath}}} + v_ {y} {\ boldsymbol {\ hat {\ jmath}}} + v_ {z} {\ boldsymbol {\ hat {k}}}}$

Gdzie v _x , v _y i v _z są skalarnymi składnikami v . Składniki skalarne mogą być dodatnie lub ujemne; bezwzględną wartością składnika skalarnego jest jego wielkość.

Wektory polarne

Punkty w układzie współrzędnych biegunowych biegun O a osią polarnym L . Na zielono punkt o współrzędnej promieniowej 3 i współrzędnej kątowej 60 stopni lub (3,60 °). Na niebiesko punkt (4210 °).

Dwie biegunowe współrzędne punktu na płaszczyźnie można uznać za wektor dwuwymiarowy. Taki wektor biegunowy składa się z wielkości (lub długości) i kierunku (lub kąta). Wielkość, zwykle reprezentowana jako r , to odległość od punktu początkowego, początku , do punktu, który jest reprezentowany. Kąt, zwykle reprezentowany jako θ ( grecka litera theta ), to kąt, zwykle mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, między ustalonym kierunkiem, zwykle dodatnim kątem osi x , a kierunkiem od początku do punktu. Kąt jest zwykle redukowany do zakresu w radianach lub . ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}$${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <360 ^ {\ circ}}$

Należy podkreślić, że wektor polarny nie jest tak naprawdę wektorem , ponieważ dodanie dwóch wektorów polarnych nie jest zdefiniowane.

Uporządkowany zestaw i notacja macierzowa

Wektory biegunowe można określić za pomocą notacji par uporządkowanych (podzbiór notacji zbioru uporządkowanego przy użyciu tylko dwóch składowych) lub notacji macierzowej, jak w przypadku wektorów prostokątnych. W tych formach pierwszą składową wektora jest r (zamiast v ₁ ), a drugą składową jest θ (zamiast v ₂ ). Aby odróżnić wektorów polarnych prostokątnych wektorów, kąt może być poprzedzona symbolem kąta . ${\ displaystyle \ angle}$

Dwuwymiarowy wektor polarny v można przedstawić jako dowolny z poniższych, używając uporządkowanej pary lub notacji macierzy:

• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (r, \ kąt \ theta)}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle r, \ angle \ theta \ rangle}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} r & \ angle \ theta \ end {bmatrix}}}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} r \\\ kąt \ theta \ koniec {bmatrix}}}$

gdzie r to wielkość, θ to kąt, a symbol kąta ( ) jest opcjonalny. ${\ displaystyle \ angle}$

Notacja bezpośrednia

Wektory biegunowe można również określić za pomocą uproszczonych równań autonomicznych, które wyraźnie definiują r i θ . Może to być nieporęczne, ale jest przydatne, aby uniknąć pomyłki z dwuwymiarowymi wektorami prostokątnymi, które powstają w wyniku użycia uporządkowanej notacji par lub macierzy.

Dwuwymiarowy wektor o wielkości 5 jednostek i kierunku π / 9 radianów (20 °) można określić za pomocą jednej z następujących postaci:

• ${\ displaystyle r = 5 \ \ theta = {\ pi \ ponad 9}}$
• ${\ Displaystyle r = 5 \ \ theta = 20 ^ {\ circ}}$

Wektory cylindryczne

Cylindrycznego układu z początku układu współrzędnych O , biegunowo A i osi wzdłużnej L . Kropka to punkt o odległości promieniowej ρ  = 4, współrzędnej kątowej φ  = 130 ° i wysokości z  = 4.

Wektor cylindryczny jest rozszerzeniem koncepcji wektorów biegunowych w trzech wymiarach. Jest to podobne do strzałki w cylindrycznym układzie współrzędnych . Wektor cylindryczny jest określony przez odległość w płaszczyźnie xy , kąt i odległość od płaszczyzny xy (wysokość). Pierwsza odległość, zwykle reprezentowana jako r lub ρ (grecka litera rho ), to wielkość rzutu wektora na płaszczyznę xy . Kąt, zwykle przedstawiany jako θ lub φ (grecka litera phi ), jest mierzony jako odsunięcie od linii współliniowej z osią x w kierunku dodatnim; kąt jest zwykle zmniejszany, aby mieścił się w zakresie . Druga odległość, zwykle reprezentowana jako h lub z , to odległość od płaszczyzny xy do punktu końcowego wektora. ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}$

Uporządkowany zestaw i notacja macierzowa

Wektory cylindryczne są określane jak wektory biegunowe, w których druga składowa odległości jest łączona jako trzecia składowa, tworząc uporządkowane triole (ponownie podzbiór uporządkowanej notacji zestawu) i macierze. Kąt może być poprzedzony symbolem kąta ( ); kombinacja odległość-kąt-odległość odróżnia wektory cylindryczne w tym zapisie od wektorów sferycznych w podobnym zapisie. ${\ displaystyle \ angle}$

Trójwymiarowy wektor cylindryczny v można przedstawić jako dowolny z poniższych, używając uporządkowanej notacji tripletowej lub macierzowej:

• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (r, \ kąt \ theta, h)}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle r, \ angle \ theta, h \ rangle}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} r & \ angle \ theta i h \ end {bmatrix}}}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} r \\\ kąt \ theta \\ h \ koniec {bmatrix}}}$

Gdzie r jest wielkością rzutu v na płaszczyznę xy , θ jest kątem między dodatnią osią x i v , a h jest wysokością od płaszczyzny xy do punktu końcowego v . Ponownie symbol kąta ( ) jest opcjonalny. ${\ displaystyle \ angle}$

Notacja bezpośrednia

Wektor cylindryczny można również określić bezpośrednio, używając uproszczonych równań autonomicznych, które definiują r (lub ρ ), θ (lub φ ) i h (lub z ). Przy wyborze nazw zmiennych, które mają być używane, należy stosować spójność; ρ nie powinno być mieszane z θ i tak dalej.

Trójwymiarowy wektor, którego wielkość rzutowania na płaszczyznę xy wynosi 5 jednostek, którego kąt względem dodatniej osi x wynosi π / 9 radianów (20 °) i którego wysokość od płaszczyzny xy wynosi 3 jednostki być określone w jednej z następujących form:

• ${\ Displaystyle r = 5 \ \ theta = {\ pi \ ponad 9} \ h = 3}$
• ${\ Displaystyle r = 5 \ \ theta = 20 ^ {\ circ} \ h = 3}$
• ${\ Displaystyle \ rho = 5 \ \ phi = {\ pi \ ponad 9} \ z = 3}$
• ${\ Displaystyle \ rho = 5 \ \ phi = 20 ^ {\ circ}, \ z = 3}$

Wektory sferyczne

Współrzędne sferyczne ( r , θ , φ ) często używane w matematyce : odległość promieniowa r , kąt azymutalny θ i kąt biegunowy φ . Znaczenia θ i φ zostały zamienione w porównaniu z konwencją fizyki.

Wektor sferyczny to kolejna metoda rozszerzenia koncepcji wektorów biegunowych na trzy wymiary. Jest to podobne do strzałki w sferycznym układzie współrzędnych . Wektor sferyczny jest określany za pomocą wielkości, kąta azymutu i kąta zenitu. Wielkość jest zwykle przedstawiana jako ρ . Kąt azymutu, zwykle reprezentowany jako θ , jest (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) przesunięciem od dodatniej osi x . Kąt zenitu, zwykle reprezentowany jako φ , jest przesunięciem od dodatniej osi z . Oba kąty są zwykle redukowane do zakresu od zera (włącznie) do 2 π (wyłącznie).

Uporządkowany zestaw i notacja macierzowa

Wektory sferyczne są określane podobnie jak wektory biegunowe, w których kąt zenitu jest łączony jako trzeci składnik w celu utworzenia uporządkowanych tripletów i macierzy. Kąty azymutu i zenitu mogą być poprzedzone symbolem kąta ( ); przedrostek powinien być używany konsekwentnie do tworzenia kombinacji odległość-kąt-kąt, która odróżnia wektory sferyczne od cylindrycznych. ${\ displaystyle \ angle}$

Trójwymiarowy sferyczny wektor v można przedstawić jako jeden z poniższych, używając uporządkowanej trioli lub notacji macierzowej:

• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (\ rho, \ kąt \ teta, \ kąt \ phi)}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle \ rho, \ angle \ theta, \ angle \ phi \ rangle}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ rho & \ angle \ theta i \ angle \ phi \ end {bmatrix}}}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ rho \\\ kąt \ theta \\\ kąt \ phi \ koniec {bmatrix}}}$

Gdzie ρ to wielkość, θ to kąt azymutu, a φ to kąt zenitu.

Notacja bezpośrednia

Podobnie jak wektory biegunowe i cylindryczne, wektory sferyczne można określić za pomocą uproszczonych równań autonomicznych, w tym przypadku dla ρ , θ i φ .

Trójwymiarowy wektor o wielkości 5 jednostek, którego kąt azymutu wynosi π / 9 radianów (20 °) i którego kąt zenitu wynosi π / 4 radiany (45 °) można określić jako:

• ${\ Displaystyle \ rho = 5 \ \ theta = {\ pi \ ponad 9} \ \ phi = {\ pi \ ponad 4}}$
• ${\ Displaystyle \ rho = 5 \ \ theta = 20 ^ {\ circ}, \ \ phi = 45 ^ {\ circ}}$

Operacje

W dowolnej przestrzeni wektorowej zdefiniowane są operacje dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Znormalizowane przestrzenie wektorowe definiują również operację znaną jako norma (lub określenie wielkości). Wewnętrzne przestrzenie produktowe również definiują operację zwaną iloczynem wewnętrznym. W programie iloczyn skalarny jest nazywany iloczynem skalarnym . W i zdefiniowano również dodatkową operację zwaną iloczynem krzyżowym . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$

Dodanie wektorowe

Dodawanie wektorów jest przedstawiane za pomocą znaku plus używanego jako operator między dwoma wektorami. Suma dwóch wektorów u i v byłaby reprezentowana jako:

${\ displaystyle \ mathbf {u} + \ mathbf {v}}$

Mnożenie przez skalar

Mnożenie przez skalar jest przedstawiane w ten sam sposób, co mnożenie przez algebraiczne. Skalar obok wektora (z których jeden lub oba mogą być w nawiasach) oznacza mnożenie przez skalar. Dwa powszechne operatory, kropka i obrócony krzyż, są również dopuszczalne (chociaż obrócony krzyż prawie nigdy nie jest używany), ale grożą pomyłką z iloczynami skalarnymi i iloczynami krzyżowymi, które działają na dwóch wektorach. Iloczyn skalara k z wektorem v można przedstawić w dowolnej z następujących modów:

• ${\ displaystyle k \ mathbf {v}}$
• ${\ Displaystyle k \ cdot \ mathbf {v}}$

Odejmowanie wektorów i dzielenie skalarne

Korzystając z algebraicznych właściwości odejmowania i dzielenia, wraz z mnożeniem przez skalar, można również „odjąć” dwa wektory i „podzielić” wektor przez skalar.

Odejmowanie wektorów jest wykonywane przez dodanie skalarnej wielokrotności −1 z drugim operandem wektora do pierwszego operandu wektora. Można to przedstawić za pomocą znaku minus jako operatora. Różnicę między dwoma wektorami u i v można przedstawić w jednej z następujących modów:

• ${\ displaystyle \ mathbf {u} + - \ mathbf {v}}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {u} - \ mathbf {v}}$

Dzielenie skalarne jest wykonywane przez pomnożenie operandu wektora przez liczbową odwrotność operandu skalarnego. Można to przedstawić za pomocą słupków ułamkowych lub znaków dzielenia jako operatorów. Iloraz wektora v i skalar c można przedstawić w jednej z następujących postaci:

• ${\ displaystyle {1 \ ponad c} \ mathbf {v}}$
• ${\ displaystyle {\ mathbf {v} \ ponad c}}$
• ${\ displaystyle {\ mathbf {v} \ div c}}$

Norma

Norma wektora jest reprezentowany z podwójnymi kreskami po obu stronach wektora. Normę wektora v można przedstawić jako:

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {v} \ |}$

Norma jest również czasami przedstawiana za pomocą pojedynczych słupków, na przykład , ale można to pomylić z wartością bezwzględną (która jest rodzajem normy). ${\ displaystyle | \ mathbf {v} |}$

Produkt wewnętrzny

Wewnętrzny produkt dwóch wektorów (znany również jako iloczyn skalarny, nie należy mylić z skalarnej mnożenia) przedstawiono w postaci pary uporządkowanej w nawiasach kątowych. Iloczyn skalarny dwóch wektorów u i v byłby reprezentowany jako:

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle}$

Iloczyn kropkowy

W programie iloczyn skalarny jest również nazywany iloczynem skalarnym . Oprócz standardowej notacji iloczynu wewnętrznego można również użyć notacji iloczynu skalarnego (używającego kropki jako operatora) (i jest ona bardziej powszechna). Iloczyn skalarny dwóch wektorów u i v można przedstawić jako: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}}$

W starszej literaturze iloczyn skalarny jest implikowany między dwoma wektorami zapisanymi obok siebie. Ten zapis można pomylić z iloczynem dwójkowym między dwoma wektorami.

Iloczyn krzyżowy

Iloczyn dwóch wektorów (w ) jest przedstawiona za pomocą obracanego krzyż jako operatora. Iloczyn poprzeczny dwóch wektorów u i v byłby reprezentowany jako: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}}$

Zgodnie z niektórymi konwencjami (np. We Francji i w niektórych obszarach matematyki wyższej) jest to również oznaczone klinem, co pozwala uniknąć pomylenia z iloczynem klina, ponieważ oba są funkcjonalnie równoważne w trzech wymiarach:

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}}$

W jakiejś starszej literaturze iloczynu krzyżowego między u i v stosuje się następującą notację :

${\ displaystyle [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}]}$

Nabla

Notacja wektorowa jest używana z rachunkiem różniczkowym za pośrednictwem operatora Nabla :

${\ Displaystyle \ mathbf {i} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} + \ mathbf {j} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe y}} + \ mathbf {k} {\ Frac { \ częściowe} {\ częściowe z}}}$

Dzięki funkcji skalarnej f The gradientu opisana jako ${\ displaystyle \ nabla f \,}$

z polem wektorowym, F rozbieżność jest napisane jak ${\ displaystyle \ nabla \ cdot F,}$

iz pola wektorowego, F curl jest napisane jak ${\ displaystyle \ nabla \ times F.}$

Zobacz też

• Wektor euklidesowy
• ISO 31-11 § Wektory i tensory
• Phasor

Bibliografia