Vector notasjon - Vector notation

Vector notasjon

Vektorpil som
peker fra A til B

Vektorkomponenter
som beskriver en pil vektor v av dens koordinater x og y gir et isomorfi av vektorrom.

Skalarprodukt
To like lange sekvenser av koordinatvektorer og returnerer et enkelt tall

Vektorprodukt Tverrproduktet
i forhold til et høyrehendt koordinatsystem

I matematikk og fysikk er vektornotasjon en ofte brukt notasjon for å representere vektorer , som kan være geometriske vektorer , eller, mer generelt, medlemmer av et vektorrom .

For å representere en vektor er den vanlige typografiske konvensjonen små bokstaver, oppreist fet skrift, som i v . Den internasjonale organisasjonen for standardisering (ISO) anbefaler enten fet kursiv serif, som i v , eller ikke-fet kursiv serif aksent av en høyre pil, som i . ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

I avansert matematikk er vektor ofte representert i en enkel kursiv type, som enhver variabel .

Historie

Konseptet med en vektor ble laget av WR Hamilton rundt 1843, da han avslørte kvaternioner , et system som bruker vektorer og skalarer for å spenne et firedimensjonalt rom. For et kvaternjon q = a + b i + c j + d k brukte Hamilton to projeksjoner: S q = a , for den skalære delen av q , og V q = b i + c j + d k, vektordelen. Ved å bruke de moderne begrepene kryssprodukt (×) og punktprodukt (.), Kan kvaternionsproduktet til to vektorer p og q skrives pq = - p . q + p × q . I 1878 kuttet WK Clifford de to produktene for å gjøre quaternion-operasjonen nyttig for studenter i sin lærebok Elements of Dynamic . Foredrags ved Yale University , Josiah Willard Gibbs tilføres notasjon for de skalarproduktet og vektor produkter , som ble innført i vektoranalyse .

I 1891 argumenterte Oliver Heaviside for at Clarendon skulle skille vektorer fra skalarer. Han kritiserte bruken av greske bokstaver av Tait og gotiske bokstaver av Maxwell.

I 1912 bidro JB Shaw med sin "Comparative Notation for Vector Expressions" til Bulletin of the Quaternion Society . Deretter beskrev Alexander Macfarlane 15 kriterier for klart uttrykk med vektorer i samme publikasjon.

Vektorideer ble fremmet av Hermann Grassmann i 1841, og igjen i 1862 på tysk . Men tyske matematikere ble ikke tatt med kvaternioner like mye som engelsktalende matematikere. Da Felix Klein organiserte det tyske matematiske leksikonet , tildelte han Arnold Sommerfeld til å standardisere vektornotasjon. I 1950, da Academic Press publiserte G. Kuertis oversettelse av den andre utgaven av bind 2 av Foredrag om teoretisk fysikk av Sommerfeld, var vektornotering gjenstand for en fotnote: "I den originale tyske teksten er vektorer og deres komponenter trykt i samme gotiske typer. Den mer vanlige måten å gjøre et typografisk skille mellom de to på er blitt tatt i bruk for denne oversettelsen. "

Rektangulære vektorer

Rektangel

Rektangulær kuboid

En rektangulær vektor er en koordinatvektor spesifisert av komponenter som definerer et rektangel (eller rektangulært prisme i tre dimensjoner, og lignende former i større dimensjoner). Startpunktet og terminalpunktet til vektoren ligger i motsatte ender av rektangelet (eller prisme, etc.).

Bestilt settnotasjon

En rektangulær vektor i kan spesifiseres ved hjelp av et ordnet sett med komponenter, innelukket i parentes eller vinkelparenteser. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Generelt sett kan en n- dimensjonsvektor v spesifiseres i en av følgende former:

• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {n-1}, v_ {n})}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {n-1}, v_ {n} \ rangle}$

Der v ₁ , v ₂ ,…, v _{n  - 1} , v _n er komponentene i v .

Matrise notasjon

En rektangulær vektor i kan også spesifiseres som en rad- eller kolonnematrise som inneholder det bestilte komponentsettet. En vektor spesifisert som en radmatrise er kjent som en radvektor ; en spesifisert som en kolonnematrise er kjent som en kolonnevektor . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Igjen kan en n- dimensjonsvektor spesifiseres i en av følgende former ved hjelp av matriser: ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {1} & v_ {2} & \ cdots & v_ {n-1} & v_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {pmatrix} v_ {1} & v_ {2} & \ cdots & v_ {n-1} & v_ {n} \ end {pmatrix}}}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\\ vdots \\ v_ {n-1} \\ v_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {pmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\\ vdots \\ v_ {n-1} \\ v_ {n} \ end {pmatrix}}}$

der v ₁ , v ₂ ,…, v _{n  - 1} , v _n er komponentene i v . I noen avanserte sammenhenger har en rad og en kolonnevektor annen betydning; se kovarians og kontravarans av vektorer for mer.

Enhetsvektor notasjon

En rektangulær vektor i (eller færre dimensjoner, for eksempel hvor v _z nedenfor er null), kan angis som summen av de skalare multipler av komponentene av vektoren med medlemmer av standard basis i . Grunnlaget er representert med enhetsvektorene , , og . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ imath}}} = (1,0,0)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ jmath}}} = (0,1,0)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {k}}} = (0,0,1)}$

En tredimensjonal vektor kan spesifiseres i følgende form ved hjelp av enhetsvektornotasjon: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}}$

• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {x} {\ boldsymbol {\ hat {\ imath}}} + v_ {y} {\ boldsymbol {\ hat {\ jmath}}} + v_ {z} {\ boldsymbol {\ hat {k}}}}$

Der v _x , v _y og v _z er de skalære komponentene i v . Skalarkomponenter kan være positive eller negative; den absolutte verdien av en skalar komponent er dens størrelse.

Polare vektorer

Punkter i det polare koordinatsystem med pol O og polaraksen L . I grønt er punktet med radiell koordinat 3 og vinkelkoordinat 60 grader, eller (3,60 °). I blått, punktet (4,210 °).

De to polare koordinatene til et punkt i et plan kan betraktes som en todimensjonal vektor. En slik polær vektor består av en størrelse (eller lengde) og en retning (eller vinkel). Størrelsen, vanligvis representert som r , er avstanden fra et startpunkt, opprinnelsen , til det punktet som er representert. Vinkelen, vanligvis representert som θ (den greske bokstaven theta ), er vinkelen, vanligvis målt mot klokken, mellom en fast retning, typisk den positive x- aksen, og retningen fra opprinnelsen til punktet. Vinkelen reduseres vanligvis for å ligge innenfor radianer eller . ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}$${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <360 ^ {\ circ}}$

Det må understrekes at en polær vektor ikke egentlig er en vektor , siden tilsetningen av to polare vektorer ikke er definert.

Bestilte sett- og matriksnotasjoner

Polarvektorer kan spesifiseres ved hjelp av enten ordnet parnotasjon (en delmengde av ordnet settnotasjon som bare bruker to komponenter), eller matrise notasjon, som med rektangulære vektorer. I disse formene er den første komponenten av vektoren r (i stedet for v ₁ ), og den andre komponenten er θ (i stedet for v ₂ ). For å skille polare vektorer fra rektangulær vektorer, kan den vinkel, som prefiks vinkelen symbolet . ${\ displaystyle \ angle}$

En todimensjonal polær vektor v kan vises som et av følgende, ved hjelp av enten ordnet par eller matriksnotasjon:

• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (r, \ vinkel \ theta)}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle r, \ angle \ theta \ rangle}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} r & \ vinkel \ theta \ end {bmatrix}}}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} r \\\ vinkel \ theta \ end {bmatrix}}}$

hvor r er størrelsen, θ er vinkelen, og vinkelsymbolet ( ) er valgfritt. ${\ displaystyle \ angle}$

Direkte notasjon

Polare vektorer kan også spesifiseres ved hjelp av forenklede autonome ligninger som definerer r og θ eksplisitt. Dette kan være uhåndterlig, men er nyttig for å unngå forveksling med todimensjonale rektangulære vektorer som oppstår ved bruk av ordnet par- eller matriksnotasjon.

En todimensjonal vektor med en størrelse på 5 enheter, og hvis retning er π / 9 radianer (20 °), kan spesifiseres ved hjelp av en av følgende former:

• ${\ displaystyle r = 5, \ \ theta = {\ pi \ over 9}}$
• ${\ displaystyle r = 5, \ \ theta = 20 ^ {\ circ}}$

Sylindriske vektorer

En sylindrisk koordinatsystem med opprinnelse O , polaraksen A , og lengdeaksen L . Prikken er punktet med radiell avstand ρ  = 4, vinkelkoordinat φ  = 130 ° og høyde z  = 4.

En sylindrisk vektor er en utvidelse av begrepet polarvektorer i tre dimensjoner. Det ligner på en pil i det sylindriske koordinatsystemet . En sylindrisk vektor spesifiseres av en avstand i xy- planet, en vinkel og en avstand fra xy- planet (en høyde). Den første avstanden, vanligvis representert som r eller ρ (den greske bokstaven rho ), er størrelsen på projeksjonen av vektoren på xy- planet. Vinkelen, vanligvis representert som θ eller φ (den greske bokstaven phi ), måles som forskyvningen fra linjen som er kollinær med x -aksen i positiv retning; vinkelen blir vanligvis redusert for å ligge innenfor området . Den andre avstanden, vanligvis representert som h eller z , er avstanden fra xy- planet til endepunktet til vektoren. ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}$

Bestilte sett- og matriksnotasjoner

Sylindriske vektorer er spesifisert som polare vektorer, der den andre avstandskomponenten er sammenkoblet som en tredje komponent for å danne ordnede tripletter (igjen en delmengde av ordnet settnotasjon) og matriser. Vinkelen kan være prefikset med vinkelsymbolet ( ); kombinasjonen avstand-vinkel-avstand skiller sylindriske vektorer i denne notasjonen fra sfæriske vektorer i lignende notasjon. ${\ displaystyle \ angle}$

En tredimensjonal sylindrisk vektor v kan representeres som noe av det følgende, ved hjelp av enten ordnet triplett eller matriksnotasjon:

• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (r, \ vinkel \ theta, h)}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle r, \ vinkel \ theta, h \ rangle}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} r & \ vinkel \ theta & h \ end {bmatrix}}}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} r \\\ vinkel \ theta \\ h \ end {bmatrix}}}$

Hvor r er omfanget av projeksjonen av v på xy -planet, θ er vinkelen mellom den positive x -aksen og v , og h er høyden fra xy -planet til endepunktet av v . Igjen er vinkelsymbolet ( ) valgfritt. ${\ displaystyle \ angle}$

Direkte notasjon

En sylindrisk vektor kan også spesifiseres direkte ved hjelp av forenklede autonome ligninger som definerer r (eller ρ ), θ (eller φ ) og h (eller z ). Konsistens bør brukes når du velger navnene som skal brukes til variablene; ρ skal ikke blandes med θ og så videre.

En tredimensjonal vektor, hvis størrelse på 5 x projeksjonen på xy- planet er 5 enheter, hvis vinkel fra den positive x -aksen er π / 9 radianer (20 °), og hvis høyde fra xy- planet er 3 enheter kan spesifiseres i et av følgende skjemaer:

• ${\ displaystyle r = 5, \ \ theta = {\ pi \ over 9}, \ h = 3}$
• ${\ displaystyle r = 5, \ \ theta = 20 ^ {\ circ}, \ h = 3}$
• ${\ displaystyle \ rho = 5, \ \ phi = {\ pi \ over 9}, \ z = 3}$
• ${\ displaystyle \ rho = 5, \ \ phi = 20 ^ {\ circ}, \ z = 3}$

Sfæriske vektorer

Sfæriske koordinater ( r , θ , φ ) som ofte brukt i matematikk : radiell avstand r , azimutal vinkel θ og polar vinkel φ . Betydningene av θ og φ er byttet ut sammenlignet med fysikkonvensjonen.

En sfærisk vektor er en annen metode for å utvide begrepet polarvektorer i tre dimensjoner. Det ligner på en pil i det sfæriske koordinatsystemet . En sfærisk vektor er spesifisert av en størrelse, en azimutvinkel og en senitvinkel. Størrelsen er vanligvis representert som ρ . Azimutvinkelen, vanligvis representert som θ , er forskyvningen (mot klokken) fra den positive x- aksen. Zenithvinkelen, vanligvis representert som φ , er forskyvningen fra den positive z- aksen. Begge vinklene er vanligvis redusert til å ligge i området fra null (inkludert) til 2 π (eksklusiv).

Bestilte sett- og matriksnotasjoner

Sfæriske vektorer er spesifisert som polare vektorer, der senitvinkelen er sammenkoblet som en tredje komponent for å danne ordnede tripletter og matriser. Azimut- og senittvinklene kan begge være foran et vinkelsymbol ( ); prefikset skal brukes konsekvent for å produsere kombinasjonen avstand-vinkel-vinkel som skiller sfæriske vektorer fra sylindriske. ${\ displaystyle \ angle}$

En tredimensjonal sfærisk vektor v kan vises som et av følgende, ved hjelp av enten ordnet triplett eller matriksnotasjon:

• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (\ rho, \ vinkel \ theta, \ vinkel \ phi)}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle \ rho, \ vinkel \ theta, \ vinkel \ phi \ rangle}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} \ rho & \ vinkel \ theta & \ vinkel \ phi \ slutt {bmatrix}}}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} \ rho \\\ vinkel \ theta \\\ vinkel \ phi \ slutt {bmatrix}}}$

Hvor ρ er størrelsen, θ er asimutvinkelen, og φ er senit-vinkelen.

Direkte notasjon

Som polære og sylindriske vektorer kan sfæriske vektorer spesifiseres ved hjelp av forenklede autonome ligninger, i dette tilfellet for ρ , θ og φ .

En tredimensjonal vektor med størrelsen er 5 enheter, hvis azimutvinkel er π / 9 radianer (20 °), og hvis senitvinkel er π / 4 radianer (45 °) kan spesifiseres som:

• ${\ displaystyle \ rho = 5, \ \ theta = {\ pi \ over 9}, \ \ phi = {\ pi \ over 4}}$
• ${\ displaystyle \ rho = 5, \ \ theta = 20 ^ {\ circ}, \ \ phi = 45 ^ {\ circ}}$

Operasjoner

I et gitt vektorrom er operasjonene til vektortilsetning og skalar multiplikasjon definert. Normerte vektorrom definerer også en operasjon kjent som normen (eller størrelsesbestemmelse). Indre produktrom definerer også en operasjon kjent som det indre produktet. I er det indre produktet kjent som prikkproduktet . I og er en ytterligere operasjon kjent som kryssproduktet også definert. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$

Vector tillegg

Vektortilsetning er representert med pluss tegnet brukt som en operatør mellom to vektorer. Summen av to vektorer u og v vil bli representert som:

${\ displaystyle \ mathbf {u} + \ mathbf {v}}$

Scalar multiplikasjon

Scalar multiplikasjon er representert på samme måter som algebraisk multiplikasjon. En skalar ved siden av en vektor (den ene eller begge kan være i parentes) innebærer skalar multiplikasjon. De to vanlige operatørene, en prikk og et rotert kors, er også akseptable (selv om det roterte korset nesten aldri brukes), men de risikerer forveksling med prikkprodukter og kryssprodukter, som fungerer på to vektorer. Produktet av en skalar k med en vektor v kan representeres i en av følgende moter:

• ${\ displaystyle k \ mathbf {v}}$
• ${\ displaystyle k \ cdot \ mathbf {v}}$

Vector subtraksjon og skalar divisjon

Ved å bruke de algebraiske egenskapene til subtraksjon og divisjon, sammen med skalar multiplikasjon, er det også mulig å "trekke" fra to vektorer og "dele" en vektor med en skalar.

Vector subtraksjon utføres ved å tilsette det skalære multiplumet av -1 med den andre vektoroperanden til den første vektoroperanden. Dette kan representeres ved bruk av minustegnet som operatør. Forskjellen mellom to vektorer u og v kan vises i en av følgende moter:

• ${\ displaystyle \ mathbf {u} + - \ mathbf {v}}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {u} - \ mathbf {v}}$

Scalar divisjon utføres ved å multiplisere vektoroperanden med det numeriske inverse av skalaroperanden. Dette kan representeres ved bruk av brøkstang eller delingsskilt som operatører. Kvotienten til en vektor v og en skalar c kan vises i en av følgende former:

• ${\ displaystyle {1 \ over c} \ mathbf {v}}$
• ${\ displaystyle {\ mathbf {v} \ over c}}$
• ${\ displaystyle {\ mathbf {v} \ div c}}$

Norm

Den norm av en vektor er representert med dobbelt strek på begge sider av vektoren. Normen til en vektor v kan representeres som:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ |}$

Normen er også noen ganger representert med enkeltstenger, som , men dette kan forveksles med absolutt verdi (som er en type norm). ${\ displaystyle | \ mathbf {v} |}$

Indre produkt

Det indre produktet av to vektorer (også kjent som skalarproduktet, ikke forvekslet med skalarmultiplikasjon) er representert som et ordnet par innelukket i vinkelparenteser. Det indre produktet av to vektorer u og v vil bli representert som:

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle}$

Prikkprodukt

I er det indre produktet også kjent som prikkproduktet . I tillegg til standard indre produktnotasjon, kan punktproduktnotasjonen (ved hjelp av prikken som operatør) også brukes (og er mer vanlig). Punktproduktet til to vektorer u og v kan vises som: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}}$

I noe eldre litteratur er prikkproduktet antydet mellom to vektorer skrevet side om side. Denne betegnelsen kan forveksles med det dyadiske produktet mellom to vektorer.

Tverrprodukt

Den kryssproduktet av to vektorer (i ) er representert ved hjelp av den roterte tverr som en operatør. Tverrproduktet av to vektorer u og v vil bli representert som: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}}$

Av noen konvensjoner (f.eks. I Frankrike og i noen områder med høyere matematikk) betegnes dette også med en kil, som unngår forveksling med kileproduktet siden de to er funksjonelt likeverdige i tre dimensjoner:

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}}$

I noen eldre litteratur brukes følgende betegnelse for kryssproduktet mellom u og v :

${\ displaystyle [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}]}$

Nabla

Vektornotasjon brukes med kalkulator gjennom Nabla-operatøren :

${\ displaystyle \ mathbf {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + \ mathbf {j} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + \ mathbf {k} {\ frac { \ partial} {\ partial z}}}$

Med en skalar funksjon f , den gradient er skrevet som ${\ displaystyle \ nabla f \,}$

med et vektorfelt, F at divergensen er skrevet som ${\ displaystyle \ nabla \ cdot F,}$

og med et vektorfelt, F at krøllen er skrevet som ${\ displaystyle \ nabla \ times F.}$

Se også

• Euklidisk vektor
• ISO 31-11 § Vektorer og tensorer
• Phasor

Referanser