Przestrzeń widmowa - Spectral space

W matematyce , A widmowa przestrzeń jest przestrzeń topologiczna to homeomorficzny w widmie pierścienia przemiennego . Bywa też nazywana spójną przestrzenią ze względu na połączenie ze spójnymi toposami .

Definicja

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech K ( X ) będzie zbiorem wszystkich zwartych podzbiorów otwartych w X . Wtedy mówimy, że X jest widmowy, jeśli spełnia wszystkie poniższe warunki: ^{${\displaystyle \circ}$}

• X jest zwarty, a T ₀ .
• K ( X ) jest podstawą otwartych podzbiorów X .^{${\displaystyle \circ}$}
• K ( X ) jest zamknięty pod skończonymi przecięciami.^{${\displaystyle \circ}$}
• X jest trzeźwy , to każda niepusty nierozkładalny zamknięty podzbiór z X ma (niekoniecznie unikalne) punkt rodzajowego .

Równoważne opisy

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każda z poniższych właściwości jest równoważna właściwości X będącej widmową:

1. X jest homeomorficzna do projekcyjnej limitu skończonych T ₀ -spaces .
2. X jest homeomorficzny w widmie o ograniczonym rozdzielczej sieci krystalicznej l . W tym przypadku L jest izomorficzny (jako sieć ograniczona) z siecią K ( X ) (nazywa się to reprezentacją Stone sieci rozdzielczych ).^{${\displaystyle \circ}$}
3. X jest homeomorficzny z widmem pierścienia przemiennego .
4. X to przestrzeń topologiczna wyznaczona przez przestrzeń Priestleya .
5. X jest przestrzenią T _0, której rama otwartych zbiorów jest koherentna (a każda koherentna klatka pochodzi w ten sposób z unikalnej przestrzeni widmowej).

Nieruchomości

Niech X będzie przestrzenią widmową i niech K ( X ) będzie jak poprzednio. Następnie: ^{${\displaystyle \circ}$}

• K ( X ) jest ograniczonym podsieci krystalicznej podzbiorów X .^{${\displaystyle \circ}$}
• Każdy zamknięty podprzestrzeni z X jest widmowa.
• Dowolne przecięcie zwartych i otwartych podzbiorów X (stąd elementów z K ( X )) jest znowu widmowe.^{${\displaystyle \circ}$}
• X jest T ₀ z definicji, ale generalnie nie T ₁ . W rzeczywistości przestrzeń widmowa jest T ₁ wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffem (lub T ₂ ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią boolowska wtedy i tylko wtedy, gdy K ( X ) jest algebrą boolowska .^{${\displaystyle \circ}$}
• X może być postrzegane jako para Kamień .

Mapy spektralne

Widmowa mapę f: X → Y pomiędzy pomieszczeniami widma X i Y jest ciągły tak, że na mapie preimage każdego otwartego i zwartej podzbioru Y pod F ponownie zwarty.

Kategoria przestrzeni spektralnych, która ma odwzorowania spektralne jako morfizmy, jest podwójnie równoważna kategorii ograniczonych sieci rozdzielczych (wraz z morfizmami takich sieci). W tej antyrównoważności przestrzeń widmowa X odpowiada sieci K ( X ). ^{${\displaystyle \circ}$}

Cytaty

Bibliografia