Potencjał opóźniony - Retarded potential

Artykuły o
Elektromagnetyzm
Elektryczność Magnetyzm Historia Podręczniki
Elektrostatyka Ładunek elektryczny prawo Coulomba Konduktor Gęstość ładunku Przepuszczalność Elektryczny moment dipolowy Pole elektryczne Potencjał elektryczny Strumień elektryczny  / energia potencjalna Wyładowania elektrostatyczne Prawo Gaussa Wprowadzenie Izolator Gęstość polaryzacji Elektryczność statyczna Tryboelektryczność
Magnetostatyka Prawo Ampère'a Prawo Biota–Savarta Prawo Gaussa dla magnetyzmu Pole magnetyczne Strumień magnetyczny Magnetyczny moment dipolowy Przepuszczalność magnetyczna Magnetyczny potencjał skalarny Namagnesowanie Siła magnetomotoryczna Wektorowy potencjał magnetyczny Reguła prawej ręki
Elektrodynamika Prawo siły Lorentza Indukcja elektromagnetyczna Prawo Faradaya Prawo Lenza Prąd przemieszczenia równania Maxwella Pole elektromagnetyczne Puls elektromagnetyczny Promieniowanie elektromagnetyczne Tensor Maxwella Poynting wektor Potencjał Liénarda-Wiecherta równania Jefimenki Prąd wirowy Równania londyńskie Matematyczne opisy pola elektromagnetycznego
Sieć elektryczna Prąd przemienny Pojemność Prąd stały Prąd elektryczny Elektroliza Aktualna gęstość Ogrzewanie Joule'a Siła elektromotoryczna Impedancja Indukcyjność Prawo Ohma Obwód równoległy Opór Wnęki rezonansowe Obwód szeregowy Napięcie Falowody
Sformułowanie kowariantne Tensor elektromagnetyczny ( tensor naprężeń i energii ) Czteroprądowy Elektromagnetyczny czteropotencjałowy
Naukowcy Amper Biota Kulomb Davy Einstein Faradaya Fizeau Gaus Heaviside Henz Herc Dżul Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Om Ritchie Savart Piosenkarz Tesla Volta Weber Poissona
v T mi

W elektrodynamikę , że opóźnione potencjały są potencjały elektromagnetyczne dla pola elektromagnetycznego generowanego przez zmienne w czasie prąd elektryczny lub ładowania dystrybucji w przeszłości. Pola rozchodzą się z prędkością światła c , więc opóźnienie pól łączących przyczynę i skutek we wcześniejszym i późniejszym czasie jest ważnym czynnikiem: sygnał rozchodzi się w skończonym czasie z punktu w rozkładzie ładunku lub prądu (punkt przyczyny) do innego punktu w przestrzeni (gdzie mierzy się skutek), patrz rysunek poniżej.

W mierniku Lorenza

Punktem wyjścia są równania Maxwella w sformułowaniu potencjału za pomocą miernika Lorenza :

${\ Displaystyle \ Box \ varphi = {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} \, \ quad \ Box \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}$

gdzie φ( r , t ) jest potencjałem elektrycznym a A ( r , t ) jest wektorowym potencjałem magnetycznym , dla dowolnego źródła gęstości ładunku ρ( r , t ) i gęstości prądu J ( r , t ) i jest Operator d'Alembert . Ich rozwiązanie daje poniższe potencjały opóźnione (wszystkie w jednostkach SI ). ${\ Displaystyle \ Box}$

Dla pól zależnych od czasu

W przypadku pól zależnych od czasu potencjały opóźnione to:

${\displaystyle \mathrm {\varphi} (\mathbf {r},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon_{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r } ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {R} , t) = {\ Frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ Frac {\ mathbf {J} (\ mathbf { r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

gdzie r to punkt w przestrzeni, t to czas,

${\ Displaystyle T_ {R} = t-{\ Frac {| \ mathbf {R} - \ mathbf {R} '|} {c}}}$

jest czasem opóźnienia , a d ³ r' jest miarą całkowania przy użyciu r' .

Z φ( r , t ) i A ( r , t ) pola E ( r , t ) i B ( r , t ) można obliczyć korzystając z definicji potencjałów:

${\ Displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla \ varphi + {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {A}} {\ częściowy t}} \, \ quad \ mathbf {B} = \ nabla \ razy \ mathbf {A} \,.}$

a to prowadzi do równań Jefimenki . Odpowiednie zaawansowane potencjały mają identyczną formę, z wyjątkiem zaawansowanego czasu

${\ Displaystyle t_ {a} = t + {\ Frac {| \ mathbf {R} - \ mathbf {R} '|} {c}}}$

zastępuje opóźniony czas.

W porównaniu z potencjałami statycznymi dla pól niezależnych od czasu

W przypadku, gdy pola są niezależne od czasu ( pola elektrostatyczne i magnetostatyczne ), pochodne czasowe w operatorach pól wynoszą zero, a równania Maxwella sprowadzają się do ${\ Displaystyle \ Box}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = - {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} \,, \ quad \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = - \ mu _ {0}\mathbf {J} \,,}$

gdzie ∇ ² jest równaniem Laplace'a , które przybiera postać równania Poissona w czterech składowych (jednej dla φ i trzech dla A ), a rozwiązaniami są:

${\ Displaystyle \ mathrm {\ varphi } (\ mathbf {r} ) = {\ Frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ Frac {\ rho (\ mathbf {r} ' )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {R} ) = {\ Frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ Frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {R} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

One również wynikają bezpośrednio z opóźnionych potencjałów.

W mierniku Coulomba

W manometrze Coulomba równania Maxwella to

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = - {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$

${\ Displaystyle \ Nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ częściowy ^ {2} \ mathbf {A}} {\ częściowy t ^ {2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\prawo)\,,}$

chociaż rozwiązania kontrastują z powyższym, ponieważ A jest potencjałem opóźnionym, ale φ zmienia się natychmiast , dana przez:

${\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {r} , t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ dfrac {\ rho (\ mathbf {r} ', t )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {R} , t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ nabla \ razy \ int \ operatorname {d} ^ {3 }\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\ mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} - \mathbf {r} ')\,.}$

Stanowi to zaletę i wadę cechowania Coulomba - jest łatwo wyliczone z rozkładu ładunku ρ , ale A nie jest tak łatwo wyliczone z rozkładu prądu j . Jednak pod warunkiem, że wymagamy, aby potencjały znikały w nieskończoności, można je zgrabnie wyrazić w postaci pól:

${\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {r} , t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi}} \ int {\ dfrac {\ nabla \ cdot \ mathbf {e} ({r} ', t) }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi}} \ int {\ dfrac {\ nabla \ razy \ mathbf {B} ({r}' ,t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

W zlinearyzowanej grawitacji

Potencjał opóźniony w linearyzowanej ogólnej teorii względności jest ściśle analogiczny do przypadku elektromagnetycznego. Tensor z odwróconym śladem pełni rolę czterowektorowego potencjału, wskaźnik harmoniczny zastępuje elektromagnetyczny wskaźnik Lorenza, równania pola to , a rozwiązanie fali opóźnionej to ${\ Displaystyle {\ tylda {h}} _ {\ mu \ nu} = h_ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {2}} \ eta _ {\ mu \ nu} h}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {h}} ^ {\ mu \ nu {} _ {\ mu} = 0}$${\ Displaystyle \ Box {\ tylda {h}} _ {\ mu \ nu} = -16 \ pi GT_ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {h}} _ {\ mu \ nu } (\ mathbf {r} , t) = 4G \ int {\ frac {T_ {\ mu \ nu} (\ mathbf {r} ', t_ {r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$.

Występowanie i zastosowanie

Teoria wielu ciał, która obejmuje średnią opóźnionych i zaawansowanych potencjałów Liénarda-Wiecherta, to teoria absorbera Wheelera-Feynmana, znana również jako teoria symetryczności czasowej Wheelera-Feynmana.

Przykład

Potencjał ładunku o jednostajnej prędkości na linii prostej ma inwersję w punkcie, który znajduje się w ostatniej pozycji. Potencjał nie zmienia się w kierunku ruchu.

Zobacz też

• równania Maxwella
• Potencjał Liénarda-Wiecherta
• Prawo Lenza

Bibliografia