Teoria funkcji geometrycznych - Geometric function theory

Teoria funkcji geometrycznych to badanie właściwości geometrycznych funkcji analitycznych . Podstawowym wynikiem teorii jest twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu .

Zagadnienia teorii funkcji geometrycznych

Poniżej przedstawiono niektóre z najważniejszych tematów teorii funkcji geometrycznych:

Mapy konformalne

Siatka prostokątna (na górze) i jej obraz pod mapą konformalną f (na dole). Widać, że f odwzorowuje pary linii przecinających się pod kątem 90 ° do par krzywych nadal przecinających się pod kątem 90 °.

Mapa konformalna to funkcja, która lokalnie zachowuje kąty . W najczęstszym przypadku funkcja ma dziedzinę i zakres w płaszczyźnie zespolonej .

Bardziej formalnie mapa,

${\ displaystyle f: U \ rightarrow V \ qquad}$ z ${\ Displaystyle U, V \ podzbiór \ mathbb {C} ^ {n}}$

nazywa konforemne (lub kąta konserwujący ) w punkcie , jeśli zachowuje on zorientowany kąty między krzywymi przez w odniesieniu do ich orientacji (to jest nie tylko wielkość kąta). Mapy konformalne zachowują zarówno kąty, jak i kształty nieskończenie małych figur, ale niekoniecznie ich rozmiar lub krzywiznę . ${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle u_ {0}}$

Mapy quasi-formalne

W matematycznej analizie złożonej , quasi-formalne odwzorowanie , wprowadzone przez Grötzscha (1928) i nazwane przez Ahlforsa (1935) , jest homeomorfizmem między domenami płaskimi , które w pierwszym rzędzie przechodzą małe kółka do małych elips o ograniczonym mimośrodzie . błąd harvtxt: brak celu: CITEREFGrötzsch1928 ( pomoc ) błąd harvtxt: brak celu: CITEREFAhlfors1935 ( pomoc )

Intuicyjnie, niech f  : D  →  D ′ będzie homeomorfizmem zachowującym orientację między zbiorami otwartymi w płaszczyźnie. Jeśli f jest stale różniczkowalną , to K -quasiconformal jeśli pochodna F w każdym punkcie odwzorowuje kręgów elipsy mimośród ograniczonym K .

Jeśli K wynosi 0, to funkcja jest konformalna .

Kontynuacja analityczna

Analityczna kontynuacja logarytmu naturalnego (część urojona)

Kontynuacja analityczna to technika rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej . Kontynuacja analityczna często udaje się zdefiniować dalsze wartości funkcji, na przykład w nowym regionie, w którym nieskończona reprezentacja szeregowa, według której została pierwotnie zdefiniowana, staje się rozbieżna.

Technika stopniowej kontynuacji może jednak napotkać trudności. Mogą one mieć zasadniczo charakter topologiczny, prowadząc do niespójności (definiujących więcej niż jedną wartość). Mogą alternatywnie mieć do czynienia z obecnością matematycznych osobliwości . Przypadek kilku zmiennych złożonych jest raczej inny, ponieważ osobliwości nie mogą być wtedy wyodrębnionymi punktami, a ich badanie było głównym powodem rozwoju kohomologii snopków .

Własności geometryczne wielomianów i funkcji algebraicznych

Tematy w tym obszarze obejmują powierzchnie Riemanna dla funkcji algebraicznych i zera dla funkcji algebraicznych.

Powierzchnia Riemanna

Powierzchni Riemanna , najpierw analizowane przez i nazwany Bernhard Riemanna jest jednowymiarową kompleks kolektora . Powierzchnie Riemanna można traktować jako zdeformowane wersje płaszczyzny zespolonej : lokalnie w pobliżu każdego punktu wyglądają jak płaty płaszczyzny zespolonej, ale topologia globalna może być zupełnie inna. Na przykład, mogą one wyglądać sfery lub torusa lub kilku arkuszy sklejone.

Głównym celem powierzchni Riemanna jest to, że między nimi można zdefiniować funkcje holomorficzne . Powierzchnie Riemanna są obecnie uważane za naturalne środowisko do badania globalnego zachowania tych funkcji, zwłaszcza funkcji wielowartościowych, takich jak pierwiastek kwadratowy i inne funkcje algebraiczne lub logarytm .

Ekstremalne problemy

Tematy w tej dziedzinie obejmują „Zasada maksimum; lemat Schwarza, zasada Lindelöfa, analogi i uogólnienia”.

Funkcje jednowartościowe i wielowartościowe

Holomorficzny działanie na otwartym podzbioru w płaszczyźnie zespolonej nazywa jednowartościową jeśli jest to za pomocą wstrzyknięć .

Można udowodnić, że jeśli i są dwa otwarte zbiory połączone w płaszczyźnie zespolonej, i ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle f: G \ do \ Omega}$

jest funkcją jednowartościową taką, że (to znaczy jest suriektywna ), wówczas pochodna funkcji nigdy nie jest zerem, jest odwracalna , a jej odwrotność jest również holomorficzna. Co więcej, ma się zasada łańcucha${\ Displaystyle f (G) = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

Powszechnie używanymi alternatywnymi terminami są schlicht (po niemiecku oznacza zwykły, prosty) i proste . Jest to niezwykły fakt, fundamentalny dla teorii funkcji jednowartościowych, że uniwalencja jest zasadniczo zachowana w ramach zbieżności jednorodnej.

Ważne twierdzenia

Twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu

Niech będzie punktem w łatwo połączonym regionie i posiadającym co najmniej dwa punkty graniczne. Wtedy istnieje unikalną funkcję analityczną odwzorowujący bijectively do otwartego dyskowego tak, że i . ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ Displaystyle D_ {1} (D_ {1} \ neq \ mathbb {C})}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle w = f (z)}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle | w | <1}$${\ displaystyle f (z_ {0}) = 0}$${\ displaystyle f '(z_ {0})> 0}$

Chociaż twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu wykazuje istnienie funkcji odwzorowania, w rzeczywistości nie wykazuje tej funkcji. Przykład podano poniżej.

Na powyższym rysunku rozważ i jako dwa po prostu połączone regiony różniące się od . Twierdzenie Riemanna o mapowaniu zapewnia istnienie mapowania na dysk jednostkowy i istnienie mapowania na dysk jednostkowy. Tak więc jest mapowanie jeden do jednego na . Jeśli uda nam się wykazać, że , a co za tym idzie, kompozycja jest analityczna, wówczas mamy konformalne odwzorowanie na , udowadniając, że „dowolne dwa łatwo połączone regiony różniące się od całej płaszczyzny można odwzorować konformalnie na siebie”. ${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle w = f (z)}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ Displaystyle w = g (z)}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ Displaystyle g ^ {- 1} f}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle g ^ {- 1}}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Lemat Schwarza

Schwarz lemat , nazwany Hermann Amandus Schwarz , to wynik w kompleksowej analizy na temat funkcji holomorficznych z otwartym dysku jednostki do siebie. Lemat jest mniej znany niż silniejsze twierdzenia, takie jak twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu , które pomaga udowodnić. Jest to jednak jeden z najprostszych wyników uchwycenia sztywności funkcji holomorficznych.

Komunikat

Lemat Schwarz. Niech D = { z  : | z | <1} być otwartym dyskiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej C, wyśrodkowanej na początku i niech f  : D → D będzie mapą holomorficzną taką, że f (0) = 0.

Następnie | f ( z ) | ≤ | z | dla wszystkich Z w D i | f ′ (0) | ≤ 1.

Co więcej, jeśli | f ( z ) | = | z | dla niezerowego z lub | f ′ (0) | = 1, a następnie f ( z ) = az dla jakiegoś a w C z | a | = 1.

Zasada maksimum

Zasada maksimum jest właściwością rozwiązań pewnych równań różniczkowych cząstkowych typu eliptycznego i parabolicznego . Mówiąc z grubsza, mówi, że maksimum funkcji w dziedzinie znajduje się na granicy tej dziedziny. Konkretnie, zasada silnego maksimum mówi, że jeśli funkcja osiąga swoje maksimum we wnętrzu domeny, funkcja jest jednolicie stała. Zasada słabego maksimum mówi, że maksimum funkcji znajduje się na granicy, ale może również wystąpić ponownie we wnętrzu. Istnieją inne, nawet słabsze zasady maksimum, które po prostu ograniczają funkcję pod względem jej maksimum na granicy.

Wzór Riemanna-Hurwitza

wzór Riemanna- Hurwitz , nazwany Bernhard Riemann i Adolf Hurwitz opisuje związek z charakterystyką Eulera dwóch powierzchniach , że jeden jest rozgałęziona pokrycie drugiej. Dlatego w tym przypadku łączy rozgałęzienie z topologią algebraiczną . Jest to wynik prototypowy dla wielu innych i jest często stosowany w teorii powierzchni Riemanna (która jest jej źródłem) i krzywych algebraicznych .

Komunikat

Dla orientowalnej powierzchni S charakterystyka Eulera χ ( S ) jest

${\ Displaystyle 2-2g \,}$

gdzie g to rodzaj ( liczba uchwytów ), ponieważ liczby Bettiego to 1, 2 g , 1, 0, 0, .... W przypadku ( niezamkniętej ) mapy pokrycia powierzchni

${\ Displaystyle \ pi: S '\ do S \,}$

to jest suriektywne i stopnia N powinniśmy mieć wzór

${\ Displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S). \,}$

To dlatego, że każdy z simplex S powinny być objęte dokładnie N w S '- przynajmniej jeśli używamy grzywny dość triangulacji z S , jak mamy prawo robić ponieważ Charakterystyka Eulera jest topologiczna niezmienna . To, co robi wzór Riemanna – Hurwitza, polega na dodaniu poprawki, aby umożliwić rozgałęzienie ( łączenie arkuszy ).

Teraz załóżmy, że S i S ′ są powierzchniami Riemanna i że mapa π jest złożona analityczna . Mówi się, że mapa π jest rozgałęziona w punkcie P w S ′, jeśli istnieją współrzędne analityczne w pobliżu P i π ( P ) takie, że π przyjmuje postać π ( z ) = z ⁿ i n  > 1. Równoważny sposób myślenie o tym, że istnieje małe sąsiedztwa U z P taka, że π ( P ) ma dokładnie jeden preimage w U , ale obraz z jakimkolwiek innym punkcie U ma dokładnie n preimages w U . Liczba n jest zwany indeks rozgałęzienia na P , a także oznaczona e _P . Obliczając charakterystykę Eulera dla S ′, zauważamy utratę e _P  - 1 kopii P powyżej π ( P ) (czyli w odwrotnym obrazie π ( P )). Teraz wybierzmy triangulacje S i S ′ z wierzchołkami odpowiednio w punktach rozgałęzienia i rozgałęzienia i wykorzystajmy je do obliczenia charakterystyk Eulera. Wtedy S ′ będzie miał taką samą liczbę d- wymiarowych ścian dla d różnej od zera, ale mniej niż oczekiwano wierzchołków. Dlatego znajdujemy „poprawioną” formułę

${\ Displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S) - \ suma _ {P \ w S'} (e_ {P} -1)}$

(wszystkie, ale skończenie wiele P ma e _P = 1, więc jest to całkiem bezpieczne). Formuła ta znana jest jako wzór Riemanna – Hurwitza, a także jako twierdzenie Hurwitza .

Bibliografia

• Hurwitz-Courant, Vorlesunger über allgemeine Funcktionen Theorie , 1922 (wyd. 4, dodatek H. Röhrl, tom 3, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Springer, 1964.)
• Krantz, Steven (2006). Teoria funkcji geometrycznych: eksploracje w analizie złożonej . Skoczek. ISBN   0-8176-4339-7 .
• Bulboacă, T .; Cho, NE; Kanas, SAR (2012). „Nowe trendy w teorii funkcji geometrycznych 2011” (PDF) . International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences . 2012 : 1. doi : 10.1155 / 2012/976374 .
• Ahlfors, Lars (2010). Niezmienniki konformalne: tematy w teorii funkcji geometrycznych . Wydawnictwo AMS Chelsea. ISBN   978-0821852705 .