Kompaktowy element - Compact element

Z matematycznego powierzchni teorii kolejności , że kompaktowe elementów lub elementów skończonych o częściowy porządek są te elementy, które nie mogą być podsumowane przez supremum dowolnego Niepuste skierowanej zestawu , który nie zawiera już elementy powyżej kompaktowej elementu. To pojęcie zwartości jednocześnie uogólnia pojęcia zbiorów skończonych w teorii mnogości , zbiorów zwartych w topologii i skończenie generowanych modułów w algebrze . (Istnieją inne pojęcia zwartości w matematyce.)

Formalna definicja

W zbiorze częściowo uporządkowanym ( P ,≤) element c jest nazywany zwartym (lub skończonym ), jeśli spełnia jeden z następujących warunków równoważnych:

• Dla każdego skierowanego podzbioru D z P , jeśli D ma supremum sup D i c ≤ sup D wtedy c ≤ d dla jakiegoś elementu d z D .
• Dla każdego idealnego I z P , jeśli że ma Supremum sup I i c ≤ sup I następnie c jest elementem I .

Jeśli pozycja P dodatkowo jest półprawą sprzężoną (tj. jeśli ma supremę binarną), to te warunki są równoważne następującej instrukcji:

• Dla każdego podzbioru S z P , jeśli S ma supremum sup S i c ≤ sup S , wtedy c ≤ sup T dla pewnego skończonego podzbioru T z S .

W szczególności, jeśli c = sup S , wtedy c jest supremum skończonego podzbioru S .

Te równoważności można łatwo zweryfikować na podstawie definicji odnośnych pojęć. W przypadku sprzężenia-semilattyki, dowolny zbiór może zostać przekształcony w zbiór skierowany z tym samym supremum poprzez zamknięcie pod skończoną (niepustą) supremą.

Rozważając ukierunkowane kompletne zamówienia częściowe lub pełne sieci, można oczywiście odrzucić dodatkowe wymagania, że ​​określona suprema istnieje. Półsiatka sprzężenia, która jest skierowana jako kompletna, jest prawie kompletną siecią (być może pozbawioną najmniejszego elementu ) — patrz zupełność (teoria rzędów) po szczegóły.

Przykłady

• Najbardziej podstawowy przykład jest uzyskiwany przez rozważenie zbioru potęgowego pewnego zbioru A , uporządkowanego przez włączenie podzbioru . W ramach tej pełnej kraty, kompaktowe elementy są dokładnie te skończone podzbiory z A . To uzasadnia nazwę „element skończony”.
• Określenie „compact” jest inspirowana przez definicji (topologicznie) zwartych podzbiorów o przestrzeni topologicznej T . Zbiór Y jest zwarty, jeśli dla każdego zbioru zbiorów otwartych S , jeżeli suma po S zawiera Y jako podzbiór, to Y jest zawarte jako podzbiór sumy skończonej podzbioru S . Biorąc pod uwagę zbiór potęgowy T jako kompletną sieć z porządkiem włączenia podzbioru, gdzie nadrzędność zbioru zbiorów jest dana przez ich sumę, warunek topologiczny zwartości naśladuje warunek zwartości w semilatykach sprzężeń, ale dla dodatkowego wymagania otwartości.
• Jeśli istnieje, najmniejszy element posetu jest zawsze zwarty. Być może jest to jedyny zwarty element, jak pokazuje przykład rzeczywistego przedziału jednostkowego [0,1] (ze standardowym uporządkowaniem odziedziczonym z liczb rzeczywistych).
• Każdy całkowicie łączony element kratownicy jest zwarty.

Pozycje algebraiczne

Poset, w którym każdy element jest najwyższym elementem zwartych elementów poniżej, nazywany jest posetem algebraicznym . Takie posety, które są dcpos, są często używane w teorii domen .

Jako ważny przypadek specjalny, krata algebraiczna jest pełną kratą L, w której każdy element x z L jest supremumem zwartych elementów poniżej x .

Typowy przykład (który posłużył jako motywacja nazwy „algebraiczny”) jest następujący:

Dla dowolnej algebry A (na przykład grupy, pierścienia, pola, kraty itp.; a nawet samego zbioru bez żadnych operacji), niech Sub( A ) będzie zbiorem wszystkich podstruktur A , tj. wszystkie podzbiory A, które są zamknięte we wszystkich operacjach A (dodawanie grupowe, dodawanie pierścieniowe i mnożenie itp.). Tutaj pojęcie podstruktury obejmuje pustą podstrukturę w przypadku, gdy algebra A nie ma operacji null.

Następnie:

• Zbiór Sub( A ), uporządkowany według włączenia zbioru, jest kratą.
• Największym elementem Sub ( ) jest zbiorem sama.
• Dla dowolnych S , T w Sub( A ) największym dolnym ograniczeniem S i T jest teoretyczne przecięcie S i T ; najmniejsza górna granica to podalgebra generowana przez sumę S i T .
• Zbiór Sub( A ) to nawet kompletna siatka. Największym dolnym ograniczeniem dowolnej rodziny podkonstrukcji jest ich przecięcie (lub A, jeśli rodzina jest pusta).
• Niewielkie elementy Sub ( A ) są dokładnie skończenie generowane podbudowy z A .
• Każda podstruktura jest połączeniem swoich skończonych podstruktur; stąd Sub( A ) jest kratą algebraiczną.

Istnieje również pewna odwrotność: każda siatka algebraiczna jest izomorficzna z Sub( A ) dla pewnej algebry A .

Jest jeszcze inny algebraiczne kratownica, która odgrywa ważną rolę w algebry uniwersalnej : Dla każdego algebra pozwolimy Con ( ) będzie zbiorem wszystkich kongruencja na A . Każda kongruencja na A jest podalgebrą algebry iloczynu A x A , więc Con( A ) ⊆ Sub( A x A ). Znowu mamy

• Con( A ), uporządkowane przez włączenie zbioru, jest kratą.
• Największym elementem Con( A ) jest zbiór A x A , który jest kongruencją odpowiadającą stałemu homomorfizmowi. Najmniejsza kongruencja to przekątna A x A odpowiadająca izomorfizmom.
• Con( A ) jest pełną siecią.
• Zwarte elementy Con( A ) to dokładnie skończenie generowane kongruencje.
• Con( A ) jest siatką algebraiczną.

Znowu jest odwrotność: według twierdzenia George'a Grätzera i ET Schmidta, każda krata algebraiczna jest izomorficzna z Con( A ) dla pewnej algebry A .

Aplikacje

Elementy zwarte są ważne w informatyce w podejściu semantycznym zwanym teorią domeny , gdzie są one uważane za rodzaj elementu pierwotnego: informacje reprezentowane przez elementy zwarte nie mogą być uzyskane przez żadne przybliżenie, które nie zawiera tej wiedzy. Elementy kompaktowe nie mogą być aproksymowane przez elementy znajdujące się bezpośrednio pod nimi. Z drugiej strony może się zdarzyć, że wszystkie elementy niezwarte można uzyskać jako ukierunkowane suprema elementów zwartych. Jest to pożądana sytuacja, ponieważ zbiór zwartych elementów jest często mniejszy niż oryginalny poset — ilustrują to powyższe przykłady.

Literatura

Zobacz podaną literaturę dotyczącą teorii rzędów i teorii dziedzin .