Elemento compatto - Compact element

Nell'area matematica della teoria dell'ordine , gli elementi compatti o gli elementi finiti di un insieme parzialmente ordinato sono quegli elementi che non possono essere sussunti da un supremo di qualsiasi insieme diretto non vuoto che non contenga già membri al di sopra dell'elemento compatto. Questa nozione di compattezza generalizza simultaneamente le nozioni di insiemi finiti in teoria degli insiemi , insiemi compatti in topologia e moduli finiti generati in algebra . (Ci sono altre nozioni di compattezza in matematica.)

Definizione formale

In un insieme parzialmente ordinato ( P ,≤) un elemento c si dice compatto (o finito ) se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:

• Per ogni sottoinsieme orientato D di P , se D ha un supremo sup D e c ≤ sup D allora c ≤ d per qualche elemento d di D .
• Per ogni ideale I di P , se I ha un supremo sup I e c sup I allora c è un elemento di I .

Se il poset P inoltre è un join-semilattice (cioè, se ha supremazia binaria), allora queste condizioni sono equivalenti alla seguente affermazione:

• Per ogni sottoinsieme S di P , se S ha un supremo sup S e c ≤ sup S , allora c ≤ sup T per qualche sottoinsieme finito T di S .

In particolare, se c = sup S , allora c è il supremo di un sottoinsieme finito di S .

Queste equivalenze sono facilmente verificabili dalle definizioni dei concetti coinvolti. Per il caso di un join-semilattice, qualsiasi insieme può essere trasformato in un insieme diretto con lo stesso supremo chiudendo sotto suprema finita (non vuota).

Quando si considerano ordini parziali completi diretti o reticoli completi, i requisiti aggiuntivi che esiste la supremazia specificata possono ovviamente essere eliminati. Un join semireticolo che è diretto completo è quasi un reticolo completo (possibilmente privo di un elemento minimo ) - vedi completezza (teoria dell'ordine) per i dettagli.

Esempi

• L'esempio più elementare si ottiene considerando l' insieme delle potenze di un certo insieme A , ordinato per inclusione di sottoinsiemi . All'interno di questo reticolo completo, gli elementi compatti sono esattamente i sottoinsiemi finiti di A . Questo giustifica il nome "elemento finito".
• Il termine "compatto" si ispira alla definizione di sottoinsiemi (topologicamente) compatti di uno spazio topologico T . Un insieme Y è compatto se per ogni insieme di aperti insiemi S , se l'unione sopra S include Y come sottoinsieme, allora Y è incluso come un sottoinsieme dell'unione di un sottoinsieme finito di S . Considerando l'insieme delle potenze di T come un reticolo completo con l'ordine di inclusione dei sottoinsiemi, dove il supremo di un insieme di insiemi è dato dalla loro unione, la condizione topologica per la compattezza imita la condizione per la compattezza nei join-semilaticci, ma per il requisito aggiuntivo di apertura.
• Se esiste, l' elemento minimo di un poset è sempre compatto. Può essere che questo sia l'unico elemento compatto, come mostra l'esempio dell'intervallo di unità reale [0,1] (con l'ordinamento standard ereditato dai numeri reali).
• Ogni elemento completamente join-primo di un reticolo è compatto.

Posizioni algebriche

Un poset in cui ogni elemento è il supremo degli elementi compatti sottostanti è detto poset algebrico . Tali poset che sono dcpos sono molto usati nella teoria dei domini .

Come importante caso speciale, un reticolo algebrico è un reticolo completo L dove ogni elemento x di L è il supremo degli elementi compatti sotto x .

Un tipico esempio (che è servito come motivazione per il nome "algebrico") è il seguente:

Per ogni algebra A (per esempio, un gruppo, un anello, un campo, un reticolo, ecc.; o anche un semplice insieme senza operazioni), sia Sub( A ) l'insieme di tutte le sottostrutture di A , cioè di tutti i sottoinsiemi di A che sono chiusi rispetto a tutte le operazioni di A (addizione di gruppi, addizione e moltiplicazione di anelli, ecc.). Qui la nozione di sottostruttura include la sottostruttura vuota nel caso in cui l'algebra A non abbia operazioni nulle.

Poi:

• L'insieme Sub( A ), ordinato per inclusione di insieme, è un reticolo.
• Il più grande elemento di Sub( A ) è l'insieme A stesso.
• Per ogni S , T in Sub( A ), il massimo limite inferiore di S e T è l'intersezione teorica degli insiemi di S e T ; il limite superiore più piccolo è la sottoalgebra generata dall'unione di S e T .
• L'insieme Sub( A ) è anche un reticolo completo. Il limite inferiore più grande di qualsiasi famiglia di sottostrutture è la loro intersezione (o A se la famiglia è vuota).
• Gli elementi compatti di Sub( A ) sono esattamente le sottostrutture finitamente generate di A .
• Ogni sottostruttura è l'unione delle sue sottostrutture finitamente generate; quindi Sub( A ) è un reticolo algebrico.

Inoltre, vale una sorta di inverso: ogni reticolo algebrico è isomorfo a Sub( A ) per qualche algebra A .

C'è un altro reticolo algebrico che gioca un ruolo importante nell'algebra universale : per ogni algebra A sia Con( A ) l'insieme di tutte le relazioni di congruenza su A . Ogni congruenza su A è una sottoalgebra dell'algebra prodotto A x A , quindi Con( A ) ⊆ Sub( A x A ). Di nuovo abbiamo

• Con( A ), ordinato per inclusione insiemistica, è un reticolo.
• Il massimo elemento di Con( A ) è l'insieme A x A , che è la congruenza corrispondente all'omomorfismo costante. La più piccola congruenza è la diagonale di A x A , corrispondente agli isomorfismi.
• Con( A ) è un reticolo completo.
• Gli elementi compatti di Con( A ) sono esattamente le congruenze finitamente generate.
• Con( A ) è un reticolo algebrico.

Di nuovo c'è un inverso: per un teorema di George Grätzer e ET Schmidt, ogni reticolo algebrico è isomorfo a Con( A ) per qualche algebra A .

Applicazioni

Gli elementi compatti sono importanti in informatica nell'approccio semantico chiamato teoria dei domini , dove sono considerati come una sorta di elemento primitivo: l'informazione rappresentata da elementi compatti non può essere ottenuta con alcuna approssimazione che non contenga già questa conoscenza. Gli elementi compatti non possono essere approssimati da elementi strettamente al di sotto di essi. D'altra parte, può succedere che tutti gli elementi non compatti possano essere ottenuti come diretta supremazia degli elementi compatti. Questa è una situazione desiderabile, poiché l'insieme di elementi compatti è spesso più piccolo del poset originale: gli esempi sopra lo illustrano.

Letteratura

Vedere la letteratura fornita per la teoria dell'ordine e la teoria dei domini .