Owal kartezjański - Cartesian oval
W geometrii , A kartezjański owalny jest krzywa samolot składający się z punktów, które mają taką samą kombinację liniową o odległości od dwóch stałych punktach ( fokusa ). Krzywe te zostały nazwane na cześć francuskiego matematyka René Descartesa , który używał ich w optyce .
Definicja
Niech P i Q będą stałymi punktami na płaszczyźnie i niech d( P , S ) i d( Q , S ) oznaczają odległości euklidesowe od tych punktów do trzeciego zmiennego punktu S . Niech m i być dowolnymi liczbami rzeczywistymi . Wtedy owal kartezjański jest miejscem punktów S spełniających d( P , S ) + m d( Q , S ) = a . Dwa owale utworzone przez cztery równania d( P , S ) + m d ( Q , S ) = ± a i d ( P , S ) − m d ( Q , S ) = ± a są ściśle powiązane; razem tworzą kwartyczną krzywą płaską zwaną owalami Kartezjusza .
Przypadki specjalne
W równaniu d( P , S ) + m d( Q , S ) = a , gdy m = 1 i a > d( P , Q ) wynikowy kształt jest elipsą . W przypadku granicznym, w którym P i Q pokrywają się, elipsa staje się kołem . Kiedy jest to limaçon Pascala. Jeśli i równanie to daje gałąź hiperboli, a zatem nie jest zamkniętym owalem.
Równanie wielomianowe
Zbiór punktów ( x , y ) spełniającą Quartic równanie wielomianowe
![{\ Displaystyle [(1-m ^ {2}) (x ^ {2} + Y ^ {2}) + 2 m ^ {2} cx + a ^ {2} - m ^ {2} c ^ {2} ]^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4104e2b5969a776ede48fe35364c06ec93f3b9d0)
gdzie c jest odległością między dwoma stałymi ogniskami P = (0, 0) i Q = ( c , 0) , tworzy dwa owale, zbiory punktów spełniające dwa z następujących czterech równań
które mają realne rozwiązania. Te dwa owale są na ogół rozłączne , z wyjątkiem przypadku, gdy należy do nich P lub Q. Co najmniej jedna z dwóch prostopadłych do PQ przechodzących przez punkty P i Q przecina tę krzywą kwarcową w czterech rzeczywistych punktach; wynika z tego, że są one koniecznie zagnieżdżone, a przynajmniej jeden z dwóch punktów P i Q znajduje się we wnętrzu obu z nich. Aby zapoznać się z inną parametryzacją i wynikającą z niej kwartyką, zobacz Lawrence.
Zastosowania w optyce
Jak odkrył Kartezjusz, owale kartezjańskie mogą być wykorzystywane w projektowaniu soczewek . Dobierając stosunek odległości od P i Q do stosunku sinusów w prawie Snella i wykorzystując powierzchnię obrotu jednego z tych owali, można zaprojektować tzw. soczewkę aplanatyczną , która nie ma aberracji sferycznej .
Dodatkowo, jeśli sferyczny front fali jest załamany przez soczewkę sferyczną lub odbity od wklęsłej powierzchni sferycznej, załamany lub odbity front fali przyjmuje kształt owalu kartezjańskiego. Kaustycznej utworzone przez aberrację sferyczną w tym przypadku może zostać opisany jako ewolutna kartezjańskiego owalny.
Historia
Owale Kartezjusza po raz pierwszy zbadał René Descartes w 1637 r. w związku z ich zastosowaniami w optyce.
Krzywe te były również badane przez Newtona począwszy od 1664 roku. Jedna z metod rysowania określonych kartezjańskich owali, stosowana już przez Kartezjusza, jest analogiczna do standardowej konstrukcji elipsy za pomocą przypiętej nici. Jeśli rozciągnie się nić od szpilki w jednym ognisku, aby owinąć ją wokół szpilki w drugim ognisku i przywiąże wolny koniec nici do długopisu, ścieżka, jaką przebył długopis, gdy nić jest mocno naciągnięta, tworzy kartezjański owalny ze stosunkiem 2:1 odległości od dwóch ognisk. Newton odrzucał jednak takie konstrukcje jako niewystarczająco rygorystyczne . Zdefiniował owal jako rozwiązanie równania różniczkowego , skonstruował jego subnormalne i ponownie zbadał jego właściwości optyczne.
Francuski matematyk Michel Chasles odkrył w XIX wieku, że jeśli kartezjański owal jest zdefiniowany przez dwa punkty P i Q , to na ogół na tej samej linii znajduje się trzeci punkt R, tak że ten sam owal jest również zdefiniowany przez dowolną parę te trzy punkty.
James Clerk Maxwell ponownie odkrył te krzywe, uogólnił je do krzywych zdefiniowanych przez utrzymywanie stałej ważonej sumy odległości od trzech lub więcej ognisk i napisał artykuł zatytułowany Observations on Circumscribed Figures having a Plurality of Foci, and Radii of Various Proportions . Sprawozdanie z jego wyników, zatytułowane O opisie krzywych owalnych i tych mających wiele ognisk , zostało napisane przez JD Forbesa i przedstawione Royal Society of Edinburgh w 1846 roku, kiedy Maxwell miał 14 lat (prawie 15 lat). ).
