Suorakulmainen soikea - Cartesian oval
On geometria , joka on suorakulmaisessa soikea on tasokäyrän , joka muodostuu pisteistä, joilla on sama lineaarinen yhdistelmä etäisyyksien kaksi kiinteää pistettä ( pesäkkeitä ). Nämä käyrät on nimetty ranskalaisen matemaatikon René Descartesin mukaan , joka käytti niitä optiikassa .
Määritelmä
Olkoon P ja Q vahvistetaan tasopisteen, ja anna d ( P , S ) ja d ( Q , S ) tarkoittavat euklidinen etäisyyksien näistä osoittaa kolmannen muuttujan pisteen S . Olkoon m ja a mielivaltaisia reaalilukuja . Tällöin suorakulmainen soikea on pisteiden S paikka , joka täyttää d ( P , S ) + m d ( Q , S ) = a . Kaksi soikeaa, jotka muodostuvat neljästä yhtälöstä d ( P , S ) + m d ( Q , S ) = ± a ja d ( P , S ) - m d ( Q , S ) = ± a, liittyvät läheisesti toisiinsa; Yhdessä ne muodostavat kvartsitason käyrän, jota kutsutaan Descartesin soikeiksi .
Erikoistapaukset
Yhtälössä d ( P , S ) + m d ( Q , S ) = a , kun m = 1 ja a > d ( P , Q ) , tuloksena oleva muoto on ellipsi . Kun rajoittava tapauksessa , jossa P ja Q yhtyvät, ellipsin tulee ympyrä . Kun se on Pascalin limaçon . Jos ja yhtälö antaa hyperbolin haaran, joten se ei ole suljettu soikea.
Polynomiyhtälö
Joukko pisteitä ( x , y ) tyydyttää neljännen asteen polynomin
![{\ displaystyle [(1-m^{2}) (x^{2}+y^{2})+2m^{2} cx+a^{2} -m^{2} c^{2} ]^{2} = 4a^{2} (x^{2}+y^{2})}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4104e2b5969a776ede48fe35364c06ec93f3b9d0)
jossa c on kahden kiinteän polttopisteen välinen etäisyys P = (0, 0) ja Q = ( c , 0) , muodostaa kaksi soikeaa, pistejoukot täyttävät kaksi seuraavista neljästä yhtälöstä
joilla on todellisia ratkaisuja. Nämä kaksi soikeaa ovat yleensä erillisiä , paitsi jos P tai Q kuuluu niihin. Ainakin yksi kahdesta kohtisuorat PQ pisteiden P ja Q pääsee tämän neljännen asteen käyrä neljästä todellinen pistettä; tästä seuraa, että ne ovat välttämättä sisäkkäisiä, ja ainakin yksi kahdesta pisteestä P ja Q on molempien sisätiloissa. Katso eri parametrointi ja tuloksena oleva kvartsi, katso Lawrence.
Sovellukset optiikassa
Kuten Descartes havaitsi, linssien suunnittelussa voidaan käyttää suorakulmaisia soikeita . Valitsemalla suhde etäisyyksiä P ja Q vastaamaan suhdetta sines vuonna Snellin lakia , ja käyttämällä pinta vallankumouksen yksi näistä ovals, on mahdollista suunnitella niin sanottu aplanatic objektiivi , jossa ei ole pallopoikkeamaa .
Lisäksi jos pallomainen aaltorintama taittuu pallomaisen linssin läpi tai heijastuu koverasta pallomaisesta pinnasta, taittunut tai heijastunut aaltorintama saa suorakulmaisen soikean muodon. Kaustinen muodostettu pallopoikkeamaa Tässä tapauksessa voidaan näin ollen kuvata evoluutta on karteesinen soikea.
Historia
René Descartes tutki ensimmäisen kerran Descartesin soikeita vuonna 1637 optiikan sovellustensa yhteydessä.
Myös nämä käyrät tutkittiin Newtonissa vuodesta 1664. Yksi tapa piirtää tiettyjä erityisiä suorakulmaisia soikeita, joita Descartes on jo käyttänyt, on analoginen tavanomaisen ellipsin rakenteen kanssa kiinnitetyllä langalla. Jos yksi ulottuu lanka pin yhdessä painopiste kietoa tapin toisessa keskittyä, ja siteet vapaa pää langan kynä, polku ottanut kynää, kun lanka on venytetty tiukka, muodostaa karteesinen soikea ja suhde 2: 1 etäisyyksien välillä. Kuitenkin, Newton hylätään kuten rakennelmien riittävän tiukka . Hän määritteli soikean ratkaisuksi differentiaaliyhtälölle , rakensi sen alinormaalit ja tutki jälleen sen optisia ominaisuuksia.
Ranskalainen matemaatikko Michel Chasles löysi 1800 -luvulla , että jos suorakulmainen soikea määritellään kahdella pisteellä P ja Q , samassa suorassa on yleensä kolmas piste R siten, että sama soikea määritellään myös millä tahansa parilla nämä kolme kohtaa.
James Clerk Maxwell löysi nämä käyrät uudelleen, yleisti ne käyriksi, jotka määriteltiin pitämällä vakiona kolmen tai useamman polttopisteen etäisyyksien painotettu summa, ja kirjoitti paperin nimeltä Observations on Circumscribed Figures With Plurality of Foci ja Radius of Early Proportions . JD Forbes kirjoitti selvityksen hänen tuloksistaan, otsikolla Ovaalisten käyrien kuvauksesta ja niistä, joilla on useita polttopisteitä , ja esitteli sen Edinburghin kuninkaalliselle yhdistykselle vuonna 1846, kun Maxwell oli 14 -vuotias (lähes 15 -vuotias) ).
