Funkcja uderzeniowa - Bump function

W matematyce , o funkcja gula (zwany również funkcja Test ) jest funkcją w przestrzeni euklidesowej , która jest zarówno gładkich (w sensie konieczności ciągłych pochodnych o wszystkich zamówieniach) i zwięźle obsługiwane . Zbiór wszystkich funkcji wypukłości z domen tworzy przestrzeń wektorową , oznaczony lub podwójnej przestrzeni tej przestrzeni obdarzonego odpowiedniej topologii jest przestrzeń dystrybucji . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

Przykłady

Funkcja podana przez ${\ Displaystyle \ psi : \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

jest przykładem funkcji wypukłej w jednym wymiarze. Z konstrukcji jasno wynika, że ​​funkcja ta ma podporę zwartą, ponieważ funkcja linii rzeczywistej ma podporę zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy ma podporę zamkniętą ograniczoną. Dowód gładkości przebiega w taki sam sposób, jak w przypadku powiązanej funkcji omówionej w artykule Nieanalityczna funkcja gładka . Ta funkcja może być interpretowana jako funkcja Gaussa przeskalowana w celu dopasowania do dysku jednostkowego: podstawienie odpowiada wysłaniu do${\ Displaystyle \ exp \ lewo (-y ^ {2} \ prawo)}$${\ Displaystyle y ^ {2} = {1} / {\ lewo (1-x ^ {2} \ prawo)}}$${\ Displaystyle x = \ pm 1}$${\displaystyle y=\infty.}$

Prosty przykład funkcji wypukłości w zmiennych otrzymuje się, biorąc iloczyn kopii powyższej funkcji wypukłości w jednej zmiennej, więc ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Istnienie funkcji uderzeniowych

Możliwe jest konstruowanie funkcji wbijania "zgodnie ze specyfikacją". Stwierdził oficjalnie, jeśli jest dowolna kompaktowy zestaw w wymiarach i jest to zbiór otwarty zawierający istnieje funkcja inicjującego , który jest na i poza Ponieważ można podjąć, aby być bardzo małe sąsiedztwo stanowi to jest w stanie skonstruować funkcję, która jest o i spada szybko do zewnątrz , a jednocześnie jest gładka. ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle K}$${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle U.}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle K}$

Budowa przebiega w następujący sposób. Jeden uważa zwartą sąsiedztwo z zawartych w tak funkcja charakterystyczna od wyniesie na i poza tak w szczególności, to będzie na i poza Funkcja ta nie jest jednak gładka. Kluczową ideą jest nieco wygładzić , wykonując splot za pomocą środka zmiękczającego . Ta ostatnia jest po prostu funkcją wypukłości z bardzo małą podporą i której całka to taki środek zmiękczający można uzyskać, na przykład, biorąc funkcję wypukłości z poprzedniej sekcji i wykonując odpowiednie skalowania. ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle K \ podzbiór V ^ {\ okrąg} \ podzbiór V \ podzbiór U.}$ ${\ Displaystyle \ chi _ {V}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle U.}$${\ Displaystyle \ chi _ {V}}$${\ Displaystyle \ chi _ {V}}$${\ Displaystyle 1.}$${\ Displaystyle \ Phi}$

Szczegółowa jest teraz alternatywna konstrukcja, która nie wymaga splotu. Rozpocząć od dowolnej niezawodnego działania , który znika na Real ujemnych i dodatni na dodatnimi liczbami rzeczywistymi (to jest na i w miarę kontynuacji wymaga od lewej ); przykładem takiej funkcji jest za i inaczej. Ustala otwarte podzestawu z i oznaczają zwykle euklidesową normy przez (to jest wyposażony w zwykły euklidesowej metrykę ). Poniższa konstrukcja definiuje gładką funkcję, która jest dodatnia i znika poza So w szczególności, jeśli jest stosunkowo zwarta, ta funkcja będzie funkcją wypukłości. ${\ Displaystyle c: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle (-\infty ,0)}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle (0,\infty)}$${\ Displaystyle c (0) = 0}$${\ Displaystyle c (x): = e ^ {-1 / x}}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle c(x):=0}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U.}$${\ Displaystyle U}$${\displaystyle f}$

Jeśli to niech while if to niech ; więc załóżmy, że nie jest to żaden z nich. Pozwolić być otwarta pokrywa otwartych kul, gdzie otwarta kula ma promień i centrum Wtedy mapa definicją jest gładka funkcja, która jest pozytywna na i znika off Dla każdego let ${\ Displaystyle U = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle f:=1}$${\displaystyle U=\varnic}$${\ Displaystyle f: = 0}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ lewo (U_ {k} \ prawo) _ {k = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U_ {k}}$${\displaystyle r_{k}>0}$${\ Displaystyle a_ {k} \ w U.}$${\ Displaystyle f_ {k}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f_ {k} (x): = c \ lewo (r_ {k} ^ {2} - \ lewo \ | x-a_ {k} \ po prawej \ | ^ {2} \ po prawej)}$${\ Displaystyle U_ {k}}$${\ Displaystyle U_ {k}.}$${\ Displaystyle k \ w \ mathbb {N} ,}$

co jest liczbą rzeczywistą, ponieważ supremum znika w dowolnym momencie poza tym, gdy na zbiorze zwartym wartości pochodnych cząstkowych są ograniczone. Serie ${\displaystyle x}$${\ Displaystyle U_ {k}}$${\displaystyle {\overline {U_{k}}},}$ zbiega się równomiernie do gładkiej funkcji, która jest dodatnia i znika z Ponadto, dla wszelkich nieujemnych liczb całkowitych${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U.}$${\displaystyle p_{1},\ldots,p_{n}\w \mathbb {Z}}$ gdzie ten szereg również zbiega się jednostajnie (ponieważ wtedy, gdy wartość bezwzględna ^tego wyrazu wynosi ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle k \ geq p_ {1}+ \ cdots + p_ {n}}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ Leq {\ Frac {M_ {k}} {2 ^ {k} M_ {k}}} = {\ Frac {1} {2 ^ {k}}}}$

W następstwie, ponieważ dwóch rozłącznych podzbiory o i funkcji wygładzania nieujemne takie, że dla każdego , wtedy i tylko wtedy, i podobnie, wtedy i tylko wtedy, gdy to funkcja jest gładka i każdy wtedy i tylko wtedy, gdy tylko wtedy, gdy i jeżeli i tylko wtedy, gdy W szczególności, wtedy i tylko wtedy , gdy tak, jeśli dodatkowo jest stosunkowo zwarty w (gdzie implikuje ), będzie to funkcja gładkiego wypukłości z obsługą w${\ Displaystyle A, B}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f_ {A}, f_ {B}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do [0, \ infty)}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle F_ {A} (x) = 0}$${\displaystyle x\w A}$${\ Displaystyle f_ {B} (x) = 0}$${\displaystyle x\wb}$${\ Displaystyle f: = {\ Frac {f_ {A}} {f_ {A} + f_ {B}}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do [0,1]}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle f (x) = 0}$${\displaystyle x\w A}$ ${\ Displaystyle f (x) = 1}$${\displaystyle x\wb}$${\displaystyle 0<f(x)<1}$${\ Displaystyle x \ nie \ w A \ filiżanka B.}$${\ Displaystyle f (x) \ neq 0}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus A}$${\ Displaystyle U: = \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus A}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing}$${\displaystyle B\subseteq U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {U}}.}$

Właściwości i zastosowania

Chociaż funkcje wypukłości są gładkie, nie mogą być analityczne, chyba że znikną identycznie [1]. Jest to prosta konsekwencja twierdzenia o tożsamości . Funkcje wypukłości są często używane jako środki zmiękczające , jako gładkie funkcje odcięcia i do tworzenia gładkich podziałów jedności . Są to najczęstsza klasa funkcji testowych używanych w analizie. W wielu operacjach przestrzeń funkcji wypukłości jest zamknięta. Na przykład suma, iloczyn lub splot dwóch funkcji wypukłości jest ponownie funkcją wypukłości, a każdy operator różniczkowy o gładkich współczynnikach, po zastosowaniu do funkcji wypukłości, wygeneruje inną funkcję wypukłości.

Jeżeli granice dziedziny funkcji Bump to , to aby spełnić wymóg „gładkości” musi zachować ciągłość wszystkich jej pochodnych, co prowadzi do następującego wymagania na granicach jej dziedziny: ${\ Displaystyle \ częściowy x}$

$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ częściowego x ^ {\ pm}} {\ Frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} f (x) = 0 \ \ forall n \ geq 0,\,n\in \mathbb {Z} }$$

Transformaty Fouriera z funkcji wypukłości jest (real) funkcja analityczna, a to może być rozszerzony na całą płaszczyźnie zespolonej: stąd nie można zwięźle obsługiwanym chyba że jest zero, gdyż tylko całej funkcji wypukłości analitycznej jest zerowe funkcji (patrz Twierdzenie Paleya-Wienera i

twierdzenie Liouville'a ). Ponieważ funkcja bump jest nieskończenie różniczkowalna, jej transformata Fouriera musi zanikać szybciej niż jakakolwiek skończona potęga dla dużej częstotliwości kątowej . Transformata Fouriera określonej funkcji wypukłości ${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle |k|}$ z góry można analizować metodą siodła i rozpada się asymptotycznie jako dla dużych . ${\displaystyle |k|}$

Zobacz też

• Funkcja odcięcia
• Laplacen wskaźnika
• Nieanalityczna funkcja gładka  – Funkcje matematyczne, które są gładkie, ale nie analityczne
• Przestrzeń Schwartza  – Przestrzeń funkcji wszystkich funkcji, których pochodne szybko maleją

Cytaty

Bibliografia

• Niestrujew, Jet (10 września 2020 r.). Gładkie Rozmaitości i Obserwable . Teksty magisterskie z matematyki . 220 . Cham, Szwajcaria: Springer Nature . Numer ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC  1195920718 .CS1 maint: data i rok ( link )