Bump-Funktion - Bump function

${\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)}$

${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$

${\displaystyle x=\pm 1}$

${\displaystyle y=\infty.}$

Ein einfaches Beispiel für eine Bump-Funktion in Variablen erhält man, indem man das Produkt von Kopien der obigen Bump-Funktion in einer Variablen nimmt, also ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n} ).}$$

Vorhandensein von Bump-Funktionen

Eine Illustration der Sets in der Konstruktion.

Es ist möglich, Bump-Funktionen "nach Spezifikationen" zu konstruieren. Formal ausgedrückt, wenn ist eine beliebige

${\displaystyle K}$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle U.}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle K,}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle K,}$

Der Aufbau geht wie folgt vor. Man betrachte eine kompakte Umgebung von enthalten in so Die

${\displaystyle V}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle U,}$

${\displaystyle K\subseteq V^{\circ}\subseteq V\subseteq U.}$

${\displaystyle \chi_{V}}$

${\displaystyle V}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle V,}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle U.}$

${\displaystyle \chi_{V}}$

${\displaystyle \chi_{V}}$

${\displaystyle 1.}$

${\displaystyle \Phi}$

Eine alternative Konstruktion, die keine Faltung beinhaltet, wird nun detailliert beschrieben. Beginne mit jeder glatten Funktion , dass Vanishes auf den negativen reellen Zahlen und die positiven reellen Zahlen positiv ist (das heißt, an und auf denen Kontinuität von der linken erfordert ); ein Beispiel für eine solche Funktion ist for und other. Fixiere eine offene Teilmenge von und bezeichne die übliche

${\displaystyle c:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$

${\displaystyle c=0}$

${\displaystyle (-\infty ,0)}$

${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle (0,\infty),}$

${\displaystyle c(0)=0}$

${\displaystyle c(x):=e^{-1/x}}$

${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle c(x):=0}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle U.}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle f}$

Wenn dann lass während wenn dann lass ; Nehmen Sie also an, dass keines von beiden ist. Sei eine offene Überdeckung von durch offene Kugeln, wobei die offene Kugel Radius und Mittelpunkt hat Dann ist die durch definierte Abbildung eine glatte Funktion, die positiv auf ist und von verschwindet Für jedes let ${\displaystyle U=\mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle f:=1}$${\displaystyle U=\varnothing }$${\displaystyle f:=0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle r_{k}>0}$${\displaystyle a_{k}\in U.}$${\displaystyle f_{k}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$${\displaystyle f_{k}(x):=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle U_{k}.}$${\displaystyle k\in\mathbb{N},}$

$${\displaystyle M_{k}:=\sup\left\{\left|{\frac {\partial^{p}f_{k}}{\partial^{p_{1}}x_{1}\cdots\ partielle ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ und }}p,p_{1},\ ldots ,p_{n}\in\mathbb{Z} {\text{ sind nicht negative ganze Zahlen mit }}0\leq p\leq k{\text{ und }}p=p_{1}+\cdots +p_ {n}\rechts\},}$$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle U_{k}}$

${\displaystyle {\overline {U_{k}}},}$

$${\displaystyle f:=\sum_{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}}$$

${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle U.}$

${\displaystyle p_{1},\ldots,p_{n}\in\mathbb{Z},}$

$${\displaystyle {\frac {\partial^{p_{1}+\ldots+p_{n}}}{\partial^{p_{1}}x_{1}\cdots\partial^{p_{n}} x_{n}}}f=\sum_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1 }+\ldots +p_{n}}f_{k}}{\partial^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial^{p_{n}}x_{n}}}}$$

${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

${\displaystyle k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}}$

${\displaystyle k}$

${\displaystyle \leq {\frac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\frac {1}{2^{k}}}}$

Als Korollar sind zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen von und glatte nichtnegative Funktionen gegeben, so dass für jede genau dann und in ähnlicher Weise genau dann die Funktion glatt ist und für jede genau dann und nur wenn und wenn und nur wenn Insbesondere wenn und nur wenn ja wenn zusätzlich relativ kompakt in (wo impliziert ) dann wird eine glatte Bump-Funktion mit Unterstützung in${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb{R}^{n}\to [0,\infty )}$${\displaystyle x\in\mathbb{R}^{n},}$ ${\displaystyle f_{A}(x)=0}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle f_{B}(x)=0}$${\displaystyle x\in B,}$${\displaystyle f:={\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$${\displaystyle x\in\mathbb{R}^{n},}$ ${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f(x)=1}$${\displaystyle x\in B,}$${\displaystyle 0<f(x)<1}$${\displaystyle x\not\in A\cup B.}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle x\in\mathbb{R}^{n}\setminus A,}$${\displaystyle U:=\mathbb{R} ^{n}\setminus A}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$${\displaystyle B\subseteq U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {U}}.}$

Eigenschaften und Verwendungen

Bump-Funktionen sind zwar glatt, können aber nur dann analytisch sein, wenn sie identisch verschwinden []. Dies ist eine einfache Konsequenz des Identitätssatzes . Bump-Funktionen werden oft als Weichmacher , als glatte Abschneidefunktionen und zur Bildung glatter Einheitspartitionen verwendet . Sie sind die gebräuchlichste Klasse von Testfunktionen, die in der Analyse verwendet werden. Der Raum der Bump-Funktionen ist bei vielen Operationen geschlossen. Zum Beispiel ist die Summe, das Produkt oder die Faltung zweier Bump-Funktionen wieder eine Bump-Funktion, und jeder Differentialoperator mit glatten Koeffizienten erzeugt, wenn er auf eine Bump-Funktion angewendet wird, eine weitere Bump-Funktion.

Wenn die Grenzen des Bereichs der Bump-Funktion , um die Anforderung der "Glattheit" zu erfüllen, muss die Stetigkeit aller seiner Ableitungen gewahrt werden, was zu der folgenden Anforderung an den Grenzen seines Bereichs führt: ${\displaystyle \partial x}$

$${\displaystyle \lim_{x\to\partial x^{\pm}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,\forall n\ geq 0,\,n\in\mathbb{Z}}$$

Die Fourier-Transformation einer Bump-Funktion ist eine (reelle) analytische Funktion und kann auf die gesamte komplexe Ebene ausgedehnt werden: daher kann sie nicht kompakt unterstützt werden, es sei denn, sie ist Null, da die einzige vollständige analytische Bump-Funktion die Nullfunktion ist (siehe Satz von Paley-Wiener und