Nullobjekt (algebra) - Zero object (algebra)

I algebra er nullobjektet til en gitt algebraisk struktur , i den forstand som er forklart nedenfor, det enkleste objektet for en slik struktur. Som sett er det en singleton , og som en magma har en triviell struktur, som også er en abelisk gruppe . Den nevnte abeliske gruppestrukturen identifiseres vanligvis som tillegg , og det eneste elementet kalles null , slik at selve objektet typisk betegnes som ${0}$ . Man refererer ofte til det trivielle objektet (av en spesifisert kategori ) siden hvert trivielt objekt er isomorf for noen andre (under en unik isomorfisme).

Forekomster av nullobjektet inkluderer, men er ikke begrenset til følgende:

Som en gruppe , den trivielle gruppen .
Som en ring , den trivielle ringen .
Som en algebra over et felt eller algebra over en ring , den trivielle algebraen .
Som en modul (over en ring $R$ ), nullmodulen . Begrepet triviell modul brukes også, selv om det kan være tvetydig, da en triviell G-modul er en G-modul med en triviell handling.
Som et vektorrom (over et felt $R$ ), nullvektorområdet , nulldimensjonalt vektorrom eller bare nullrom .

Disse objektene beskrives i fellesskap ikke bare basert på den felles singleton og trivielle gruppestruktur, men også på grunn av delte kategoriteoretiske egenskaper .

I de tre siste tilfellene er den skalære multiplikasjonen med et element i grunnringen (eller feltet) definert som:

κ 0 = 0

, hvor

κ \in R

.

Den mest generelle av dem, nullmodulen, er en endelig generert modul med et tomt generasjonssett.

For strukturer som krever multiplikasjonsstrukturen inne i nullobjektet, for eksempel den trivielle ringen, er det bare en mulig, $0 \times 0 = 0$ , fordi det ikke er elementer som ikke er null. Denne strukturen er assosiativ og kommutativ . En ring $R$ som har både en additiv og multiplikativ identitet er triviell hvis og bare hvis $1 = 0$ , siden denne likhet innebærer at for alle $r$ innen $R$ ,

{\ displaystyle r = r \ ganger 1 = r \ ganger 0 = 0.}

I dette tilfellet er det mulig å definere deling med null , siden enkeltelementet er sin egen multiplikative inverse. Noen egenskaper ved ${0} er$ avhengige av nøyaktig definisjon av den multiplikative identiteten; se avsnittet Unital strukturer nedenfor.

Enhver triviell algebra er også en triviell ring. En triviell algebra over et felt er samtidig et nullvektorrom vurdert nedenfor . Over en kommutativ ring er en triviell algebra samtidig en nullmodul.

Den trivielle ringen er et eksempel på en rng på kvadrat null . En triviell algebra er et eksempel på en nullalgebra .

Det nulldimensjonale vektorrommet er et spesielt allestedsnærværende eksempel på et nullobjekt, et vektorrom over et felt med tom basis . Den har derfor dimensjon null. Det er også en triviell gruppe over tillegg , og en triviell modul nevnt over .

Eiendommer

2 ↕	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$	=	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \, \\\, \ end {bmatrix}}}$	[ ]	<0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Elementet i nullområdet, skrevet som tom kolonnevektor (lengst til høyre) multipliseres med 2 × 0 tom matrise for å oppnå 2-dimensjonal nullvektor (lengst til venstre). Regler for matrise-multiplikasjon blir respektert.

Det trivielle ring, null-modul og null vektorrommet er null gjenstander av tilsvarende kategorier , nemlig Rng , $R$ - Mod og Vect _$R$ .

Null objekt, ved definisjon, må være en terminal gjenstand, noe som betyr at en morphism $A \to {0}$ må finnes og være unik for en vilkårlig objekt $A$ . Denne morfismen kartlegger ethvert element fra $A$ til $0$ .

Null gjenstand, også ved definisjon, må være en første gjenstand, noe som betyr at en morphism ${0} \to En$ må finnes og være unik for en vilkårlig objekt $A$ . Denne morfismen kartlegger $0$ , det eneste elementet i ${0}$ , til nullelementet $0 \in A$ , kalt nullvektoren i vektorrom. Dette kartet er en monomorfisme , og dermed er bildet isomorf til ${0}$ . For moduler og vektorrom, denne undergruppe ${0} \subset A$ er den eneste tom-genererte undermodulen (eller 0-dimensjonale lineære underrom ) i hver modul (eller vektorrommet) $A$ .

Unital strukturer

Den ${0}$ gjenstand er en terminal gjenstand av en hvilken som helst algebraisk struktur hvor det finnes, som det ble beskrevet for eksemplene ovenfor. Men dens eksistens og, hvis den eksisterer, egenskapen som skal være et initialt objekt (og dermed et nullobjekt i kategoriteoretisk forstand), er avhengig av nøyaktig definisjon av multiplikativ identitet 1 i en spesifisert struktur.

Hvis definisjonen av $1$ krever at $1 \neq 0$ , kan ${0}$ -objektet ikke eksistere fordi det kan inneholde bare ett element. Spesielt er nullringen ikke et felt . Hvis matematikere noen ganger snakker om et felt med ett element , er ikke dette abstrakte og noe mystiske matematiske objektet et felt.

I kategorier hvor multiplikasjonsidentiteten må bevares ved morfismer, men kan være lik null, kan ${0}$ -objektet eksistere. Men ikke som første objekt fordi identitetsbevarende morfismer fra ${0}$ til ethvert objekt der $1 \neq 0$ ikke eksisterer. For eksempel, i den kategori av ringene Ring ring av heltall Z er den initielle objektet, ikke ${0}$ .

Hvis en algebraisk struktur krever multiplikativ identitet, men ikke krever at den bevares ved hjelp av morfismer eller $1 \neq 0$ , eksisterer null morfismer, og situasjonen er ikke forskjellig fra ikke-enhetlige strukturer som ble vurdert i forrige avsnitt.

Notasjon

Nullvektorrom og null moduler er vanligvis betegnet med $0$ (i stedet for ${0}$ ). Dette er alltid tilfelle når de forekommer i en eksakt sekvens .

Se også

Eksterne linker

David Sharpe (1987). Ringer og faktorisering . Cambridge University Press . s. 10 : triviell ring . ISBN 0-521-33718-6 .
Barile, Margherita . "Trivial Module" . MathWorld .
Barile, Margherita. "Nullmodul" . MathWorld .

Languages

In other projects